1、第二章函数概念与基本初等函数第二讲函数的基本性质练好题考点自测 1.下列说法中正确的个数是()(1)若函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,+).(2)对于函数f(x),xD,若对任意x1,x2D(x1x2),有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)上是减函数,则f(x)在(0,+)上是增函数.(
2、6)若T为函数y=f(x)的一个周期,那么nT(nZ)也是函数f(x)的周期.A.3B.4C.5D.62.2019北京,3,5分文下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=x12B.y=2-xC.y=log12xD.y=1x3.2019全国卷,6,5分文设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+14.2020山东,8,5分若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D
3、.-1,01,35.2021大同市调研测试已知函数f(x)=ax3+bsin x+cln(x+x2+1)+3的最大值为5,则f(x)的最小值为()A.-5B.1C.2D.36.2020福州3月质检已知f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称.给出以下关于f(x)的结论:f(x)是周期函数;f(x)满足f(x)=f(4-x);f(x)在(0,2)上单调递减;f(x)=cosx2是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.17.2018江苏,9,5分函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上,f(x)=cosx2,0x2,|x+12
4、|,-21是R上的增函数,则a的取值范围为.(2)2016天津,13,5分已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是.2.(1)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称为高斯函数.例如:-2.1=-3,3.1=3.已知函数f(x)=2x+31+2x+1,则函数y=f(x)的值域为()A.(12,3)B.(0,2C.0,1,2D.0,1,2,3(2)已知函数f(x)=sin x22x-1+2-x+1(x0),则函数
5、f(x)的最大值是.3.新课标全国,5分设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A. f(x)g(x)是偶函数B. f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.2021陕西模拟若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则()A.f(-2)f(-3)g(-1)B.g(-1)f(-3)f(-2)C.f(-2)g(-1)f(-3)D.g(-1)f(-2)f(-3)5.2021贵阳市摸底测试已知函数f(x)的定义域为R.当x12时,f(x
6、+12)=f(x-12).则f(8)=()A.-2 B.-1C.0 D.26.(1)2021山东新高考模拟已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)0,则下列不等关系成立的是()A.m+n1 B.m+n-1D.m-n-1(2)2020广西师大附中4月模拟已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),当x(-1,1)时,f(x)=-x2+2x,0x1,ax2+bx,-1x0x1x2,f(x1)f(x2)或x1x2,f(x1)0时,y=x在(0,+)上单调递增,当0且a1),当0a1时,y=ax在(-,+)上单调递增,而选项B中的函数
7、y=2-x可转化为y=(12)x,因此函数y=2-x在(0,+)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a0且a1),当0a1时,y=logax在(0,+)上单调递增,因此选项C中的函数y=log12x在(0,+)上单调递减,故选项C不符合题意.故选A.3.D解法一依题意得,当x0时,令f(x-1)0,得0x-12,1x3;当x0时,令f(x-1)0,得-2x-10,-1x1,又x0,-1x0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为-1,01,3,选D.解法二当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)0,此时不符合题意,排除
8、A,C.故选D.5.B由题意可知,函数f(x)的定义域为R.令g(x)=ax3+bsin x+cln(x+x2+1),则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+cln(-x)+(-x)2+1=-ax3-bsin x+cln(-x+x2+1)(x+x2+1)x+x2+1=-ax3-bsin x+cln 1x+x2+1=-ax3-bsin x-cln(x+x2+1)=-g(x),所以函数g(x)=ax3+bsin x+cln(x+x2+1)为奇函数.(题眼)又f(x)max=g(x)max+3=5,所以g(x)max=2,于是g(x)min=-2,所以f(x)min=g(x)min+3=-2+
9、3=1,故选B.6.B因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又其图象关于点(1,0)对称,所以 f(-x)=-f(2+x),则f(x+2)=-f(x),由此可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数,所以正确;f(-x)=f(x)=f(x+4),把x替换成-x可得f(x)=f(4-x),所以正确;f(x)=cosx2是定义在R上的偶函数,且(1,0)是它的图象的一个对称中心,所以正确;不妨令f(x)=-cosx2,此时f(x)满足题意,但f(x)在(0,2)上单调递增,所以错误.所以正确结论的个数是3.故选B.7.22因为函数f(x)满足f(x+4)
10、=f(x)(xR),所以4为函数f(x)的周期.因为在区间(-2,2上,f(x)=cosx2,0x2,|x+12|,-2x0, 所以f(f(15)=f(f(-1)=f(12)=cos4=22.1.(1)-3a-2由题意,得-a21,af(-2),且f(-2)=f(2),所以-22|a-1|2,则|a-1|12,所以12a0,所以011+2x+11,所以1212+52(1+2x+1)3,即12f(x)0,f(-3)=e-3+e320,g(-1)=e-1-e40,所以g(-1)f(-2)12时,f(x+12)=f(x-12),所以当x12时,f(x)的周期为1,所以f(8)=f(71+1)=f(1
11、).因为当-1x1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2,所以f(8)=2,故选D.6.(1)C因为f(-x)=e-x-exe-x+ex=-ex-e-xe-x+ex=-f(x),所以f(x)为奇函数,又f(x)=ex-e-xex+e-x=1-2e2x+1,所以f(x)为增函数.则f(2m-n)+f(2-n)0f(2m-n)f(n-2)2m-nn-2,即m-n-1.(2)34当0x1时,-1-x0,f(x)=-x2+2x,f(-x)=a(-x)2+b(-x)=ax2-bx,由f(-x)=-f(x),得ax2-bx=-(-x2+2x),求得a=1,b=2.又函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数.所以f(logba)+f(a)+f(2021b)=f(log21)+f(1)+f(20212)=f(0)+f(1)+f(1 010+12)=f(0)+-f(0)+f(12)=f(12)=34.
