1、微专题17与圆相关的定点、定值问题圆的综合问题还可能会考查与圆有关的定点、定值问题，这类问题的解决往往先从特殊情况入手，探究出相应的定点、定值当然，解题时要结合圆的几何性质，利用几何知识能使问题较为简捷地得到解决.例题：已知圆O：x2y29.点A(5，0)，在x轴上存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆O上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标变式1已知圆O的方程为x2y21，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于
2、点Q.求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标变式2已知过点A(0，1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21相交于M，N两点求证：为定值7.串讲1如图，已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由串讲2设O为坐标原点，F(1，0)，M是l：x2上的点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点(1)若PQ，求圆D的方程；(2)若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程(2018江苏模拟卷)如图，在平面
3、直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2y21与x轴的两个交点(点B在点A右侧)，点Q(2，0)，x轴上方的动点P使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列(1)求证：动点P的横坐标为定值；(2)设直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为S，T，求证：点Q，S，T三点共线(2017江苏模拟卷)在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4，0)，B(0，2)，半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.(1)若r2，求圆M的方程；(2)当r变化时，是否存在定直线与圆相切？如果存在，求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由答案：(1)(x1)2(y5)24
4、；(2)存在两条直线y3和4x3y90与圆相切解析：(1)设圆心M(m，n)，由题意可知解得4分圆M的方程为(x1)2(y5)24.5分(2)设直线l：ykxb，则r对任意r0恒成立，7分由r，得r2(k2)(b3)r(b3)2r2(1k2)，9分计算得出或13分微专题17例题答案：B.解法1如图，假设存在这样的点B(t，0)，当P为圆O与x轴左交点(3，0)时，；当P为圆O与x轴右交点(3，0)时，依题意，解得，t5(舍去)，或t.下面证明：点B对于圆O上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2，所以，从而为常数解法2假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数，则PB22PA2，所以
5、(xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入得，x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3，3恒成立，所以解得或(舍去)，所以存在点B对于圆O上任一点P，都有为常数.变式联想变式1答案：(1)y(x3)；(2)(32，0)解析：(1)因为直线l1过点A(3，0)，且与圆O：x2y21相切，设直线l1的方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心O(0，0)到直线l1的距离为d1，解得k，所以直线l1的方程为y(x3)(2)对于圆方程x2y21，令y0，得x1，即P(1，0)，Q(1，0)，又直线l2过点A且与x轴垂直，所以直线l2方程为x3，设M(s
6、，t)，则直线PM的方程为y(x1)解方程组得P同理可得，Q.所以以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)0，又s2t21，所以整理得x2y26x1y0，若圆C经过定点，只需令y0，从而有x26x10，解得x32，所以，圆C总经过定点坐标为(32，0)变式2证法1设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(k21)x24(k1)x70，所以因为(x1，y11)，(x2，y21)，所以x1x2(y11)(y21)x1x2k2x1x2(1k2)x1x2(1k2)x1x2(1k2)7.所以为定值7.证法2由于M，N共线，所以AMAN(AC1)(AC1)AC217.串讲激活串讲1答案：5.解析：因
7、为AQBP，所以0，所以().当直线l与x轴垂直时，得P.则，又(1，2)，所以5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.所以.所以5.综上所述，是定值，且5.串讲2答案：(1)圆D的方程：(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22；(2)点P在定圆x2y22上解析：(1)设M(2，t)，则圆D的方程：(x1)21，直线PQ的方程：2xty20，由PQ，2，解得t2.所以圆D的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.(2)解法1设P(x0，y0)，由(1)知即消去t得x02y022.所以点P在定圆x2y22上解法2设P(x0，y0)，则直线FP的斜率为k
8、FP，因为FPOM，所以直线OM的斜率为kOM，所以直线OM的方程为yx.点M坐标为.因为MPOP，所以0，所以x0(x02)y00，所以x02y022，所以点P在定圆x2y22上解法3设直线PQ与OM交于点H，A(2，0)，由射影定理知OP2OHOM，由此知，OHOMOFOA2，所以OP22，所以点P在定圆x2y22上新题在线证明：(1)由题设知A(1，0)，B(1，0)设P(x0，y0)(y00)，则kPQ，kPA，kPB.因为直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列，所以2kPQkPAkPB，即，解得x0，即动点P的横坐标为定值(2)由(1)知P，kPA2y0，kPBy0，直线PA的方程为y2y0(x1)，代入x2y21得(x1)(14y02)x(14y02)0，所以点S的横坐标xS，从而yS.同理：xT，yT，所以kQS，kQT，所以kQSkQT，所以点Q，S，T三点共线10
