1、第二章圆锥曲线与方程习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=()A.9B.10C.11D.12解析根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16,所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.答案C2.直线l:2x-y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为()A.15B.55C.25D.255解析直线l:2x-y+2=0中,令x=0,得y=2;令
2、y=0,得x=-1,直线l:2x-y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,椭圆左焦点F1(-1,0),顶点B(0,2),c=1,b=2,a=1+4=5,该椭圆的离心率为e=ca=15=55.故选B.答案B3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为4,焦距为22.过椭圆C的上顶点B作圆x2+y2=2的两条切线,与椭圆C分别交于另外两点M,N,则BNM的面积为()A.6B.14425C.125D.152解析因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为4,焦距为22,所以b=2,c=2,a2=6,所以椭圆方程为x26+y24=1.如图所示,设直线BN的方程为y=kx+2,则
3、原点到直线BN的距离为d=21+k2,又因为直线BN与圆x2+y2=2相切,所以21+k2=2,解得k=1,则直线BN的方程为y=-x+2,由y=-x+2,x26+y24=1,解得x=125,y=-25,即N125,-25,同理求得M-125,-25,所以BNM的面积为S=12MNBD=122452+25=14425,故选B.答案B4.若点O和点F分别为椭圆x29+y28=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OPFP的最小值为()A.214B.6C.8D.12解析点P为椭圆x29+y28=1上的任意一点,设P(x,y)(-3x3,-22y22),依题意得左焦点F(-1,0),OP=(x,
4、y),FP=(x+1,y),OPFP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19x+922+234.-3x3,32x+92152,94x+9222254,1419x+92222536.619x+922+23412,即6OPFP12.故选B.答案B5.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析因为|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.故|F1Q|=2a,即Q在以
5、F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案A6.已知斜率为2的直线l被椭圆x23+y22=1截得的弦长为307,则直线l的方程为.解析设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由x23+y22=1,y=2x+m,消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-2).由弦长公式得|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=53649m2-67(m2-2)=307,解得m=13,此时满足0,所以直线l的方程为y=2x13.答案y=2x137.在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2
6、=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,射线AF2交椭圆于B.若AF1B的面积为403,内角A为60,则椭圆的焦距为.解析由题意可得AF1F2为等边三角形,即有2a+2c3=2c,2c=a,b=a2-c2=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,设直线AB的方程为x=-33y+c,代入椭圆方程,可得313y2+c2-233cy+4y2=12c2,化为5y2-23cy-9c2=0,解得y=3c或y=-335c,即有AF1B的面积为122c|yA-yB|=c835c=403,可得c=5,即有椭圆的焦距为10.答案108.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|
7、F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若PF1F2的面积为23,求点P的坐标.解(1)由题意知,2c=4,c=2,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为x216+y212=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),依题意知,12|F1F2|y0|=23,所以|y0|=3,y0=3,代入椭圆方程x0216+y0212=1,得x0=23,所以点P的坐标为(23,3)或(23,-3)或(-23,3)或(-23,-3).9.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆
8、A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.解设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r.又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10.所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.即点P的轨迹方程为x225+y216=1.10.已知椭圆E的方程为x2a2+y2=1,点A为长轴的右端点.B,C为椭圆E上关于原点对称的两点.直线AB与直线AC的斜率kAB和kAC满足:kABkAC=-12.(1)求椭圆E的标准方
9、程;(2)若直线l:y=kx+t与圆x2+y2=23相切,且与椭圆E相交于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆恒过原点.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则点C的坐标为(-x0,-y0),由x02a2+y02=1得,y02=1-x02a2=a2-x02a2.由kABkAC=-12,即y0x0-a-y0-x0-a=-12得,y02=a2-x022.所以a2-x02a2=a2-x022,所以a2=2.即椭圆E的标准方程为x22+y2=1.(2)设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+t得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.x1+x2=
10、-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2(2t2-2)1+2k2+-4k2t21+2k2+t2=t2-2k21+2k2,又直线l与圆C相切,所以63=|t|1+k2,即23=t21+k2.所以OMON=x1x2+y1y2=2t2-2+t2-2k21+2k2=3t2-2(1+k2)1+2k2=2(1+k2)-2(1+k2)1+2k2=0,所以OMON,即MON=90.所以,以线段MN为直径的圆经过原点.能力提升1.椭圆的离心率为22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭
11、圆的方程为()A.x218+y29=1B.x29+y218=1C.x218+y29=1或x29+y218=1D.x28+y24=1或x24+y28=1解析由题意知ca=22,得a2=2b2=2c2,不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF中点Mx0-c2,y02,根据条件可得y02=x0-c2+4,kPF=y0x0+c=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=32,b=3,由此可得椭圆的方程为x218+y29=1或y218+x29=1,故选C.答案C2.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(
12、0,-2)和C(0,2),顶点B在椭圆y212+x28=1上,则sinA+sinCsinB的值是()A.3B.2C.23D.4解析由椭圆定义得|BA|+|BC|=43,所以sinA+sinCsinB=|BC|+|BA|AC|=434=3.答案A3.点A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点,点P为椭圆C上一点(不与A重合),若POPA=0(O是坐标原点),则ca(c为半焦距)的取值范围是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上说法都不对解析设P(x0,y0)(x0a),POPA=0(O是坐标原点),则点P在以OA为直径的圆上,(x0-a2)2+y02=a24b2x02+a2
13、y02=a2b2c2x02-a3x0+a2b2=0(c2x0-ab2)(x0-a)=0x0=a,或x0=ab2c2,x0a,故x0=ab2c2,0ab2c2a.b2c2,即a2-c222,ca的取值范围是22,1,故选B.答案B4.已知点A-12,0,B是圆F:x-122+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动点P的轨迹方程.解如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|AF|.所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆.因此a=1,c=12,b2=34.故动点P的轨迹方程为x2+y234=1.5.已
14、知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C1,32在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P在椭圆E上,且t=PF1PF2,求实数t的取值范围.解(1)依题意,设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由已知c=1,所以a2-b2=1.因为点C1,32在椭圆E上,所以1a2+94b2=1.由得,a2=4,b2=3.故椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)设P(x0,y0),由PF1PF2=t,得(-1-x0,-y0)(1-x0,-y0)=t,即x02+y02=t+1.因为点P在椭圆E上,所以x024+y023=1.由得y02=t+1-x02,代入,并整理得x0
15、2=4(t-2).由知,0x024,结合,解得2t3.故实数t的取值范围为2,3.6.(选做题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C的左焦点为F1,过点F1的直线l与椭圆C交于D,E两点,则在x轴上是否存在一个定点M使得直线MD,ME的斜率互为相反数?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)据题意,得2b=23,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)据题设知点F1(-1,0),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1).由y=
16、k(x+1),x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设E(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.设M(m,0),则直线MD,ME的斜率分别满足kMD=y2x2-m,kME=y1x1-m.又因为直线MD,ME的斜率互为相反数,所以kME+kMD=y1x1-m+y2x2-m=x2y1+x1y2-m(y1+y2)(x1-m)(x2-m)=0,所以x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+x1k(x2+1)-mk(x1+1)+k(x2+1)=0,所以2kx1x2+k(x1+x2)-mk(x1+x2)+2k=0,所以2k4k2-124k2+3+k-8k24k2+3-mk-8k24k2+3+2k=0,所以k(m+4)=0.若k(m+4)=0对任意kR恒成立,则m=-4,当直线l的斜率k不存在时,若m=-4,则点M(-4,0)满足直线MD,ME的斜率互为相反数.综上,在x轴上存在一个定点M(-4,0),使得直线MD,ME的斜率互为相反数.
