1、2.3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y2=2px(p0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()A.2B.3C.4D.4或-4解析抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义有4+p2=5,p=2(负值舍去),此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=4,故选D.答案D2.已知抛物线x2=-4y的通径为AB,O为坐标原点,则()A.通径AB长为8,AOB的面积为4B.通径AB长为8,AOB的面积为2C.通径AB长为4,AOB的面积为4D.通径AB长为4,AOB的面积为2解析抛物线的通径为过焦点且垂直于对称轴的弦,长为2p,故|AB
2、|=4,SAOB=1214=2.答案D3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则抛物线的焦点坐标为()A.(2,0)B.(1,0)C.(8,0)D.(4,0)解析因为ca=2,所以c2a2=a2+b2a2=4,于是b2=3a2,则ba=3,故双曲线的两条渐近线方程为y=3x,而抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,所以A-p2,3p2,B-p2,-3p2,则|AB|=3p,又AOB的高为p2,则SAOB=12p23p=3,即p2=4.因为p0,所以p=2
3、,故抛物线焦点坐标为(1,0).答案B4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则1|AF|+1|BF|的值为()A.2B.1C.14D.4解析因为直线交抛物线于不同的两点A,B,所以直线的斜率存在.设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+14,由x2=y,y=kx+14,消去x得y2-k2+12y+116=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=116,y1+y2=k2+12.因为抛物线的准线方程为y=-14,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+14,|BF|=y2+14,所以1|AF|+1|BF|=1y1+14+1y2+14=y1+y2+12y
4、1y2+14(y1+y2)+116=4,故选D.答案D5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上一点且在第一象限,以F为圆心,FA为半径的圆交抛物线C的准线于M,N两点,且A,F,M三点共线,则|AF|=()A.2B.4C.6D.8解析如图所示,A,F,M三点共线,AM是圆的直径,ANMN,ANx轴,又F为AM的中点,且点F到准线的距离为2,|AN|=4,由抛物线的定义可得|AF|=|AN|=4,故选B.答案B6.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C准线上的一点,则ABP的面积为.解析不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p0
5、),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x=p2,则|AB|=2p=12,故p=6.所以抛物线的准线方程为x=-3,故SABP=12612=36.答案367.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.解析设直线l方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;当k0时,由=64-64k20,解得-1k1,且k0.所以-1k1.答案-1,18.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则APBP取最小值时点P的坐标为.解析设点P(x0,y0)
6、,则y02=-4x0(x00),APBP=(x0-2,y0)(x0-4,y0)=x02-6x0+8+y02=x02-10x0+8=(x0-5)2-17.x0(-,0,当x0=0时,APBP取得最小值,此时点P的坐标为(0,0).答案(0,0)9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l斜率为1,直线l与抛物线交于A,B两点,与x轴交于P点.(1)若|AF|+|BF|=8,求直线l的方程;(2)若AP=2PB,求|AB|.解(1)由题意,直线l斜率为1,设直线l的方程为y=x+m,设A(xA,yA),B(xB,yB),联立方程组y=x+m,y2=4x,整理得x2+(2m-4)x+m2=0,则xA+
7、xB=4-2m,又由|AF|+|BF|=8,可得xA+1+xB+1=8,所以xA+xB=6,即4-2m=6,解得m=-1,所以直线l的方程为y=x-1.(2)根据题意,设P(xP,0),由y=x+m,y2=4x,消去x得y2-4(y-m)=0,得y2-4y+4m=0,则yA+yB=4,yAyB=4m,又由AP=2PB,可得(xP-xA,0-yA)=2(xB-xP,yB-0),可得-yA=2yB,代入式,可得yA=8,yB=-4,再代入式得m=-8,即xA+xB=20,xAxB=64,所以|AB|=2(xA+xB)2-4xAxB=122.10.如图,河道上有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最
8、高点距水面8 m,拱圈内水面宽16 m.为保证安全,要求通过的船的顶部(设为平顶)与拱圈在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m.(1)一条船的顶部宽4 m,在正常水位时,要使这条船安全通过,则船在水面以上部分的高度不能超过多少米?(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7 m,为此必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:一条顶部宽42 m,在水面以上部分的高度为4 m的船,船身应至少降低多少米才能安全通过?解(1)如图所示,以过拱桥的最高点O且平行于水面的直线为x轴,以过点O且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p0),将点(8,-8)代入得2p=8,则抛物
9、线的方程为x2=-8y,将x=2代入x2=-8y,得y=-0.5,8-0.5-0.5=7(m),故船在水面以上部分的高度不能超过7m.(2)将x=22代入方程x2=-8y,得y=-1,此时1+0.5+2.7+4=8.2(m),8.2-8=0.2(m),故船身应至少降低0.2m才能安全通过.能力提升1.抛物线x2=2py(p0)与椭圆x212+y22=1交于A,B两点,若AOB的面积为6(其中O为坐标原点),则p=()A.2B.3C.4D.6解析由抛物线与椭圆的对称性知,A,B关于y轴对称,可设A(x0,y),B(-x0,y)(x00),AOB的面积为6,SAOB=122x0y=x032p=6,
10、又x0212+y22=1,则x02+3x042p2=12,由上整理,得x04-12x02+36=0,解得x02=6,则p=3.故选B.答案B2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,22)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|FM|等于()A.12B.13C.12D.13解析因为抛物线的焦点为(1,0),所以直线MF为y=22(x-1),与抛物线联立得2x2-5x+2=0,解得x=2(舍去)或x=12,即xN=12,所以|NF|FM|=xN+1xM+1=12+12+1=12,故选A.答案A3.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则
11、抛物线的准线方程为.(提示:抛物线的光学性质从焦点发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行)解析由直线y=-2平行于抛物线的对称轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案x=-24.已知抛物线y=ax2的准线与圆x2+y2-6y-7=0相切,则a的值为.解析抛物线y=ax2,即x2=1ay,准线方程为y=-14a,因为抛物线x2=1ay的准线与圆x2+(y-3)2=16相切,当a0时,3+14a=4,解得a=14,当a0)的焦点为F,点P1,14在抛物线上.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,求四边形PQMF的
12、面积.解(1)由点P1,14在抛物线上,得p=18,故抛物线标准方程为x2=4y.(2)由(1)知点F(0,1),准线方程为y=-1,所以|FM|=2,|PQ|=1+14=54,|MQ|=1,则直角梯形PQMF的面积等于1254+21=138.6.(选做题)已知抛物线C:y2=2px(p0),过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若不过原点O且斜率存在的直线l与抛物线C相交于D,E两点,且ODOE.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.(1)解设A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),则yA2=2pxA,yB2=2pxB,两式相减得(yA+yB)(yA-yB)=2p(xA-xB).即(yA+yB)yA-yBxA-xB=2p,又线段AB的中点的纵坐标为4,直线AB的斜率为1,8=2p,p=4.即抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)证明设直线l:y=kx+b(b0)与抛物线C:y2=8x交于点D(x1,y1),E(x2,y2),则y=kx+b,y2=8x,消去x得ky2-8y+8b=0,k0,64-32kb0,y1y2=8bk,x1x2=y12y2264=b2k2,由ODOE得x1x2+y1y2=0,即bk=-8,b=-8k,直线为y=k(x-8),l过定点(8,0).
