1、第三章DISANZHANG导数应用1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性课后篇巩固提升A组1.函数f(x)=x+2ln x的递减区间为()A.(0,3)B.(0,1)C.(1,3)D.(3,+)解析f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-.由f(x)0可解得0x1,所以函数f(x)=x+2ln x的递减区间为(0,1).故选B.答案B2.函数y=f(x)在定义域内可导,其图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0的解集为()A.B.C.D.解析f(x)0,函数y=f(x)在对应的区间上是减少的,结合函数图像可知,不等式f(x)0的解集为.答案A3.设函数f
2、(x)=ln(1+x)-x,记a=f(1),b=f(3),c=f(),则()A.bacB.bcaC.abcD.ac0,得-1x0,即f(x)在(-1,0)上是增加的,由0,即f(x)在(0,+)上是减少的.又013,f(3)f()f(1),即bca.答案B4.函数y=f(x)的图像如图所示,则不等式(x+2)f(x)0,当x(-1,1)时,f(x)0.当x-2时,由(x+2)f(x)0,所以x(-,-2);当x-2时,由(x+2)f(x)0可得f(x)0,所以x(-1,1).所以不等式(x+2)f(x)0的解集为(-,-2)(-1,1).故选A.答案A5.已知函数f(x)(xR)满足f(1)=
3、1,且f(x)的导函数f(x),则f(x)的解集为()A.x|-1x1B.x|x-1C.x|x1D.x|x1解析设g(x)=f(x)-,g(x)=f(x)-0,g(x)在R上是减少的.g(1)=f(1)-=1-1=0,g(x)=f(x)-1.故选D.答案D6.若函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,f(x)在区间-1,2上是减少的,且b=9a,则a的取值范围是.解析f(x)=3x2-6ax-b0对x-1,2恒成立,且b=9a,f(x)=3x2-6ax-9a0,x-1,2,即对x-1,2,有x2-2ax-3a0.又2x+30,a对-1,2内的x恒成立.a1.答案1,+)7.已知函
4、数f(x)=-x2+ax+1-ln x,若f(x)在上是减少的,则实数a的取值范围为.解析f(x)=-2x-+a.f(x)在上是减少的,当x时,-2x-+a0恒成立,即a2x+恒成立.设g(x)=2x+,则g(x)=2-.当x时,4,g(x)g=3,a3.答案(-,38.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0)处切线的斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的递减区间为.解析由于切线的斜率就是其该点的导数值,所以由题意知f(x)=(x-2)(x+1)20x0,且a1).解(1)函数的定义域为(0,+).y=x2-ln x,y=x-.令y0,即0,又x0,x1.令y0,即0,0
5、x0,得x1或x.令3x2-4x+10,得x1时,ln a0,ax+a-x0,f(x)0.当a1时,函数y=f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.当0a1时,ln a0,f(x)0.当0a0),设F(x)=f(x)+g(x).(1)求F(x)的单调区间.(2)若以y=F(x)(x(0,3)图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k恒成立,求实数a的最小值.解(1)F(x)=f(x)+g(x)=ln x+(x0),F(x)=(x0).a0,由F(x)0得x(a,+).F(x)在(a,+)上是增加的.由F(x)0得x(0,a),F(x)在(0,a)上是减少的.F(x)的递增区
6、间为(a,+),递减区间为(0,a).(2)F(x)=(0x3),k=F(x0)=(00B.若在(a,b)上对任意x都有f(x)0,则f(x)在(a,b)上是增加的C.若f(x)在(a,b)上是单调函数,则f(x)也是单调函数D.若可导函数f(x)在(a,b)上有f(x)0,则在(a,b)上有f(x)0解析根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B正确;对于A,可能存在x0(a,b),使得f(x0)=0;因为f(x)的单调性与f(x)的单调性的关系不确定,所以C不正确;因为f(x)与f(x)的符号关系不确定,所以D不正确.答案B2.f(x)是定义在(0,+)上的增函数,且满足:f(x)的导
7、函数存在,且x,则下列不等式成立的是()A.f(2)2f(1)B.3f(3)4f(4)C.2f(3)3f(4)D.3f(2)0在(0,+)上恒成立.0.设g(x)=,则g(x)=0.g(x)在(0,+)上是增加的.故g(3)g(2),即,即2f(3)3f(2).故选D.答案D3.函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(1,a)内不单调,则实数a的取值范围是.解析f(x)=6x2-12x=6x(x-2),由f(x)0可得x2,由f(x)0可得0x2.答案(2,+)4.已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=ab在(-1,1)上是增加的,求t的取值范围.解(方法一)由题意
8、得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增加的,则在(-1,1)上有f(x)0.t3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.考虑函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图像是对称轴为x=,开口向上的抛物线,故要使t3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,则tg(-1),即t5.故t的取值范围是5,+).(方法二)由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增加的,则在(-1,1)上f(x)0.f(x)的图像是开口向下的抛物线,当且仅当f(1)=t-10,且f(-1)=t-50时,f(x)在(-1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增加的.故t的取值范围是5,+).5.已知f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值.(2)求证:当x0,且x1时,f(x).(1)解f(x)=,由题意知a=b=1.(2)证明由(1)知f(x)=,f(x)-.设h(x)=2ln x-(x0),则h(x)=,当x1时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0,从而当x0,且x1时,f(x)-0,即f(x).- 4 -
