1、第1节归纳与类比最新考纲1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知 识 梳 理1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：演绎推理
2、是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断.微点提醒1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的.基 础 自
3、测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()解析(1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修2-2P7习题1-1T2改编)数列2，5，11，20，x，中的x等于_.解
4、析由523，1156，20119，推出x2012，故x32.答案323.(选修2-2P7练习1改编)将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为_.解析由三角形数组可推断出，第n行共有2n1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91.答案914.(2019淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值为0，所以x0是f(x)x3的极值点，以上推理()A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论正确解析大
5、前提是“对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么xx0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.故选A.答案A5.(2019西安二模)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为()A.当n2时，2nn2 B.当n3时，2nn2C.当n4时，2nn2 D.当n5时，2nn2解析当n2时，2nn2；当n3时，2nn2；归纳判断，当n4时，2nn2.故选C.答案C6.(2018大连模拟)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，且nN*)成立.
6、类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_.解析根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2bnb1b2b17n(n17，且nN+).答案b1b2bnb1b2b17n(nb0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为_.解析(1)令1x(x0)，即1x，即x2x10，解得x(x舍)，故1，故选C.(2)若点P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点
7、弦P1P2所在直线的方程为1.答案(1)C(2)1规律方法1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. 【训练2】 (1)(2018孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，则其四维测度W()A.2r4 B.3r4 C.4r4 D.6r4(2)在
8、平面上，设ha，hb，hc是ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_.解析(1)二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，(r2)2r，三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，4r2，四维空间中，“超球”的三维测度V8r3，(2r4)8r3，“超球”的四维测度W2r4，故选A.(2)设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.答案
9、(1)A(2)1考点三演绎推理多维探究角度1与逻辑推理有关的问题【例31】 (1)(2018南昌一模)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小.据此推断班长是_.(2)2019年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方.由此可判断乙去过的地方为_.解析(1)根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小”可得丙是体委；根据“丙的年
10、龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄丙的年龄学习委员的年龄，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长.(2)由乙说：我没去过茶卡天空之境，可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方，但甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方，乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方，再由丙说：我们三人去过同一地方，可推知乙去过的地方为陆心之海青海湖.答案(1)乙(2)陆心之海青海湖角度2与证明有关的问题【例32】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*).证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明
11、(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法解决逻辑推理问题的两种方法：(1)假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继
12、续推理，直到得到符合要求的结论为止.(2)枚举筛选法：即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举，然后对各种情况逐个检验，排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案.【训练3】 (1)(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在结果
13、揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品均未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_.解析(1)由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推出自己的成绩，故选D.(2)若A获得一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意；若B获得一等奖，则乙，丙的说法正确，甲，
14、丁的说法错误，故满足题意；若C获得一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意；若D获得一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意.故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B.答案(1)D(2)B思维升华1.合情推理的过程概括为2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.易错防范1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理
15、中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A.an3n1 B.an4n3C.ann2 D.an3n1解析a11，a24，a39，a416，猜想ann2.答案C2.观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()A.f(x) B.f(x) C.g(x) D.g(x)解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x).答案D3.
16、按照图图的规律，第10个图中圆点的个数为()A.36 B.40 C.44 D.52解析因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，所以第10个图有10440个点.故选B.答案B4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论()垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行.A. B. C. D.解析垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能是相交直线、异面直线，故不正确；垂直于同一个平面的两个平
17、面不一定平行，也可能是相交平面，如墙角，故不正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确.故选D.答案D5.下面四个推理，不属于演绎推理的是()A.因为函数ysin x(xR)的值域为1，1，2x1R，所以ysin(2x1)(xR)的值域也为1，1B.昆虫都有6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C.在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若ab，bc，则ac，将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地面的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析C中的
18、推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理.答案C6.(2019长春质量监测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推.例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹可表示为()解析由题意知8 771用算筹可表示为，故选A.答案A7.观察下列各式：ab1，a2b
19、23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C8.(2019武汉一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演雷雨茶馆天籁马蹄声碎四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧雷雨不能在周一和周四上演，茶馆不能在周一和周三上演，天籁不能在周三和周四上演，马蹄声碎不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是()A.雷雨只能在周二上演B.茶馆可能在周二或周四上演C.周三可能上演雷雨或马
20、蹄声碎D.四部话剧都有可能在周二上演解析由题目可知，周一上演天籁，周四上演茶馆，周三可能上演雷雨或马蹄声碎，故选C.答案C二、填空题9.仔细观察下面和的排列规律： ，若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_.解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.答案1410.(2018九江模拟)在等差数列an中，若公差为d，且a1d，那么有amanamn，类比上述性质，写出在等比数列an中类似的性质：_.解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列an中，若公比为q，
21、且a1q，则amanamn.”答案在等比数列an中，若公比为q，且a1q，则amanamn11.观察下列等式：1312，132332，13233362，13233343102，根据上述规律，第n个等式为_.解析观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为1323n3.答案1323n312.(2019呼和浩特模拟)某煤气站对外输送煤气时，用15号5个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：(1)若开启2号，则必须同时开启3号并且关闭1号；(2)若开启1号或3号，则关闭5号；(3)禁止同时关闭4号和5号.现要开启2号，则同时开启的另外2个阀门是_.解析由题意，若开启2号，则关闭1号，开启3号，开启4号，关
22、闭5号.故答案为3号和4号.答案3号和4号能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2019广东六校第三次联考)自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟.调查某高中学校学生自主招生报考的情况，得到如下结果：报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟；报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟；报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟；不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟.根据上述调查结果，下列结论错误的是()A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C.报考“北约”
23、联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟解析设该校报考“北约”联盟，“华约”联盟，“京派”联盟和“卓越”联盟的学生分别为集合A，B，C，D，报考自主招生的总学生为U，则由题意，知AB，BC，DC，UDB，AD，BC，BD.选项A，BD，正确；选项B，BC，正确；选项C，AD，正确，故选D.答案D14.如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_.解析由题意知，凸函数满足f，又ysin x在区间(0，)上是凸函数，则sin
24、Asin Bsin C3sin 3sin .答案15.(2018赣州联考)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为_x.解析第1关收税金：x；第2关收税金：x；第3关收税金：x；第8关收税金：.答案16.(2019成都诊断)正整数数列an满足an1已知a72，an的前7项和的最大值为S，把a1的所有可能取值按从小到大排成一个新数列bn，bn所有项的和为T，则ST_.解析正整数数列an满足an1故可采用逆推的方法求解，如图所示：则an的前7项和的最大值S248163264128254，bn所有项的和T23162021128190，故ST25419064.答案64
