1、专题01 集合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1（2021江苏省泰兴中学高三期中）设全集，集合，则为（）AB或C或D【答案】D【分析】解不等式求出集合，再求与的并集，然后计算补集即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：D2（2021山东烟台高三期中）设集合，则（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，求出集合，再由交集与补集的定义求解即可.【详解】由题意，或，则，故.故选：A.3（2021全国高三期中）已知集合，若，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】求出集合，再由集合的运算结果列不等式即可求解.【详解】由题意得，因为，所以，所以，故选：B.4（2021山东德州
2、高三期中）已知全集，若集合，集合，则（）ABCD 或 【答案】B【分析】将集合结合一元二次不等式，对数不等式化简，再由集合的交并补概念求解.【详解】由，由，故，则.故选：B5（2021山西怀仁高三期中（文）已知集合，则（）ABCDR【答案】A【分析】先解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集定义得结果.【详解】，或，所以故选：A.6（2021河南南阳高三期中（理）已知：全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）ABCD【答案】A【分析】解出集合中对应的不等式，然后可得答案.【详解】因为，所以图中阴影部分表示的集合是故选：A7（2021全国高三月考）已知集合，则（）ABC
3、D【答案】B【分析】分别求解两个集合，再求集合的交集.【详解】由得所以集合由，得，解得，所以集合，所以.故选：B8（2021新疆克拉玛依市教育研究所模拟预测（理）如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，则（）ABCD【答案】D【分析】根据韦恩图分析出表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可【详解】由韦恩图可得，因为，所以，所以=故选：D9（2021江西赣州市赣县第三中学高三期中（理）已知、，若，则的值为（）AB0CD或【答案】C【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.【详解】由 且，则，于是，解得或,根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此
4、，,故 故选：C.10（2021浙江金华高三月考）已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】结合交集和补集运算直接求解即可.【详解】由可得或，则.故选：C11（2021河北石家庄高三月考）已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（）ABCD【答案】C【分析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合有3个元素，所以集合的真子集的个数为7，故选：C12（2021重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知集合，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）AB或CD【答案】C【分析】解不等式求出集合，再计算即可求解.【详解】，或，由图知阴影部分所
5、表示的集合为，故选：C.13（2021辽宁沈阳市翔宇中学高三月考）已知集合，则=（）ABCD【答案】C【分析】先求解集合A中函数的定义域，可得，利用交集的定义即得解【详解】由题意，集合，由交集的定义故选：C14（2021湖北高三期中）设集合，则（）ABCD【答案】D【分析】解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集的定义即可计算作答.【详解】由得，即，由得，解得，即，于是得.故选：D15（2021江苏如皋高三月考）已知集合，则（）ABCMDN【答案】C【分析】先求得集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解.【详解】由不等式，可得，即集合，又由，所以.故选：C.16（2021四川成都
6、高三月考（理）已知集合，则下列选项正确的是（）ABCD【答案】D【分析】分别求得集合，然后根据集合之间的关系判断即可.【详解】由题可知：，所以可知是的真子集，可知，A,B,C均错，D正确.故选：D17（2021河南高三月考（文）已知集合，则（）ABCD【答案】A【分析】求出函数在上的值域得集合A，再按交集运算求解即得.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在上的值域是，则，而，所以.故选：A18（2021江苏高邮高三月考）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为值域为，则（）AB，C，D，【答案】C【分析】根据复合抽象函数定义域，值域的求法求出函数的定义域和值域，再根据交集的运算
7、解出【详解】因为，且的定义域为，值域为，则的定义域为，值域为，由得，所以的定义域为，值域为，则，所以.故选：C.19（2022全国高三专题练习）已知全集，则（）ABCD【答案】C【分析】解不等式求出集合，再进行交并补运算即可求解.【详解】因为，所以或，因为，所以或，所以，所以，故选：C.20（2021河北省唐县第一中学高三月考）下列集合中表示同一集合的是（）A，B，C，D，【答案】D【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；对于C，M是数集，N是点集，故M、N为
8、不同集合，故C错误；对于D，故M、N为同一集合，故D正确.故选：D.21（2021内蒙古赤峰高三月考（文）下列各式中，与表示同一集合的是（）ABCD【答案】B【分析】利用集合相等的定义判断.【详解】A. 表示点的集合，表示点的集合，故错误；B. 的元素是1,2，的元素是1,2，故正确；C. 的元素是0，没有元素，故错误；D. 因为，故错误；故选：B22（2021江苏省阜宁中学高三月考）设全集为，非空真子集，满足：，则（）ABCD【答案】D【分析】根据题意，可知和，结合Venn图一一判断即可.【详解】由，可知，又因，得.对于选项AB，由题意可知，集合，都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定，
9、因此AB都错；对于选项C，由，可知，故C错误；对于选项D，由和，知，又因集合是全集的非空真子集，故，所以D正确.故选：D.23（2021广东深圳市第七高级中学高三月考）设集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（）ABCD【答案】C【分析】根据韦恩图中阴影部分，应用集合运算法则计算【详解】阴影部分为故选：C24（2022全国高三专题练习）已知集合M=1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i，N=-1，3，且MN=3，则实数m的值为（）A4B-1C-1或4D-1或6【答案】B【分析】根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；【详解】由于,故,必有,所以即得.故选：B25（2
10、021河南高三月考（文）已知集合，则( )ABCD【答案】A【分析】首先利用一元二次不等式和求解集合，然后利用函数定义域求解集合，然后通过集合间的并运算即可求解.【详解】由，得，又因为，故，由的定义域知，即，故，所以.故选:A.26（2021全国高三月考（理）已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】根据集合交集运算，即可求解.【详解】解:，.故选：B27（2021全国模拟预测（理）设集合，则（）ABCD【答案】C【分析】解不等式得集合M，求函数定义域得集合N，然后求M与N的交集即可.【详解】依题意，解不等式得：，则，由知：，解得，则，于是得，所以.故选：C28（2021安徽省亳州市第一中学高
11、三月考（文）设是非空集合，定义：且且.已知，则（）ABCD【答案】A【分析】分别求出集合A，B，C，再根据集合的新定义运算即可得出答案.【详解】解：或，所以.故选：A.29（2021全国高三月考）已知集合，则（）ABCD【答案】A【分析】求出函数定义域得集合A，求出函数在上的值域得集合B，再按给定运算计算即得.【详解】依题意，集合，又函数在上单调递减，当时，当时，于是得集合，则，所以.故选：A30（2021陕西西安中学高三期中）设集合，且，则取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由和题干信息可判断，分和求解.【详解】因为，且，所以，当时，；当时，综上所述，.故选：D二、多选题31（2021重
12、庆市第七中学校高三月考）已知集合，集合，集合，则（）ABCD【答案】BCD【分析】先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可【详解】由，得，所以，由，得且，得或，所以或，由，得，所以，对于A，所以A错误，对于B，所以B正确，对于C，因为或，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为或，所以，所以D正确，故选：BCD32（2020全国高三专题练习）给定数集M，若对于任意a，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A集合为闭集合B正整数集是闭集合C集合为闭集合D若集合为闭集合，则为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案【详解】选项A：当
13、集合时，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当时，设，则，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设，由C可知，集合为闭集合，而，故不为闭集合，D选项错误故选：ABD33（2022全国高三专题练习）设集合，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（）AB或CD【答案】CD【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果.【详解】集合，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合.故选：CD.34（2021河北藁城新冀明中学高三期末）已知集合
14、，若，则可以等于（）A1B2CD3【答案】AB【分析】先化简集合Q，再根据求解.【详解】因为，且，所以m=1或2，故选：AB35（2021山东潍坊高三期末）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）ABCD【答案】BC【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域对于A选项，显然表示区域3，故不正确；对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；故选：BC36（2022全国高三专题练习）设不大于的最大整数为，
15、如已知集合，则（ ）ABCD【答案】AD【分析】利用的性质化简集合，再利用集合交集与并集的定义求解即可.【详解】，因为，所以，故选：AD.【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.37（2021山东高三专题练习）已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】BD【分析】对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.【详解】由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数， 所以，即故选：BD【点睛】本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性
16、质能进行化简.38（2021湖南长沙一中高三月考）已知集合，则（）ABCD【答案】BC【分析】先化简集合，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.【详解】因为，解不等式得，又因为.对于A，由题意得，故A错误；对于B，由上已证可知B正确；对于C，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误；故选:BC39（2020全国高三专题练习）已知集合，且，则实数m的值可以为（）A1B-1C2D0E.-2【答案】ABD【分析】由，得，按，分类讨论，求得m的值即可.【详解】因为，所以，.当时，符合题意；当时，所以或，解得或所以m的值为1或-1或0故选ABD【点睛】本题考查的是集合的包含关系判断以及
17、应用问题，集合元素的特性、分类讨论以及问题转化的思想，属于基础题.40（2020江苏东海县石榴高级中学高三月考）设集合，若实数，则的值可以是A1BC0.5D1.5【答案】AC【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义求出，从而判断可得；【详解】解：因为，所以，所以所以，故选：AC【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.第II卷（非选择题）三、填空题41（2022上海高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_【答案】【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式
18、且，即，令，所以，所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而一次函数，图象是过一定点的动直线，作出函数和的图象，如图所示，其中，又因为，结合图象，要使得集合中有且只有一个元素，可得，即，解得.即正实数的取值范围是.故答案为：.42（2020上海市嘉定区第二中学高三期中）若集合，则_.【答案】【分析】分别求出集合再求交集即可.【详解】，,故答案为：.43（2021上海市敬业中学高三月考）已知全集，集合，则_.【答案】【分析】先求得集合，再根据集合补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据集合的补集的概念及运算，可得.故答案为：.44（2022全国高三专题练习）设集合，若，则的取值范围是
19、_.【答案】【分析】先化简确定集合A，再根据分和两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围【详解】解：因为，所以，因为，所以是的子集，当时，则，解得，符合题意；当时，则，解得，符合题意；综上所述，m的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题45（2022全国高三专题练习）集合满足，则集合的个数有_个.【答案】3【分析】根据题意先求出所有的集合，再确定个数即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以集合的个数有3个.故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.46（2020上海崇明高三月考）对于集合、，定义运算且，若，
20、则_.【答案】【分析】利用新定义和交集的定义可求出集合.【详解】，则，根据题中定义可得.故答案为.【点睛】本题考查集合运算，同时也考查了集合中的新定义，考查计算能力，属于基础题.47（2020上海市行知中学高三开学考试）若，且，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】先求出集合中不等式的解集，再由列不等式组求解即可.【详解】解：由已知，当时，解得当时，解得，综合得.故答案为：【点睛】本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，是基础题.48（2020上海模拟预测）已知集合，则_【答案】【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛
21、】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.49（2021江苏高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值范围是_【答案】【分析】先求出集合A，在根据包含关系列出不等式即可求出.【详解】可得，解得.故答案为：.50（2021全国高三专题练习）已知集合，集合，则_（用区间表达）【答案】【分析】利用对数函数的性质和指数函数的性质解出集合和，然后根据集合性质求解即可求解【详解】，故符合，得，得到；故答案为：任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1（2021全国高三专题练习（理）设集合A，集合B.则AB（ ）ABCDR【答案】D【分析】求定义域确定集合，根据函数的单调性得集合，再
22、由集合的运算计算【详解】由得，所以，时，由勾形函数知在上递减，在上递增，时，时，时，所以，所以，即，所以故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元的属性进行求解集合是求函数的定义域，集合求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域2（2022全国高三专题练习）已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（ ）A1B3C6D10【答案】B【分析】将方程平方整理得，再根据判别式得，故，再依次检验得，最后根据集合关系即可得答案.【详解】解:根据题意将两边平方得，继续平方整理得：，故该方程有解.所以，即，解得，因为，故，当时，易
23、得方程无解，当时，有解，满足条件；当时，方程有解，满足条件；当时，方程有解，满足条件；故，因为且集合中恰有2个元素，所以集合可以是，.故选：B.【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为，再结合判别式得，进而求出集合.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.3（2022全国高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：，若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（）A若，则是U的一个环B若，则存在U的一个环F，F含有8个元素C若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且D若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且【答案】D【分析】对A，根
24、据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在满足；对D，根据环的定义可得出中至少8个元素.【详解】对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；对C，如满足环的要求，且含有4个元素，故C正确，不符合题意.对D，再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义.4（2022全国高三专题练习）已知集合，.若，则实数（）A-3BCD3【答案】B【分析】由题得直线与直线平行，解方程即得解.【
25、详解】因为，所以直线与直线平行，所以所以. 经检验，当时，两直线平行.故选：B.5（2021全国高三专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（）ABCD【答案】D【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.【详解】，因为，所以，当时，集合，满足；当时，集合，由，得或，解得或，综上，实数的取值集合为.故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.6（2022全国高三专题练习）已知集合，.若，则实数（）A3BC3或D或1【答案】A【分析】将问题转化为“直线与直线互相平行”，由此求解出的取值.【详解】因为，所以直线与直线没有交点，所
26、以直线与直线互相平行，所以，解得或，当时，两直线为：，此时两直线重合，不满足，当时，两直线为：，此时两直线平行，满足，所以的值为，故选：A.7（2020天津南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（）A没有最大元素，有一个最小元素B没有最大元素，也没有最小元素C有一个最大元素，有一个最小元素D有一个最大元素，没有最小元素【答案】
27、C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C8（2021全国高三专题练习）已知，若，则a的取值范围是（）.AB或C或D以上答案都不对【答案】D【分析】法1.可以代特殊值，对答案进行排除；法2.画出图形，进而使得双曲线与圆没有公共点即可，然后根据图形的位置关系解得答案.【详解】法1.当时，总可找到一个适当的a值，使；又当时
28、，也有.于是a的取值范围有三个不同的区间，对照选择，排除A、B、C.故选：D.法2.由已知，集合P表示双曲线上的点构成的集合；集合Q表示圆上的点构成的集合，则问题双曲线C1与圆C2没有公共点.如图1所示：圆C2位于双曲线C1外，此时，.如图2所示：圆C2位于双曲线C1内（仅画了圆在右侧），先考虑两者相切时，联立，由图形可知，若圆C2位于双曲线C1内，则或.综上：或或.故选：D.9（2021山西长治高三月考（理）集合，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】先根据函数定义域的求法求出函数的定义域，进而求出集合M，然后再根据指数不等式的解法求出的解，进而求出集合N，最后根据交集的求法确定的结果即可.
29、【详解】要使函数有意义，须满足，即，所以集合，不等式的解为，所以集合，所以.故选：C.10（2021甘肃省民乐县第一中学高三月考（理）设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（）ABCD【答案】C【分析】利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.【详解】如图，此时，A错，B，B错，D错，故选：C11（2021全国高三专题练习）已知集合若，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】利用集合的包含关系即求.【详解】由题意，集合，；m时，成立；综上所述，故选：B.12（2022全国高三专题练习）设集合，则（）ABCD【答案】B【分析】对于集合，令和，即得解.【详解】，对于集合，当时，
30、；当时，故选：B13（2022全国高三专题练习）已知，若集合，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】先由集合分别求出的范围，由得范围相同，可知交是否是空集取决于的范围，然后分情况讨论即可求解【详解】因为，所以得到；得到；因为所以，所以交是否是空集取决于的范围，因为，所以，当时，；当时，所以当集合时，实数的取值范围是：故选：A14（2021新疆莎车县第一中学高三期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）ABC或D【答案】D【分析】由绝对值的几何意义化简集合，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案【详解】解：，故A不正确；，故B不正确；或，或或，故C不正确；或，故D正确正
31、确的是D故选：D15（2020上海市松江二中高三月考）函数，则集合元素的个数有（）A个B个C个D个【答案】D【分析】根据分段函数解析式，结合集合元素要满足的性质，通过分类讨论求所有满足条件的的值，进而确定集合中元素的个数【详解】当时，解得，当时，若，解得，当时，若，解得，当时，若，则，解得或.又或或或或或. 集合元素的个数有5个.故选：D16（2021全国模拟预测）已知集合，则集合中元素的个数是（）A6B7C8D9【答案】C【分析】先由N中的不等式求得x,y的取值范围，再列举出其中的整点，然后检验是否满足M中的不等式，即得到交集中的元素个数.【详解】由可得,，即,N中的满足的整点有：，共9个点
32、，其中只有(1,1)这一个点不满足，故中的元素个数为8个，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集，关键是寻找M中同时符合N中的条件的元素.17（2021江苏模拟预测）已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】D【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解即可.【详解】由可得，解得，所以，当时，又，所以，故选：D18（2021全国高三专题练习），则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】集合表示圆心为原点，半径为1的圆，集合表示四条直线围成的正方形，根据圆在正方形内求出的范围即可【详解】集合为圆内部或圆周 上的点集，为直线，围成的正方形，画出图象，如图所示，当直线与圆相切时，设切点为，连接，为等腰直
33、角三角形，为斜边上的中线，即，此时，因为圆在正方形内，所以，故答案为：【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题子集问题转化为圆在正方形内问题是解题的关键.二、多选题19（2021广东普宁市普师高级中学高三月考）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（ ）ABC0D1【答案】BCD【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：B
34、CD.【点睛】本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有个元素，则集合有个子集.20（2021全国高三专题练习）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，则以下说法正确的是（ ）ABCD【答案】ABD【分析】根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.【详解】，故A正确；定义且，故B正确；，故C错误；，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计
35、算即可得出答案21（2021全国高三专题练习）设全集为，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则或C若，则 D若，则【答案】ACD【分析】根据集合的交并补运算法则可得ACD正确，举出反例可得B错误.【详解】对于A选项，即，所以该选项正确；对于B选项，考虑，则该选项不正确；对于C选项，即，所以该选项正确；对于D选项，根据集合关系，则显然正确.故选：ACD【点睛】此题考查集合运算相关概念的辨析，关键在于熟练掌握集合的运算规则.22（2020全国高三专题练习）若集合，则正确的结论有（ ）ABCD【答案】AB【分析】根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.【详解】由，又，显然集合
36、所以，则成立，所以选项A正确.成立，所以选项B正确，选项D不正确.，所以选项C不正确.故选：AB【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.23（2022全国高三专题练习）设集合，则下列关系正确的是（ ）ABCD【答案】AB【分析】求出集合和，即可【详解】，所以，或，所以，故选：AB【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，涉及求函数值域和对数复合型函数的定义域，属于中档题.24（2020上海市大同中学高三月考）（多选）集合，下列说法正确的是（）A对任意，是的子集B对任意，不是的子集C存在，使得不是的子集D存在，使得是的子集【答案】AD【分析】讨
37、论、均为非空或空集，研究集合、之间的包含关系.【详解】当、均不为空集时，此时，是的子集；当、均为空集时，与互为子集，故选：AD.第II卷（非选择题）三、填空题25（2021河南驻马店模拟预测（文）已知关于的不等式的解集为，则当，且时，实数的取值范围是_.【答案】【分析】根据题意，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，不等式的解集为，若，且，则有，解可得或，即的取值范围为；故答案为：26（2021福建省厦门第二中学高三月考）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_.【答案】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，“和” ，“和”四种可能，它
38、们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为，；，；，；，；这样所求集合即由，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集所以满足条件的集合的个数为，故答案为：.27（2022全国高三专题练习）已知函数，Ax|txt+1，Bx|f(x)|1，若集合AB只含有一个元素，则实数t的取值范围是_【答案】0t1【分析】首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求出不等式的解集，进一步求出集合B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t的值【详解】要解|f(x)|1，需要分类来看，当x0时，|2x24x+1|12x24x+11或2x24x+1-
39、1x2或x0或x1，又x0x2或x1或x0当x0时，|2x24x+1|12x24x+11或2x24x+112x0或或，又x02x0或综上可知Bx|-2x0或或x2或x1集合AB只含有一个元素，t0且t+120t1故答案为：0t128（2021上海上外浦东附中高三月考）设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则_【答案】/【分析】先求解两个集合，由交集的定义即得解【详解】由不等式，即函数的定义域：故答案为：29（2021上海市七宝中学高三月考）函数，记集合，集若，且A、B都不是空集，则的取值范围是_【答案】/【分析】由可得，从而求得；从而化简，从而分和讨论求得答案.【详解】解：设，即，故；故，当时
40、，成立；当时，的解为或，又，则或，由，则应无解，故，解得：；综上所述，.故答案为：.30（2020上海南汇县泥城中学高三月考）已知集合，若，则_；【答案】2【分析】结合已知条件，分别讨论和时，集合和集合是否满足即可求解.【详解】由，结合已知条件由下列两种情况：若，则，此时，满足；若，则，(i)当时，不满足；(ii)当时，不满足，综上所述，.故答案为：2.任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1（2021上海杨浦高三期中）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（）若为一个“群”，则必为无限集；若为一个“群”，且，则；若，都是“群”
41、，则必定是“群”；若，都是“群”，且，则必定不是“群”；A1B2C3D4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确；：设，若，一定有，因为，都是“群”， 所以，因此，若，所以，故本叙述正确；：因为，一定存在且，且，因此且，所以，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2（2021贵州贵阳高三开学考试（文）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*
42、”，满足以下条件：，有如，有；在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元此时称（，*）为一个群例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（）A，则为一个群B，则为一个群C，则为一个群D平面向量，则为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足，则不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确；B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一
43、确定的，所以不满足，则不为一个群，所以该选项错误；C. ，满足，为的单位元满足，是-1的逆元，1是1的逆元，满足，则为一个群，所以该选项正确；D. 平面向量，满足，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确.故选：B3（2022上海高三专题练习）设集合，其中，下列说法正确的是（）A对任意，是的子集，对任意的，不是的子集B对任意，是的子集，存在，使得是的子集C存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集D存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，求得，即可判断B正确，A，C，D错误【详解】解：对于集合，可得当
44、，即，可得，即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误当时，可得是的子集；当时，且，可得不是的子集，故A错误综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集故选：B.4（2022浙江高三专题练习）设，其中，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：；有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（）ABCD【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若错，有两种情况，若错则互相矛盾，若错，有三种情况，若错，有一种情况，分别求解即可得结果【详解】若错，则，有两种情况：，或，；若错，则，互相矛盾，故对；若错，则，有三种情况：，；，；，；若错，则，只有一种情况：，所以故选：C5（2021
45、福建福州四中高三月考）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）A0B1C2D3【答案】D【分析】根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由，可得因为等价于或，且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且综上所求或，即，故，故选：D【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合
46、要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.6（2020陕西长安一中高三月考（文）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论：；“整数，属于同一类”的充要条件是“”其中正确的个数为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断的正误，根据集合的包含关系可判断的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故错误，而，故，故正确.若整数，属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，故整数，属于同一“类”的充要条件为，故正确.由“类”的定义可得，任意，设除以4的
47、余数为，则，故，所以，故，故正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7（2021全国高三专题练习（理）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，2，3，4，5给出以下五个结论：；“整数、属于同一“类”的充要条件是“”；“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】因为，令，得，所以，不正确；，故正确；若整数、属于同一“类”，则整数被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为，
48、即；若，则被6除所得余数为，则整数被6除所得余数相同，故“整数、属于同一“类”的充要条件是“”，所以正确；若整数、满足，则，所以，所以；若，则可能有，所以“整数、满足，”的必要不充分条件是“”，所以不正确.故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8（2021浙江路桥中学模拟预测）设集合中至少两个元素，且满足：对任意，若，则 ，对任意，若，则，下列说法正确的是（ ）A若有2个元素，则有3个元素B若有2个元素，则有4个元素C存在3个元素的集合，满足有5个元素D存在3个元素的集合，满足有4个元素【答案】A【分析】不妨设，由知集合中的两个元素必为相反数，设，由得，
49、由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.【详解】若有2个元素，不妨设，以为中至少有两个元素，不妨设，由知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，由得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，当集合有个元素时，由得：，则或.当集合有多于个元素时，不妨设，其中，由于，所以，若，则，但此时，即集合中至少有这三个元素，若，则集合中至少有这三个元素，这都与集合中只有2个运算矛盾， 综上，故A正确；当集合有个元素，不妨设，其中，则，所以，集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.故选：A.【点睛】解题技巧
50、：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9（2021广东番禺中学高一期中）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（）A4B6C8D9【答案】D【分析】对子集分，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解.【详解】，与是的子集，对子集分情况讨论：当时，有种情况；当时，有种情况；当时，有种情况；当时，有种情况；所以共有种，故选：D.10（2020上海奉贤
51、高一期中）对于区间内任意两个正整数，定义某种运算“*”如下：当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，则在此定义下，集合中元素个数是（）A3个B4个C5个D6个【答案】C【分析】分别讨论，都是正偶数时，都是正奇数时，所以，再由即可求出集合，进而可得集合中的元素的个数.【详解】因为当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，所以当，都是正偶数时，可得；当，都是正奇数时，所以，因为，所以，；，；，；，；所以，所以集合中的元素有个，故选：C.11（2021全国高三专题练习）设是直角坐标平面上的任意点集，定义，若，则称点集“关于运算对称”给定点集，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（）ABCD【答案】B【分
52、析】令，则，从而由，分别求出，再根据点集“关于运算对称”的定义依次分析判断即可得出答案【详解】解：令，则，故；，即，故；，即，故；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个.故选：B.12（2021黑龙江哈师大附中高一月考）设集合X是实数集R的子集，如果点R满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合X的聚点则在下列集合中，以0为聚点的集合是（）ABCD整数集Z【答案】B【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案【详解】A中，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，所以在的时候，不存在满足的x，不是集合的聚点；故A不正确；B中，集合，对任意的a，都存在实际上任意比a小的数都可以，
53、使得，所以是集合的聚点；故B正确；C中，因为，所以当时，不存在满足的x，不是集合的聚点，故C不正确；D，对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能满足，从而0不是整数集Z的聚点故D不正确.综上得以0为聚点的集合是选项B中的集合.故选：B二、多选题13（2020广东广雅中学高三月考）设整数，集合.令集合，且三条件恰有一个成立，若和都在中，则下列选项不正确的是（）A，B，C，D，【答案】ACD【分析】根据集合的定义可以得到和的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项.【详解】因为，则的大小关系有3种情况，同理，则的大小关系有3种情况，由图可知，
54、的大小关系有4种可能，均符合，所以ACD错，故选:ACD.【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14（2021河北石家庄二中高三月考）若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A集合是“完美集”B有理数集是“完美集”C设集合是“完美集”，、，则D设集合是“完美集”，若、且，则【答案】BCD【分析】利用第（2）条性质结合，可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结
55、合性质（2）可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，则，集合不是“完美集”，A选项错误；对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；对于C选项，若，则，C选项正确；对于D选项，任取、，若、中有或时，显然；当、均不为、且当，时，则，所以，所以，若、且，则，从而，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15（2022全国高三专题练习）（多选）若非空数集满足任意，都有，则称为“优集”已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）A是优集B是优集C若是优集，则或D若是优集，则是优集【答案】AC
56、D【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A中，任取，因为集合是优集，则，则 ，则，所以A正确；对于B中，取，则或，令，则，所以B不正确；对于C中，任取，可得，因为是优集，则，若，则，此时 ；若，则，此时 ，所以C正确；对于D中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16（2020山东高三专题练习
57、）已知集合,若对于,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;.其中是“互垂点集”集合的为( )ABCD【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得，结合函数图象即可判断【详解】由题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，在中存在另一个，使得，所以是“互垂点集”集合；在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行
58、任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题第II卷（非选择题）三、填空题17（2021上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设，若方程至少有六组不同的解，则实数k的所有可能取值是_.【答案】【分析】根据，用列举法列举出集合A中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可.【详解】集合A中，从
59、小到大8个数中，设两数的差为正：则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3；间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4；间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6；间隔三个数的两数差：12，13，11，12；间隔四个数的两数差：14，14，14；间隔五个数的两数差：15，17；间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次，故k取值为：3，6，14时，方程至少有六组不同的解，所以k的可能取值为：，故答案为：18（2021北京高三开学考试）记正方体的八个顶点组成的集合为.若集合，满足，使得直线，则称是的“保垂直”子集.给出下列三个结论：集合是的“
60、保垂直”子集；集合的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；若是的“保垂直”子集，且中含有5个元素，则中一定有4个点共面.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合是的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案.【详解】对于，当取体对角线时，找不到与之垂直的直线，错误；对于，当8个点任取6个点时，如图当集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合是的“保垂直”子集；当集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如，则存在四点共面，
61、根据正方体的性质，符合是的“保垂直”子集；如，取存在，取存在，取存在，符合是的“保垂直”子集，所以正确；对于，举反例即可，如，错误.故答案为：.19（2021江苏扬州模拟预测）对于有限数列，定义集合，其中且，若，则的所有元素之和为_.【答案】660【分析】可得，得出中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】，则中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，每个被选出的次数是相同的，若被选中，则共有种选法，即每个被选出的次数为，则的所有元素之和为.故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，再求出每个数
62、字被选中的次数.20（2021北京东城一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：若A具有性质P，则A可以是有限集；若具有性质P，且，则具有性质P；若具有性质P，则具有性质P；若A具有性质P，且，则不具有性质P.其中所有真命题的序号是_.【答案】【分析】举特例判断；利用性质P的定义证明即可；举反例说明错误；利用反证法，结合举反例判断.【详解】对于，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故正确；对于，取，则，又具有性质P，所以具有性质P，故正确；对于，取，但，故错误；对于，假设具有性质P，即对任意，都有，即对任意，都有，举反例，取，但，故假设不成立，故正确；故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.
