1、2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，若M=PQ，则M的子集个数为（）A5B4C3D22已知复数（1+i）z=3+i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设命题p：函数f（x）=ex在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x为奇函数，则下列命题中真命题是（）ApqB（p）qC（p）（q）Dp（q）4两向量，则在方向上的投影为（）A（1，15）B（20，36）CD5已知函数
2、f（x）=2sinxcosx2sin2x，xR，则函数f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+，kZBk，k+，kZC2k，2k+，kZD2k，2k+，kZ6已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）Alog23Blog32Cln2Dln37执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是（）A30B62C126D2548定长为6的线段MN的两端点在抛物线y2=4x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为（）A6B5C3D29三棱锥SABC中，SB平面ABC，SB=，ABC是边长为的正三角形，则该三棱锥SABC的外接球的表面积为（）A3B5C9D1210若实数x，y满足
3、，则x2+y2的最小值为（）ABCD511一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A +B +C +D2+312已知函数f （x）=x2x|xa|3a，a3若函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，则|的取值范围是（）A（1，+）B（，+）C（，1D（，二、填空题：本大题共4小题。每小题5分.13已知等比数列an中，an0，a2=3，a6=12，则a4=14已知双曲线y2=1（m0）的离心率为，则m的值为15为推广漳州“三宝”，某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一
4、个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是16已知数列an中，a1=1，且n（an+1an）=2an+1（nN*），现给出下列4个结论：数列an是递增数列；数列an是递减数列；存在nN*，使得（2a1）+（2a2）+（2an）2016；存在nN*，使得（2a1）2+（2a2）2+（2an）22016；其中正确的结论的序号是（请写出所有正确结论的序号）三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知ABC的三个内角为A，B，C，向量=（cosA，sinB），=
5、（cosB，sinA），满足=cosC（1）求证：ABC是直角三角形；（2）若AC=，BC=6，P是ABC内的一点，且APC=BPC=120，设PAC=，求tan18某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：70，90），90，110），110，130），130，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由
6、此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考公式：K2=参考数据：P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82819四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，BCD的边长为的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上（）求证：CD平面PAD；（）若BF平面PCD，PCD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离20已知定点A（1，0），动点P在圆B：（x+1）2+y2=16上，线
7、段PA的中垂线为直线l，直线l交直线PB于点Q，动点Q的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）若点P在第二象限，且相应的直线l与曲线E和抛物线C：y=x2都相切，求点P的坐标21已知函数f（x）=，函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数（）求实数a的值；（）若关于x的不等式f（ex+1）t有解，求实数t的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=ADAE；（2）证
8、明：FGAC选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=和=（0）与圆C分别异于极点O的A，B两点（1）求圆C的极坐标方程；（2）求|OA|+|OB|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+a|2x3|，aR（1）若a=2，求不等式f（x）3的解集；（2）若存在实数x使得f（x）2a成立，求实数a的取值范围2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
9、求的。1已知集合P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，若M=PQ，则M的子集个数为（）A5B4C3D2【考点】交集及其运算【分析】求出P与Q的交集确定出M，即可求出M子集的个数【解答】解：P=2，3，4，5，6，Q=3，5，7，M=PQ=3，5，则M的子集个数为22=4故选：B2已知复数（1+i）z=3+i，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案【解答】解：由（1+i）z=3+i，得，复数z所对应的点的坐标为（2，1），在第四象限故选：D3设命题p：函数f（x）
10、=ex在R上为增函数；命题q：函数f（x）=cos2x为奇函数，则下列命题中真命题是（）ApqB（p）qC（p）（q）Dp（q）【考点】复合命题的真假【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：函数f（x）=ex在R上为增函数，是真命题；命题q：函数f（x）=cos2x为偶函数，因此是假命题，q是真命题则下列命题中真命题是pq故选：D4两向量，则在方向上的投影为（）A（1，15）B（20，36）CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出【解答】解：，=4（5）+（3）（12）=16， =13，在方向上的投影为
11、=，故选：C5已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x，xR，则函数f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+，kZBk，k+，kZC2k，2k+，kZD2k，2k+，kZ【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx2sin2x=sin2x2=2sin（2x）1，xR，令 2k2x2k+，求得kxk+，可得函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kZ，故选：B6已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）Alog23Blog32Cln2Dln3【考点】函数的值【
12、分析】用换元法，设2x=t，则x=log2t，求出解析式f（t），计算f（3）的值即可【解答】解：设2x=t，x=log2t，f（t）=log2t，即f（x）=log2x；f（3）=log23故选：A7执行如图的程序框图，若输入n=4，则输出的结果是（）A30B62C126D254【考点】程序框图【分析】由程序框图知：算法的功能是求S=2+22+23+2i的值，根据条件确定跳出循环的i值，从而计算输出的S值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2+22+23+2i的值，当输入n=4时，跳出循环的i值为5，输出S=2+22+23+24+25=62故选：B8定长为6的线段MN的两端点在抛物线
13、y2=4x上移动，设点P为线段MN的中点，则P到y轴距离的最小值为（）A6B5C3D2【考点】抛物线的简单性质【分析】先设出M，N的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号判断出的最小值即可【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线的y2=4x准线x=1，P到y轴距离S=11=31=2，当且仅当M，N过F点时取等号，故选：D9三棱锥SABC中，SB平面ABC，SB=，ABC是边长为的正三角形，则该三棱锥SABC的外接球的表面积为（）A3B5C9D12【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分
14、析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SB为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积【解答】解：根据已知中SB平面ABC，SB=，ABC是边长为的正三角形，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SB为高的正三棱柱的外接球，ABC是边长为的正三角形，ABC的外接圆半径r=1，球心到ABC的外接圆圆心的距离d=，故球的半径R=三棱锥SABC外接球的表面积为：4=9故选：C10若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为（）ABCD5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行
15、求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知O到直线x+y3=0的距离最小，此时d=，则x2+y2的最小（）2=，故选：B11一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A +B +C +D2+3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图求出圆锥的高和底面半径，再求出截去的底面弧的圆心角，由扇形面积公式求出底面剩余部分的面积，代入锥体体积公式计算可得答案【解答】解：由三视图得，圆锥底面半径为r=，圆锥的高h=，由俯视图和侧视图可得：截去的底面弧的圆心角=2=，底面剩余部
16、分的面积S=1+，所以几何体的体积为：V=Sh=（1+）=，故选：A12已知函数f （x）=x2x|xa|3a，a3若函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，则|的取值范围是（）A（1，+）B（，+）C（，1D（，【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】当a3的取值范围结合函数f（x）有两个零点，利用韦达定理写出x1+x2，x1x2的表达式，结合一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：f （x）=x2x|xa|3a=，a3，当xa3，令f（x）=0，ax3a=0，x=3，不满足，xa时，函数f （x）恰有两个不同的零点x1，x2，令f（x）=0，则可得x1，x2是方程2x2ax3a=0的
17、两个根，则：x1+x2=，x1x2=，|=（，1，故答案选：C二、填空题：本大题共4小题。每小题5分.13已知等比数列an中，an0，a2=3，a6=12，则a4=6【考点】等比数列的性质【分析】直接利用等比数列的性质求解即可【解答】解：等比数列an中，an0，a2=3，a6=12，可得a4=6故答案为：614已知双曲线y2=1（m0）的离心率为，则m的值为3【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的几何量，通过离心率求解即可【解答】解：双曲线y2=1（m0）的离心率为，可得： =，解得m=3故答案为：315为推广漳州“三宝”，某商场推出“砸金蛋”促销活动，单笔购满50元可以玩一次“砸金蛋”
18、游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”分别用a，b，c表示，列举出所有的基本事件，再根据概率公式计算即可【解答】解：“水仙花卡片”，“片仔癀卡片”和“八宝印泥卡片”分别用a，b，c表示，一次游戏中，得到的卡片的基本事件有aa，ab，ba，ac，ca，bc，cb，bb，cc共9种，其中以得到相同的卡片有aa，bb，cc，共3种，故玩一次该
19、游戏可以获赠一份奖品的概率是=，故答案为：16已知数列an中，a1=1，且n（an+1an）=2an+1（nN*），现给出下列4个结论：数列an是递增数列；数列an是递减数列；存在nN*，使得（2a1）+（2a2）+（2an）2016；存在nN*，使得（2a1）2+（2a2）2+（2an）22016；其中正确的结论的序号是（请写出所有正确结论的序号）【考点】数列递推式【分析】对于：由n（an+1an）=2an+1（nN*），变形为（n+1）an+1nan=2，利用等差数列的通项公式可得：an=2，即可判断出正误对于：（2a1）+（2a2）+（2an）=3，由于n+时，1+，即可判断出正误；对于
20、：（2an）2=9，（n2）时，利用“裂项求和”即可判断出正误【解答】解：对于：n（an+1an）=2an+1（nN*），（n+1）an+1nan=2，数列nan是等差数列，首项为1，公差为2nan=1+2（n1）=2n3，解得an=2，数列an是单调递增数列，因此不正确，正确对于：（2a1）+（2a2）+（2an）=2n=3，由于n+时，1+，因此存在nN*，使得（2a1）+（2a2）+（2an）2016，正确对于：（2an）2=9，（n2）时，n2时，（2a1）2+（2a2）2+（2an）29+9+=9+918，因此不存在nN*，使得（2a1）2+（2a2）2+（2an）22016综上可得
21、：只有正确故答案为：三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤17已知ABC的三个内角为A，B，C，向量=（cosA，sinB），=（cosB，sinA），满足=cosC（1）求证：ABC是直角三角形；（2）若AC=，BC=6，P是ABC内的一点，且APC=BPC=120，设PAC=，求tan【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据=cosC得A，B，C之间的关系，使用两角和的余弦公式即可得出cosC=0；（2）用表示出PBC，分别在APC和BPC中使用正弦定理得出PC，即可列出关于的方程，得出tan【解答】解：（1）=cosC，即cosAcosBsinAsi
22、nB=cos（A+B）=cosC=cosC，cosC=0，0C，C=ABC是直角三角形（2）APC=BPC=120，PCA=60，BCP=90PCA=30+，PBC=60PCB=30在PAC中，由正弦定理得，即，PC=2sin在BPC中，由正弦定理得，即，PC=4sin（30）sin=2sin（30）=cos3sin，4sin=cos，tan=18某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：70，90），9
23、0，110），110，130），130，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；（）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“优秀生与性别有关”？优秀生非优秀生合计男生女生合计参考公式：K2=参考数据：P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【考点】独立性检验【分析】（）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算男生的成绩平均数，即
24、可得出结论；（）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论【解答】解：（）由频率分布直方图可以估计男生测试的成绩的平均值为=800.01520+1000.022520+1200.0120+1400.02520=100分，因为103.5100，所以由此可以判断，女生测试成绩的平均水平略高于男生（）由频数分布表可知：在抽取的100学生中，男生有100=60（人），测试成绩优秀的男生有60（0.0100+0.0025）20=15人，女生有100=40（人），测试成绩优秀的女生有40（0.01625+0.00250）20=15人，据此可得22列联表如下：优秀生非
25、优秀生合计男生154560女生152540合计3070100可得k2=1.79因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”19四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，BCD的边长为的等边三角形，AD=2，AB=1，点F在线段AP上（）求证：CD平面PAD；（）若BF平面PCD，PCD是等边三角形，求点F到平面PCD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（）根据面面垂直的性质定理证明平面PAD平面ABCD即可证明CD平面PAD；（）根据点到平面的距离的定义作出点F到平面的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可【解答】解：（）AB=1，AD
26、=2，BD=，cosADB=，则ADB=30，BCD是等边三角形，BDC=60，ADC=ADB+BDC=90，即CDAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CD平面PAD；（） 在平面ABCD内过B作BGCD，交AD于G，BG平面PCD，CD平面PCD，则BG平面PCD，由（1）得CDAD，BGAD，连接GF，BF平面PCD，BF，BG平面FBG，BFBG=B，平面FBG平面PCD，平面PAD分别交平面FBG，PCD于FG，PD，FGPD，则直角三角形BGD中，BD=，BDG=30，DG=BDcos30=，=，在平面PAD内过F作FHPD于H，CD平面PA
27、D，面FHC面PAD，CDFH，PD，CD平面PCD，PDCD=D，FH平面PCD于H，则FH是点F到平面PCD的距离过A作AMPD于M，PAD是边长为2的等边三角形，AM=，FHAM，=，FH=AM=，即点F到平面PCD的距离是20已知定点A（1，0），动点P在圆B：（x+1）2+y2=16上，线段PA的中垂线为直线l，直线l交直线PB于点Q，动点Q的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）若点P在第二象限，且相应的直线l与曲线E和抛物线C：y=x2都相切，求点P的坐标【考点】抛物线的简单性质；直线与圆相交的性质【分析】（）利用垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可
28、得|QB|+|QA|=4，利用椭圆的定义可得点Q的轨迹是一个椭圆；（）设l：y=kx+m代入椭圆、抛物线的方程，利用判别式等于0，A与P关于直线l对称，即可求点P的坐标【解答】解：（）由条件知：|QA|=|QP|，|QB|+|QP|=4，|QB|+|QA|=4，|AB|=24，所以点Q的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，2a=4，2c=2，b2=3，曲线E的方程是=1；（）由题意，设l：y=kx+m，代入=1得（4k2+3）x2+8kmx+4（m23）=0，1=（8km）4（4k2+3）4（m23）=0，4k2m2+3=0把代入：y=x2，得： x2+kx+m=0，由2=0，得m=8k2由解得k=，
29、m=2设P（x0，y0），则x00，y00A与P关于直线l对称，kAP0，k0，k=，l：y=x+2，则，x0=1，y0=4，经检验P（1，4）在圆C上故所求点P的坐标为P（1，4）21已知函数f（x）=，函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，其中实数a是常数，e是自然对数的底数（）求实数a的值；（）若关于x的不等式f（ex+1）t有解，求实数t的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求导数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，求实数a的值；（）由于ex+11，关于x的不等式f（ex+1）t有解，等价于1，使得f
30、（x）t，即t，即extx+te0成立分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求实数t的取值范围【解答】解：（）f（x）=，f（x）=，函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与直线y=x+e垂直，f（2）=e，f（2）=a，a=e；（）由（）可知f（x）=，ex+11，关于x的不等式f（ex+1）t有解，等价于1，使得f（x）t，即t，即extx+te0成立令g（x）=extx+te，则g（x）=extte，则x1时，g（x）=extet0，g（x）在1，+）上是增函数，x1时，g（x）g（1）=0，extx+te0不成立；te，则由g（x）=ext=0得x=lnt1，x（1，lnt）时
31、，g（x）0，g（x）在1，lnt）上是减函数，x（1，lnt）时，g（x）g（1）=0，extx+te0成立综上所述，实数t的取值范围是（e，+）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=ADAE；（2）证明：FGAC【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行【解答】证明：（1）因为AB是O的一
32、条切线，AE为割线所以AB2=ADAE，又因为AB=AC，所以ADAE=AC2（2）由（1）得EAC=DAC，ADCACE，ADC=ACEADC=EGF，EGF=ACE，GFAC选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=和=（0）与圆C分别异于极点O的A，B两点（1）求圆C的极坐标方程；（2）求|OA|+|OB|的最大值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）先求出圆的普通方程，再转化为极坐标方程；（2）由圆的参数方程可得|OA|=4cos，|OB|=4cos（），使用三角恒等变换及的取值范
33、围得出|OA|+|OB|的最大值【解答】解：（1）圆的普通方程为（x2）2+y2=4，即x2+y24x=0，圆C的极坐标方程为24cos=0，即=4cos（2）|OA|=4cos，|OB|=4cos（），|OA|+|OB|=4cos+4cos（）=4cos+2cos+2sin=6cos=4sin（）0，当=即时，|OA|+|OB|取得最大值4选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+a|2x3|，aR（1）若a=2，求不等式f（x）3的解集；（2）若存在实数x使得f（x）2a成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值的性质表示出f（x）的最大值，解不等式|a+3|2a即可【解答】解：（1）f（x）=，由f（x）3，得或x，解得：x或x，x，不等式的解集是，+）；（2）f（x）=|2x+a|2x3|2x+a2x+3|=|a+3|，当且仅当（2x+a）（2x3）0且|2x+a|2x3|时，如取x= “=”成立，f（x）的最大值为|a+3|，|a+3|2a，a0时，上式成立，当a0时，a+32a，0a3，综上，a的范围是（，32016年7月30日
