1、1.(2012江苏卷)已知实数x,y满足:|xy|,|2xy|,求证:|y|.证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|,由题设知|xy|,|2xy|,从而3|y|,所以|y|.2.(2011江苏卷)解不等式x|2x1|3.解原不等式可化为或解得x或2x.原不等式的解集是.3.(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|,a0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解(1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x1时,不等式化为3x20,解得x1;
2、当x1时,不等式化为x20,解得1x2.所以f(x)1的解集为.(2)由题设可得,f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,).4.(2015陕西卷)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求的最大值.解(1)由|xa|b,得baxba,则解得a3,b1.(2)24,当且仅当,即t1时等号成立,故()max4.5.(2010江苏卷)已知实数a,b0,求证:a3b3(a2b2).证明由a,b是非负实数,作差得a3b3(a
3、2b2)a2()b2()()()5()5.当ab时,从而()5()5,得()()5()50;当ab时,从而()50;a3b3(a2b2).6.(2016南京模拟)已知x,y,z均为正数,求证:.证明法一因为x,y,z都是正数,所以,同理,可得,当且仅当xyz时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得.法二要证.由于x0,y0,z0,所以只要证x2y2z2yzzxxy.由于x2y2z2(yzzxxy)(xy)2(yz)2(zx)20,故x2y2z2yzzxxy恒成立,所以.7.(2016苏北四市一模)对于任意实数a(a0)和b,不等式|ab|a2b|a|(|x1|x2|)
4、恒成立,试求实数x的取值范围.解原不等式等价于|x1|x2|,设t,则原不等式变为|t1|2t1|x1|x2|对任意t恒成立.因为|t1|2t1|最小值在t时取到,最小值为.所以有|x1|x2|解得x.8.(2016南通调研)已知函数f(x)|x3|,g(x)m2|x11|,若2f(x)g(x4)恒成立,实数m的最大值为t.(1)求实数m的最大值t;(2)已知实数x,y,z满足2x23y26z2a(a0),且xyz的最大值为,求a的值.解(1)由题意可得g(x4)m2|x411|m2|x7|,若2f(x)g(x4)恒成立,则2|x3|m2|x7|,即m2(|x3|x7|).而由绝对值三角不等式可得2(|x3|x7|)2|(x3)(x7)|20,所以m20,故m的最大值t20.(2)实数x,y,z满足2x23y26z2a(a0),由柯西不等式可得 (x)2(y)2(z)2,即a1(xyz)2,所以xyz.又因为xyz的最大值是1,所以1,所以a1.