1、二十三 对数函数的图像和性质【基础全面练】(15 分钟 30 分)1函数 ylog2x2 的定义域是()A(3，)B3，)C(4，)D4，)【解析】选 D.由 log2x20，得 log2xlog24，所以 x4.2如图是三个对数函数的图像，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb【解析】选 D.令 y1，如图所示则 bc10，所以3x0，所以 13xlog 1310.5已知 yloga(3a1)恒为正值，求 a 的取值范围【解析】当0a1，03a11，即13 a1，3a11，即 a1 时，yloga(3a1)恒为正值综上，a 的取值范围为 a1 或13 a23.【综合
2、突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1已知函数 f(x)|log2x|，正数 m，n 满足 mn，且 f(m)f(n).若 f(x)在区间m2，n上的最大值为 2，则 m，n 的值分别是()A12，2 B14，2C 22，2D14，4【解析】选 A.画出函数 f(x)|log2x|的图象的大致示意图，如图所示已知正数 m，n 满足 mn，且 f(m)f(n)，所以 0m1n.因为 f(m)f(n)，所以|log2m|log2n|，即log2mlog2n，所以 log2mn0，解得 mn1.结合题图知，函数 f(x)|log2x|在(0，1)为减函数，在(1
3、，)为增函数因为 0m1，所以 0m2mlog441，b1201，clog30.4b，则函数 f(x)log 12(3x2)*log2x 的值域为()A0，)B(，0Clog223，0Dlog223，【解析】选 B.在同一平面直角坐标系中分别画出 ylog 12(3x2)和 ylog2x 这两个函数的图像，如示意图 1 所示所以 f(x)图像如示意图 2.由图可得 f(x)2122133 21log xxlogx x，所以值域为(，0.4当 0a1 时，在同一坐标系中，函数 yax 与 ylogax 的图像是()【解析】选 D.因为函数 yax 与 ylogax 互为反函数，所以它们的图像关于
4、直线 yx 对称，且当 0a1 时，函数 yax 与 ylogax 都是减函数，观察图像知，D 正确5已知 f(x)（3a1）x4a，x1，logax，x1是(，)上的减函数，那么 a 的取值范围是()A(0，1)B0，13C17，13D17，1【解析】选 C.因为 f(x)logax(x1)是递减的，所以 0a1 且 f(1)0.因为 f(x)(3a1)x4a(x1)为递减的，所以 3a10，所以 a13.又因为 f(x)（3a1）x4a，x1，logax，x1是(，)上的减函数，所以(3a1)14a0，所以 a17.所以 a17，13.【误区警示】本题容易忽视函数在定义域上是递减的，而不仅
5、是在两段上分别是递减的二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在0，)上是增加的，且 f120，则不等式f(log4x)0 的解集是_【解析】因为 f(log4x)0，所以12 log4x12，所以 log4412 log4xlog4412，所以12x2.答案：x|12x0，则实数 a 的取值范围是_【解析】当 a12 时，函数 f(x)log 12 2x12在区间23，34上为减函数，当 x34时取最小值为 log 12 23412log 1210.因为函数 f(x)在区间23，34上恒有 f(x)0，所以 a1，且 223 a1；或 0a1，且 02
6、34 a1.解得 a，或12 a1，所以12 a2 或 x2 或 x0)的递减区间是(，0)，故 ylog3(x22x)的递减区间是(，0).答案：(，0)三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9比较下列各组中两个数的大小：(1)log31.9，log32.(2)log23，log0.32.(3)loga，loga3.141.【解析】(1)因为函数 ylog3x 在(0，)上是增函数，1.92，故 log31.9log221，log0.32log0.32.(3)当 a1 时，ylogax 在(0，)上是增函数，3.141，故 logaloga3.141；当 0a3.141，故 loga0，解得 x0，因此 f(x)的定义域为(0，).(2)设 0 x1x2，则 041x 142x 1，因此 log4(41x 1)log4(42x 1)，即 f(x1)1 时，为使函数 yf(x)loga(ax2x)在区间2，4上是增加的，只需 g(x)ax2x 在区间2，4上是增加的，故应满足x 12a2，g（2）4a20，解得 a12，所以 a1.当 0a0，无解，此时 a 不存在综上，当 a1 时，函数 f(x)loga(ax2x)在区间2，4上是增加的
