1、习题课离散型随机变量的均值与方差的综合应用课后篇巩固探究基础巩固1.已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)解析由题意可知i(i=1,2)服从两点分布,E(1)=p1,E(2)=p2,D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),又0p1p212,E(1)E(2),把方差看作函数y=x(1-x),函数在0,12上为增函数,由题意可知,D(1)D(2).故选A.答案A2.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件,X表示甲
2、车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y的分布列分别为X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判定()A.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好B.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好C.甲生产的零件质量与乙生产的零件质量一样D.无法判定解析E(X)=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6,E(Y)=00.5+10.3+20.2+30=0.7.显然E(X)E(Y),由数学期望的意义知,甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好.答案A3.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=13,k=3,6,9,
3、则D(X)等于()A.6B.9C.3D.4解析E(X)=313+613+913=6.D(X)=(3-6)213+(6-6)213+(9-6)213=6.答案A4.若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.32-2B.2-4C.32-10D.2-8解析由题意知np=6,np(1-p)=3,解得p=12,n=12.P(X=1)=C121121-1211=12212=32-10.答案C5.人体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X(单位:
4、分)的均值为()A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1解析由题意得X=0,1,2,则P(X=0)=0.60.5=0.3,P(X=1)=0.40.5+0.60.5=0.5,P(X=2)=0.40.5=0.2,E(X)=10.5+20.2=0.9.答案A6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,至少有一个3点或6点出现时,就说这次试验成功,则在9次试验中,成功次数X的数学期望是.解析由已知,同时抛掷两枚骰子一次,至少有一个3点或6点出现时的概率为2036=59,9次试验相当于9次独立重复试验,则成功次数X服从二项分布,且XB9,59.E(X)=959=5.答案57.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(
5、0p1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为.解析随机变量X的所有可能的取值是0,1,并且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.从而E(X)=0(1-p)+1p=p.D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2=-p-122+14.0p1,所以当p=12时,D(X)取最大值,最大值是14.答案148.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后
6、,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为,求随机变量的期望与方差.解分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.(1)设E表示第一次烧制后恰好有一件合格,则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.50.40.6+0.50.60.6+0.50.40.4=0.38.(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3,所以B(3,0.3).故E()=np=30.3=0.9,D()=np(1-p)=30.30.7=0.63.能力提升1.某
7、城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(X)等于()A.1.48B.0.76C.0.24D.1解析X的分布列为X13P0.760.24,E(X)=10.76+30.24=1.48.答案A2.随机变量X的分布列如下:X123P0.5xy若E(X)=158,则D(X)等于()A.732B.932C.3364D.5564解析由10.5+2x+3y=158,0.5+x+y=1,得x=18,y=38,所以D(X)=1-158212+2-158218+3
8、-158238=5564.答案D3.若随机变量的分布列为P(=m)=13,P(=n)=a,若E()=2,则D()的最小值等于()A.0B.2C.4D.无法计算解析由于分布列中,概率和为1,则a+13=1,a=23.E()=2,m3+2n3=2.m=6-2n.D()=13(m-2)2+23(n-2)2=2(n-2)2.n=2时,D()取最小值0.答案A4.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为.解析甲:平均数为6+7+7+8+75=7,方差为(6-
9、7)2+3(7-7)2+(8-7)25=25.乙:平均数为6+7+6+7+95=7,方差为2(6-7)2+2(7-7)2+(9-7)25=65.所以方差较小的为25.答案255.已知离散型随机变量的可能值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E()=0.1,D()=0.89,则对应x1,x2,x3的概率P1,P2,P3分别为、.解析的分布列为:-101PP1P2P3E()=-P1+P3=0.1,D()=(-1-0.1)2P1+(0-0.1)2P2+(1-0.1)2P3=0.89.即1.21P1+0.01P2+0.81P3=0.89,即121P1+P2+81P3=89.又P1+P2+P3=1,-P
10、1+P3=0.1,P1+P2+P3=1,121P1+P2+81P3=89,解得P1=0.4,P2=0.1,P3=0.5.答案0.40.10.56.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab的最大值为.解析由已知可得3a+2b+0c=1,即3a+2b=1,ab=163a2b163a+2b22=16122=124.当且仅当3a=2b=12时取等号,即ab的最大值为124.答案1247.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了
11、一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C31C121=36(种),选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8(
12、种).故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29.(2)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=nkN得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15.故所求的分布列为Y51484542P21
13、54152515所求的数学期望为E(Y)=51215+48415+4525+4215=46.8.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望及方差.解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.
14、因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=C30(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=C310.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=C320.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=C330.63=0.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6),所以E(X)=30.6=1.8,D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.9.本着健康低碳的生活理念,租自
15、行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分,每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X,求X的分布列及均值.解(1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=1412+1214+
16、1414=516.故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)X的可能取值为0,2,4,6,8.P(X=0)=1412=18,P(X=2)=1414+1212=516,P(X=4)=1214+1412+1414=516,P(X=6)=1214+1414=316,P(X=8)=1414=116.甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为X02468P18516516316116E(X)=018+2516+4516+6316+8116=72.10.(选做题)低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(
17、千克)=耗电度数0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P的数据如下:东城小区低碳家庭非低碳家庭比例P1212西城小区低碳家庭非低碳家庭比例P4515(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭,求这4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率;(2)该班同学在东城经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳
18、家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中,宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭,记X表示5个家庭中“低碳家庭”的个数,求E(X)和D(X).解(1)设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是低碳家庭”为A,则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区.P(A)=12121515+412124515+12124545=33100.(2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有20%的人加入“低碳家庭”行列,所以经过两周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:东城小区低碳家庭非低碳家庭比例P1725825由题意得,两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数X服从二项分布,即XB5,1725,E(X)=51725=175,D(X)=51725825=136125.
