1、高中数学新人教必修一全套学案1.1集合（1）一、知识归纳：1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。2、集合的表示方法 3、集合的分类二、例题选讲：例1、观察下列实例： 小于11的全体非负偶数； 整数12的正因数；抛物线图象上所有的点； 所有的直角三角形；高一（1）班的全体同学； 班上的高个子同学； 回答下列问题：哪些对象能组成一个集合.用适当的方法表示它.指出以上集合哪些集合是有限集.例2、用适当的方法表示以下集合：平方后与原数相等的数的集合；设为非零实数， 可能表示的数的取值集合；不等式的解集； 坐标轴上的点组成的集合；第二象限内的点组
2、成的集合； 方程组的解集。三、针对训练：1课本P5第1题： 2课本P6第1、2题3已知集合若中只有一个元素，求及；若求的取值范围。1.1集合(2)一、知识归纳：4、集合的符号表示：集合用 表示，元素用 表示。如果是集合的元素，就说属于集合，记作：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作：常用数集符号：非负整数集（或自然数集）： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集：5、 元素的性质：（1） （2） （3）二、例题选讲：例3 用符号填空：0 ； ；0 ； ； ； 。； ； 例4 （1）已知，判断是否属于？，（2）已知求三、针对训练：1课本P5第2题2习题1.13.已知：，用符号填空0 ； ；
3、 10 ； （1，2） 。（0，0） ；（1，1） ；2 。1.1集合练习题A组1、用列举法表示下列集合： (1)大于10而小于20的合数 ；(2)方程组的解集 。2.用描述法表示下列集合:（1）直角坐标平面内X轴上的点的集合 ；(2)抛物线的点组成的集合 ；(3)使有意义的实数x的集合 。3.含两个元素的数集中，实数满足的条件是 。4. 若，则3 ；若，则1.5 。5.下列关系中表述正确的是（ ）A. B. C. D.6.对于关系：3；Q；0N； 0，其中正确的个数是A、4 B、3 C、2 D、 17.下列表示同一集合的是（ ）A BC D 8已知集合中的三个元素是的三边长，那么一定不是 （
4、 ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形9.设a、b、c为非0实数，则的所有值组成的集合为（ ）A、4 B、-4 C、0 D、 0，4，-410. 已知，求，的值.11.已知集合A=，试用列举法表示集合A.12.已知集合（1）若中有两个元素，求实数的取值范围，(2)若中至多只有一个元素，求实数的取值范围。B组 1.含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值。2已知集合，其中，若中元素都是中元素，求实数的取值范围。 3*. 已知数集A满足条件1，若，则。（1） 已知，求证：在中必定还有两个元素（2） 请你自己设计一个数属于，再求出中其他的所有元素（3） 从上面两小题
5、的解答过程中，你能否悟出什么“规律”？并证明你发现的这个“规律”。参考答案A组：1、（1）；（2）。2、（1）；（2）；（3）。3、。 4、；。 59、DCBDD。 10、。 11、。12、（1）且；（2）或。B组：1、； 2、。3、（1）；（2）略；（3）A的元素一定有个。1.2子集、全集、补集（1）一、知识归纳：1、子集：对于两个集合与，如果集合的 元素都是集合的元素，我们就说集合 集合，或集合 集合。也说集合是集合的子集。即：若“”则。子集性质：（1）任何一个集合是 的子集；（2）空集是 集合的子集； （3）若，则 。2、 集合相等：对于两个集合与，如果集合的 元素都是集合的元素，同时集
6、合的 元素都是集合的元素，我们就说 。即：若 ，同时 ，那么。3、 真子集：对于两个集合与，如果 ，并且 ，我们就说集合是集合的真子集。性质：（1）空集是 集合的真子集；（2）若， 。4、易混符号：“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系0与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合5、子集的个数：（1）空集的所有子集的个数是 个 （2）集合a的所有子集的个数是 个（3）集合a,b的所有子集的个数是 个 （4）集合a,b,c的所有子集的个数是 个 猜想： (1)a,b,c,d的所有子集的个数是多少？ (2)的所有子集的个数是多少？ 结论：含n个元素的集合的所有子集的
7、个数是 ， 所有真子集的个数是 ，非空子集数为 ，非空真子集数为 。二、例题选讲：例1 （1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示（2） 判断下列写法是否正确：A A AA例2 填空：_0，0 ，0 （0，1），（1，2） 1，2，3，1，2 1，2，3例3 已知= ，则的子集数为 ，的真子集数为 ，的非空子集数为 ，所有子集中的元素和是 ？三、针对训练：1、 课本9页练习； 2、已知，则有 个？ ，则有 个？ ，则有 个？ 3、已知，求的值.1.2子集 全集 补集（2）一、知识归纳：1、全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的 ，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示。2、补
8、集：设是一个集合，是的子集，由中所有 元素组成的集合，叫做中子集的补集。即： 。性质： ； ； 。二、例题选讲：例1、若S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，求CSA。 例2、已知全集UR，集合 ，求CA 例3、已知：， ，讨论A与CB的关系 三、针对训练：1、课本P10练习 1、2题2、已知全集U，A是U的子集，是空集，BCUA，则CUB= ，CU= ，CUU= 。3、设全集，已知集合满足M=CUN，N=CUP，则与的关系是（ ）（A）M=CUP，（B）M=P，（C）MP，（D）MP.4、已知全集，若，则的取值范围是（ ） ，5、已知，如果CUA1，那么的值为 。6、集合=（x，y）|
9、x1,2,y1,2 , =（x，y）|xN*,yN*,x+y=3，求CUA.1.2子集、全集、补集练习题A组：1.已知集合P=1，2，那么满足QP的集合Q的个数为（ ）A4 B.3 C.2 D. 12.满足1，2条件的集合A的个数为（）A.4 B. C. D.3集合的所有子集的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.14.在下列各式中错误的个数是( );A.1 B.2 C.3 D. 45下列六个关系式中正确的有（）；A.个 B.个 C.个 D.个及个以下6 全集( )A. B. C. D.7 知全集和集合、，则( )A. B. C. D.8.已知全集的值为 ( )A.2或12 B. 2或12 C
10、.12 D.29已知U是全集，集合M，N满足关系，则（ ）A、 B、 C、 D、10若,则 11设全集,则=_,=_.12. 设数集 13. 集合, 14.求满足的个数.15. 已知集合,求实数的取值集合.16.若集合A=x-2x5，B=xm+1x2m-1，且BA，求由m的可取值组成的集合。17. 设全集，求实数a的值。18已知全集，是否存在实数a、b，使得19设求， 20.设全集若,求、.B组1 知 （ ） A. 1组 B.2组 C. 3组 D.4组2.设为非空集合，且，求满足条件“若,则”的集合。*3集合，是的一个子集，当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的4元子集
11、的个数是（ ）A4个 B5个 C6个 D7个参考答案19、ACAA BCBA A。 10、。 11、。 12、。13、。 14、3 15、。 16、。17、。 18、。19、；。20、。B组：1、D 2、，。 3、C1.3 交集、并集(1)一、知识归纳：1、交集定义：由所有属于集合 属于集合的元素所组成的集合，叫做与的交集。即： 。2、并集定义：由所有属于集合 属于集合的元素所组成的集合，叫做与的并集。即： 。性质： ， ， ；（）= ， ， ， ；（）= 。二、例题选讲：例1、设，求AB= 。例2、设=x|x是等腰三角形，=x|x是直角三角形，求AB= 。例3、设，求AB= ；AB= 。例4
12、、设=x|x是锐角三角形，=x|x是钝角三角形，求AB= 。三、针对训练：1、课本P12练习 15题；2、设，求AB= ；AB= 。3、设， ，求AB= 。4、已知是奇数集，是偶数集，为整数集，则AB= ,AZ= ,BZ= ,AB= ,AZ= ,BZ= .5、设集合，又AB=9,求实数的值.四、本课小结：1、AB= ； 2、AB= 。 1.3 交集、交集(2)一、 知识归纳：1、交集性质： ， ， ；（）= ，2、并集性质： ， ， ；（）= 。3、 德摩根律： （课本P13练习4题）（）（）= ，（）（）= 。二、例题选讲： 例1、设， ，则CuA= ，CuB= ，(CuA) (CuB)=
13、，(CuA) (CuB)= ， Cu(AB)= ， Cu(AB)= 例2、已知集合,，求AB,AB例3已知,，(1) 当时，求实数的取值范围； (2) 当时，求实数的取值范围三、针对训练： 1、课本P13练习 13题2、已知，若，求 3、若集合M、N、P是全集S的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B C D4、设是两个非空集合，规定，则等于（ ）， ， ， 5、已知全集，是的两个子集，且满足，则 ； 。四、 本课小结：1、交集的性质：2、并集的性质：3、德摩根律： 13 交集、并集练习题（1）A组1 设全集，集合，集合，则等于（ ）A B C D2设A、B、I均为非空集合，且满足则下
14、列各式中错误的是（ ）A、 B、C、 D、3、已知，则M、N的关系是（ ）A D.不确定4已知集合，则集合中元素的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、多个 5已知集合，则集合中元素的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、多个 6P，Q为两个非空实数集合，定义，则P+Q中元素的个数是（ ） A、9 B、8 C、7 D、67、全集U=1，2，3，4，5，集合A、BU，若，则集合B等于（ ） 8满足的集合A、B的组数为（ ） A、5 B、 C、9 D、9已知则= 10已知全集，若0，1或3，则_11设集合，若求。12设集合，若求实数a的集合。13、 集合且，求实数a的取值范围。14某班50
15、个同学中有32人报名参加数学竞赛，有25人报名参加化学竞赛，有3人两样竞赛都不参加，求：（1）数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人？（2）只参加一种竞赛的共有多少人？B组1设集合，则（ ）2若集合满足，则称为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆，则集合的不同分拆种数是（ ）A8 B9 C26 D273已知全集集合求。参考答案A组：18：ABCA CBAC 9、。 10、。11、。 12、。 13、。14、（1）10人；（2）37人。B组：1-2：BD。 3、。13 交集、并集练习题（2）A组1、已知，那么（ ） A B C D2已知集合M=1,1,2,N=y|y=x ,x
16、M,则 MN是( )A 1 B 1，4 C1，2，4 D 3全集，则 （ ） A B C D4集合，若，则实数应该满足的条件是（ ） A B C D 5已知A=(x, y)|x+y=3, B=(x,y)|xy=1，则AB=（ ）A2, 1Bx=2,y=1C(2,1) D(2,1)6设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集且S1S2S3=I，则下面论断正确的AC ISI（S2S3）=BS1（C I S2C IS3）CC ISIC IS2 C IS3=DS1（C I S2C IS3）7已知集合，则中的元素个数为（ ）A0 B0，1，2其中之一 C无穷 D无法确定8全集，则9某班参加数学课外活
17、动小组有22人，参加物理课外活动小组有18人，参加化学课外活动小组有16人，至少参加一科的课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有_人。10设，若，求。11集合P=1，3，m，且，求实数m的值。12已知，求。13若，且，求由实数a组成的集合B组1设全集，则方程的解集为（ ）A B C D2设是两个集合，定义集合，若，则集合中元素个数为（ ）A B C20 D9参考答案A 组：17、CADC CCA8、，；9、10；10、；11、，或；12、13、B组：、CC函数的概念学案学习目标 1、通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与
18、对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素，进一步巩固初中常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图像、定义域、值域3、理解区间的概念，能准确地利用区间表示数集4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养抽象概括能力教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念教学难点 函数的概念、符号y=f(x)的理解、教学流程 一、问题1、在初中，甚至在小学我们就接触过函数，在实际生产生活中，函数也发挥着重要的作用，那么，请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题，阅读课本实
19、例（1）、（2）、（3），进一步体会函数的概念 问题3、在实例（1）、（2）中是怎样描述变量之间的关系的？你能仿照描述一下实例（3）中恩格尔系数和时间（年）之间的关系吗？ 问题4、分析、归纳上述三个实例，对变量之间的关系的描述有什么共同点呢？ 函数的概念 一般地，设、是，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的一个数，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 问题5、在实例（2）中，按照图中的曲线，从集合B到集合A能不能构成一个函数呢？请说明理由 练习1、 1、在下列从集合到集合的对
20、应关系中，不可以确定是的函数的是（ ） （1） ，对应关系 （2），对应关系 （3），对应关系 （4），对应关系 2、下图中，可表示函数的图像只能是（ ）OyxOyxOyxOyx DCBA三、区间的概念阅读课本，明确区间的概念 练习2、把下列数集转化为区间 （1） （2） （3）（4） （5） （6） 四、填写下表映射学案本课重点：映射概念的理解，映射与函数的区别、联系;映射中两集合元素之间的对应关系【预习导引】1、 关于映射，下列说法错误的是 （ ）A A集合中的每个元素在B集合中都存在元素与之对应；B “在B集合中存在唯一元素和A集合中元素对应”即A中的元素不能对应B集合中一个以上的元素；
21、C A集合中可以有两个或两个以上的元素对应B集合中的一个元素；D B集合中不可以有元素不被A集合中的元素所对应；2、 判断下列对应是否为A集合到B集合的映射和一一映射？（1）；（2）；（3）；（4）教学过程：引入：初中所学的对应1）、对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的一点P和它对应；2）、对于坐标平面内的任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对（x,y）和它对应；这节课就是在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应映射。新课：1、观察讨论中接近概念1）、引例：观察以下几个集合间的对应，讨论特征 A B 1 2 3 41 A B A B取倒数 9 4 13-32-21-1 开
22、平方 一对一一对多 BBAA 取绝对值 乘以2 1 2 3 123456 1-1 2-2 0 120 多对一 一对一 A B A B 3 -3 2 -2 1 -1941 每人领自己 高 一 （9） 班 同 学高 一 （9） 班 学生证的学生证 平方 多对一 一对一 讲解：）、以上对应的特征：对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则f ,在集合B中都有确定的一个或几个元素和它对应。具体为：一对多，一对一，多对一。）、在这些对应中有那些是让中元素就对应中唯一的一个元素：（让学生仔细观察，回答）的共性：中的每个元素在中都有唯一的元素与之对应，直观语言表述：A中的每个元素在B中的结果均唯一。（由学
23、生总结，教师补充整理引出映射定义）定义1：一般地，设、是两个集合，若按照某种对应法则f，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合到集合的映射，记作f：AB。（这种具有对应关系的元素也有自己的名称，引出象与原象的概念。）定义2：给定一个映射f：AB，且aA,bB，若元素a与元素b对应，则b叫做a的象，而a叫做b的原象。（以具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象）。2、映射定义剖析：1）、映射是由三部分构成的一个整体：集合A、集合B、对应法则f，这一点从映射的符号表示f：AB可看出，其中集合A、B可以是数集、点集或其他集合，可以是有限集也可以是无限集，但不能是空集。
24、（用引例说明）2）、映射f：AB是一种特殊的对应，它要求A中的任何一个元素在B中都有象，并且象唯一，即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一”，不能是“一对多”。如：引例中不是映射。又如：设A=0、1、2，B=0、1、，对应法则f：取倒数，可记为f:x,因A中0无象，所以不是映射。3）、映射f：AB中，A中不同的元素允许有相同的象，即可以“多对一”，如。4）、映射f：AB中，不要求B中每一个元素都有原象，如。即若映射f：AB的象集为C，则CB。5）、映射是有顺序的，即映射f：AB与f：BA的含义不同。3、概念的初步应用1）、例1、设集合A=a,b,c, B=x,y,z,从集合A到集合B的对应方
25、式如下图所示，其中，哪几个对应关系是从集合A到集合B的映射？ A B A B A Babcxyzabcxyzabcxyz A B A Babcxyzabcxyz 分析：判断两个集合之间的对应关系是否为映射的方法：根据映射的定义，对于集合A中的任意一个元素a,在对应法则f的作用下，在集合B中有且只有一个元素b与之对应。符合这个条件的就是从集合A到集合B的映射，否则就不是。解：所示的对应关系中，对于集合A中的任意一个元素，在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，因此，它们都是从集合A到集合B的映射；在所示的对应关系中，对于集合A中的元素b，没有指定集合B中的对应元素，因此，它不
26、是映射；在所示的对应关系中，对于集合A中的元素a，在集合B中有两个元素x、y与之对应，因此，它也不是因映射。注：判断两个集合的对应关系是否为映射，关键在于抓住“任意”“唯一”这两个关键词，一般性结论是：一对一，多对一是映射。例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射、A=R，B=x|x0 且xR,f：xy=|x|解：0A，在法则f下0|0|=0B 不是从集合A到集合B的映射、A=N，B=N，f：xy=|x-1|解：1A，在法则f下：1|1-1|=0B不是从集合A到集合B的映射A=x|x0 且xR，B=R，f：xy=x2解：对于任意xA,依法则f：xx2 R，该对应是从集合A到集合B的映射注
27、：映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系，它要求集合A中任意一个元素x，都可以运用对应法则f实施运算，运算产生的结果y一定在集合B中，且唯一确定。2）、由学生自己举几个映射的例子，学生先评判，教师再点评备用例子A=，1，-2，B=3，2，1，0 f：xy=+1,xA,yBA=R，B=R，f：xy=2x+1, xA,yBA=N*,B=0,1, f：除以2的余数A=某商场的所有商品B=商品的价格f：每种商品对自己的价格 1、 小结：、映射是特殊的对应， 是“一对一”或“多对一”的对应对 应映 射 、映射与对应的关系如图所示5、作业：习题2、1 1、2、7、8研究课题：（1）、对应与映射的区别是什么
28、？（2）、设映射f：AB中象集为C，若集合A中有m个元素，象集C中有n个元素，则m与n的关系是什么？（3）、设A=a、b,B=c、d、用图示法表示集合A到集合B的所有不同映射；、若B=c、d、e,则A到B可建立多少个不同映射；【随堂反馈】1、 下列从集合A到集合B的对应中为映射的是 （ ）A、B、C、D、2、 已知集合不表示P到Q的映射的是（ ）A、 B、 C、 D、【课后检测】1、 在给定的映射的条件下，点的原象是 （ ）A、 B、或 C、 D、2、映射定义域A到值域B上的函数，下列结论正确的是（ ）A、A中每个元素必有象，但B中元素不一定由原象；B、B中元素必有原象，C、B中元素只有一个原
29、象;D、A或B可以空集或不是数集；3、给定映射4、已知从A到B的映射是从到的映射_（选做）已知到自身的映射，则这样的映射有多少个？若是一一映射，即这样的一一映射有多少个？函数的表示法学案预习：【学习目标】 （1） 掌握函数的表示方法；（2）通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解，同时为今后学习数形结合打好基础。【自主学习】1.列表法：通过列出 与对应 的表来表示 的方法叫做列表法跟踪练1：某种笔记本的单价是5元/个，买x（x1，2，3，4，）个笔记本需要y元，试表示函数y=f（x）2.图像法：以 为横坐标，对应的 为纵坐标的点 的集合，叫做函数y=f（x）的图像，这种用“图
30、形”表示函数的方法叫做图像法.跟踪练2：用图像法做跟踪练1跟踪练3：作出函数（1）y= (2)y=2x1,xZ且的图象。3.解析法（公式法）：用 来表达函数y=f（x）（xA）中的f（x），这种表达函数的方法叫解析法，也称公式法。跟踪练4：用解析法做跟踪练14.分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着 ，这样的函数通常叫做 。跟踪练5：课本例4跟踪练6：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:1. 信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;2. 信函质量大于100g且不超
31、过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.设一封x g(0x200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.新课：函数的三种表示方法：（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。例如：，说明：解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；中学里研究的主要是用解析式表示的函
32、数。（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”。（见课本P53页表1 国民生产总值表）说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。（3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-2 我国人口出生变化曲线）说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况例题讲解例1、某种笔记本每个5元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数
33、的图像解：这个函数的定义域集合是1,2,3,4，函数的解析式为y=5x，x1,2,3,4.它的图象由4个孤立点A (1， 5)B (2， 10)C (3， 15)D (4， 20)组成，如图所示例2 国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算：1、信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g付邮资80分，信函质量超过20g，但不超过40g付邮资160分，依次类推；2、信函质量大于100g且不超过200g时，付邮资（A+200）分（A为质量等于100g的信函的邮资），信函质量超过200g，但不超过300g付邮资（A+400）分，依此类推.设一封x g(0x200)的信函应
34、付邮资为y（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.xyo在上例中，函数对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数。注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.例3、作出分段函数的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即： = 作出图像如右图例4、作函数的图象.解：这个函数的图象是抛物线介于之间的一段弧（如图）.四、课堂练习：课本第56页练习1，2，3补充练习：_x_y1、画出函数y=|x|=的图象.解：这个函数的图象是两条射线，分别是
35、第一象限和第二象限的角平分线，如图所示. 五、小结 函数的三种表示方法及图像的作法六、作业：作出函数的函数图像解：步骤：（1）作出函数y=-2x-3的图象（2）将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|-2x-3|的图象函数的单调性学案一、【学习目标】（自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数单调性解决题目.这节课的特点是符号较多，希望同学们课下做好预习.）1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义；2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法；3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.课前引导：函数图象上任意点P(x,y
36、)的坐标有什么意义？二、【自学内容和要求及自学过程】观察教材第27页图1.3-2，阅读教材第27-28页“思考”上面的文字，回答下列问题（自学引导：理解“上升”、“下降”的本质内涵，归纳出增函数的定义）你能描述上面函数的图像特征吗？该怎样理解“上升”、“下降”的含义？对于二次函数y=x2，列出表(1)，完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升；x-3-2-101234f(x)=x2结论：函数y=x的图象，从左向右看是（上升、下降）的；函数y=x2的图象在y轴左侧是的，在y轴右侧是的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是的，在y轴右侧是的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函
37、数的自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的（横、纵）坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而；“下降”亦然；在区间(0，+)上，任取x1、x2，且x1x2,那么就有y1y2(),也就是有f(x1) f(x2).这样可以体会用数学符号刻画图象上升.阅读教材第28页“思考”下面的内容，然后回答下列问题（自学引导：同学们要理解增函数的定义，符号比较多，要一一的理解）数学上规定：函数y=x2在区间(0,+)上是增函数.请给出增函数定义.增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)x2时，都有f(x1)f(x2)”，这样行吗?增函
38、数的定义中，“当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数图象有何特点?增函数的几何意义是什么？结论：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，即都是相同的不等号“”，也就是说前面是“”，后面也是“x2时，都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”，即前面是“”，后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随自变量的增大而增大；从左向右看,图象是上升的；增函数几何意
39、义是从左向右看,图象是（上升、下降）的；（自学引导：类比增函数的定义，切实理解减函数的含义.）思考：类比增函数的定义，请你给出减函数的定义； 函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？结论：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小；函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,
40、图象是（）（上升、下降）的；阅读教材第29页第一段，然后回答下列问题你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗？试述之.三、讲授新课1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？设x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1x2时，f(x1) f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。结论：这时，说y1= x2在0，+上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：（投影2）一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属
41、于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1) f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任
42、意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。1、 说明1）。单调区间是定义域的子集；2）。若函数f(x)在区间D上是增函数，则图象在D上的部分从左到右呈趋势 若函数f(x)在区间D上是减函数，则图象在D上的部分从左到右呈趋势3）。单调区间一般不能并2、 判断单调性的方法：定义；导数；复合函数单调性：同增则增，异增则减；图象3、 常用结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性；（III）例题分析例1.下图是定义在闭区间上的函
43、数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。问题3：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，
44、从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：设任意x1、x2R，且x1x2.则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由x1x2得x1-x20.f(x1)- f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)=3x+2 在R上是增函数。分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1、x2给定区间，且x1x2；b.计算f(x1)- f(x2)至最简；c.判断上述差的符号；函数的奇偶性学案知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x
45、）或f（x）+ f（x）=0，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（，+）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函
46、数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）A.1 B.2 C.3 D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（a，a）.答案：A2.已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.答案：A3.若偶函数f（x）在区间1，0上是减函数，、是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是A.f（cos）f（
47、cos）B.f（sin）f（cos）C.f（sin）f（sin）D.f（cos）f（sin）解析：偶函数f（x）在区间1，0上是减函数，f（x）在区间0，1上为增函数.由、是锐角三角形的两个内角，+90，90.1sincos0.f（sin）f（cos）.答案：B4.已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有a12a，得a.又对于所给解析式，要使f（x）f（x）恒成立，应b0.答案： 05.给定函数:y=（x0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x；y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_
48、.答案： 典例剖析【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x2）在0，2上是单调减函数，则A.f（0）f（1）f（2）B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0）D.f（2）f（1）f（0）剖析：由f（x2）在0，2上单调递减，f（x）在2，0上单调递减.y=f（x）是偶函数，f（x）在0，2上单调递增.又f（1）=f（1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）f（x）=；（4）f（x）=剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|
49、=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，这时有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应
50、分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且f（x）在（0，+）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=1，有f（1）（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=
51、f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3即f（3x+1）（2x6）f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）0的解集是（a2，b），g（x）0的解集是（，）
52、，a2，那么f（x）g（x）0的解集是A.（，）B.（b，a2）C.（a2，）（，a2）D.（，b）（b2，a2）提示：f（x）g（x）0或x（a2，）（，a2）.答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+m（p0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p1，当x1，2时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）f（x）是奇函数，f（x）=f（x）.x+m=xm.2m=0.m=0.（2）（理）（）当p0时，据定义可证明f（x）在1，2上为增函数.f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（）当p0时，
53、据定义可证明f（x）在（0，上是减函数，在，+）上是增函数.当1，即0p1时，f（x）在1，2上为增函数，f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.当1，2时，f（x）在1，p上是减函数.在p，2上是增函数.f（x）min=f（）=2.f（x）max=maxf（1），f（2）=max1+p，2+.当1p2时，1+p2+，f（x）max=f（2）；当2p4时，1+p2+，f（x）max=f（1）.当2，即p4时，f（x）在1，2上为减函数，f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+.（文）解答略.评述：f（x）=x+（p0）的单调性是一重要问题，利用
54、单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的
55、格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
56、量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定义域的某个区间，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B
57、上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在A上是增函数；若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x10与a 0时， ，当a 0时，f(x)为奇函数； 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。例2(2002天津文.16)设函数f（x）在（，+）内有定义，
58、下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x2）；y=f（x）；y=f（x）f（x）。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案：；解析：y=（x）f（x）2=xf（x2）=y；y=f（x）f（x）=y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例3（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ _。答案：1；解：因为x0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（x）=f（x），设x0，所以f（x）=f（x）=f（1x），所以f（2）=log33=1。点评：该
59、题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例4已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数，当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：
60、判断证明函数的单调性例5（2001天津，19）设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即。对一切成立，则，。（2）(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数。（导数法），在上为增函数点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例6已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，当x
61、10时0 f(x)10时f(x)1; 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例7（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）（ab0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。.解：在定义域内任取x1x2，f（x1
62、）f（x2），ab0，ba0，x1x20，只有当x1x2b或bx1x2时函数才单调当x1x2b或bx1x2时f（x1）f（x2）0f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例8（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为，分解基本函数为、显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数在上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为和。显然在上是单调递减的，上单调递增；而
63、在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。解法二：， 令 ，得或，令 ，或单调增区间为；单调减区间为。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例9已知偶函数f(x)在(0，+)上为增函数，且f(2)=0，解不等式flog2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)。 又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且f(2)=f(2)=0。不等式可化为log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2
64、由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集为x|x5或x4或1x或x0。例10已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数m，使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。解：f(x)是R上的奇函数，且在0，+上是增函数，f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m)，即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20。设t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0
65、，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正。当0,即m0m1与m042m4+2，421,即m2时，g(1)=m10m1。m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42。另法(仅限当m能够解出的情况)： cos2mcos+2m20对于0,恒成立，等价于m(2cos2)/(2cos) 对于0,恒成立当0,时，(2cos2)/(2cos) 42，m42。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例11（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR。（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。解
66、：（1）当a=0时，函数f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数。当a0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）。此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。（2）当xa时，函数f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+。若a，则函数f（x）在（，a）上单调递减，从而，函数f（x）在（，a）上的最小值为f（a）=a2+1。若a，则函数f（x）在（，a上的最小值为f（）=+a，且f（）f（a）。当xa时，函数f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+。若a，则函数f（x）在a，+上的最小值为f（）=a，且f（）f（a）。若a，则函
67、数f（x）在a，+上单调递增，从而，函数f（x）在a，+上的最小值为f（a）=a2+1。综上，当a时，函数f（x）的最小值是a。当a时，函数f（x）的最小值是a2+1。当a时，函数f（x）的最小值是a+。点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为xR，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。例12设m是实数，记M=m|m1，f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)。(1)证明：当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反
68、之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM；(2)当mM时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1。 (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R。反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0。令0，即16m24(4m2+m+)0，解得m1，故mM。(2)解析：设u=x24mx+4m2+m+，y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小。而u=(x2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+，此时f(2m)=log3(m+)为最小值
69、。(3)证明：当mM时，m+=(m1)+ +13，当且仅当m=2时等号成立。log3(m+)log33=1。点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。题型七：周期问题例13若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）A B C D解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a2x)。所以f(2a2x)=fa+(a2x)=fa(a2x)=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以f(2b2x)=f(2x)，所以f(2b2a+2x)=f2b(2a2x)=f(2a2x)=f(2x)。所以f(2x)的一个周期为2
70、b2a，故知f(x)的一个周期为4(ba)。选项为D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（ab），则这个函数是周期函数，其周期为2（ba）。例14已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数证明：；求的解析式；求在上的解析式。解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，。当时，由题意可设，由得，。是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，。当时，有，。当时，。点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五思维总结1判断函数的奇偶性，必
71、须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函
72、数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。指数函数及其性质学案一、学习目标：1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.2.培养学生实际应用函数的能力二、学法指导：1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及
73、其简单应用.2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣三、知识要点1指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 2.指数函数的图象和性质： 的图象和性质a10a0,且a1呢？若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义. 若a0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).探究2：函数是指数函数吗？指数函数的解析式y=中，的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像
74、指数函数，实际上却是，如y= (a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且12.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象.列表如下：x-3-2-1-0.500.5123y=0.130.250.50.7111.4248y=8421.410.710.50.250.13x-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.5y=0.030.10.320.5611.783.161031.62y=31.62103.161.7810.560.320.10.03我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质a10a1，所以函数y=在R是增函数，而2.
75、53，所以，；与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.8-0.2，所以，1；小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.求下列函数的定义域、值域： 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围解（1）由x-10得x1 所以，所求函数定义域为x|x1由 ，得y1所以，所求函数值域为y|y0且y1说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合
76、图象直观地得到，以下两题可作类似处理（2）由5x-10得所以，所求函数定义域为x|由 0得y1所以，所求函数值域为y|y1（3）所求函数定义域为R由0可得+11所以，所求函数值域为y|y1通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性五、课堂小练 比较大小： ,81页练习1比较下列各数的大小： ， 对数函数学案学习目的：使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性：对于函数y=当0a1时，在（0，）上是减函数；a1时在（0，）上是增函数。学习重点：对数函数的定义、图象和性质。学习难点：对数函数图象和性质的理解。过程一、
77、复习提问把指数函数y2和y写成对数式。二、新课一般地，我们把函数y=（a0，且a1）叫对数函数（logarithmic function）其中x是自变量，函数的定义域是（0，）。研究函数y=和函数y=的图象和性质。y=，设点（x，y）在y=的图象上，则点（x，y）在图象y=上，而点（x，y）与（x，y）关于x轴对称，所以y=的图象和y=的图象关于x轴对称。（把x2分别代入两个函数，可得1和1）函数y=（a0，且a1）的图象和性质：（1）定义域：（0，）；（2）值域：R；（3）过定点（1,0）即x1时，y0；（4）当0a1时，在（0，）上是减函数；a1时在（0，）上是增函数。对比指数函数的图象和
78、性质。例7、求下列函数的定义域：（1）y定义域为：xx0（2）y定义域为：xx4例8、比较下列各组数中两个值的大小：（1），（）（2），（）（3），（a0，且a1）（a1时，0a1时，）分析：本题利用对数函数的性质来解决。注意（3）的分类讨论。例9、溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过PH画的。PH的计算公式为PHlgH，其中H表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。（1）根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为H107摩尔/升，计算纯净水的PH。解：（1）根据对数的运算性质，有PHlgHlgH1在（0，）上，随着H
79、的增大，减小，相应地，也减小，即PH减小。所以随着H的增大，PH值减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小。（2）当H107时，PHlg1077，所以纯净水的PH是7。纯净水的PH应该在5.07.0之间。y2x中，x是自变量，y是因变量。若y是自变量，x是因变量,x是y的函数吗？把y2x由指数式写成对数式：x，对于y（0，）时，通过式子x可知，x在R中有唯一确定的值和它对应，因此，可以说若y是自变量，x 是因变量,x是y的函数，这时我们说x（y（0，）是函数y2x（xR）的反函数（inverse function）.x习惯写成y对数函数y（x（0，）是指数函数y2x（xR）的反函数。它
80、们是互为反函数。对数函数（a0，且a1）和指数函数（a0，且a1）互为反函数。基础过关幂函数学案1幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 3幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当时，幂函数的图象过 4幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分
81、子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 对称典型例题例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）此函数的定义域为R， 此函数为奇函数（2）此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称 此函数为非奇非偶函数（3）此函数的定义域为 此函数为偶函数（4）此函数的定义域为 此函数为偶函数（5）此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（6） 此函数的定义域为 此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1） （2） （
82、3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增 （2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在 上单调递减（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减例2比较大小：（1） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函数， （2）在上是增函数，（3）在上是减函数，；是增函数，；综上， （4），变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1） （2） （3）解：（1） （2）（3）例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交
83、点，且关于原点对称，求的值分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合，便可逐步确定的值解：幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或变式训练3：证明幂函数在上是增函数分析：直接根据函数单调性的定义来证明证明：设，则 即此函数在上是增函数小结归纳1注意幂函数与指数函数的区别2.幂函数的性质要熟练掌握指数与指数幂的运算学案一、学习目标：1理解分数指数幂的概念 ； 2. 掌握有理指数幂的运算性质；3会对根式、分数指数幂进行互化； 4能够应用联系观点看问题二、学法指导：1本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了
84、有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a0， p是一个无理数，则表示一个确定的实数”2在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.3. 在掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.三、知识要点1规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是 ； （2）正数的负分数指数幂的意义是 = .2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 四、教学过程：（一）复习：（提问）1整数指数幂的运算性质： 2根式的运算性质：当n为任意正整数时
85、，()=a.当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.（二）新课讲解：1分数指数幂： 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则， 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是； （2）正数的负分数指数幂的意义是2分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即 说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。（三）例题分析：例1求值： ， ， ， 例2 用分数指数
86、幂的形式表示下列各式： ， ， .解：=； =； =例3计算下列各式的值（式中字母都是正数）（1）； （2）；分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤解（1） = =； （2） =例4计算下列各式：（1） （2）分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算解：（1）= =； （2）=五、课堂小练 课本P76练习1.用根式的形式表示下列各式(a) 2.用分数指数幂表示下列各式：(1) （）（）（） （）（）(5)（） (6)六
87、、课堂小结： 1学习了分数指数幂的概念和运算性质； 2会熟练的利用有理数指数幂的运算性质进行分数指数幂和根式的运算。方程的根与函数的零点学案一、新课引入考察几个一元二次方程及其相应的二次函数的关系方程x22x30与函数yx22x3；方程x22x10与函数y x22x1方程x22x30与函数yx22x3，函数图象如上图，你能发现什么？二、新课（1）当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点。（2）当0时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的一个个交点。1123123x32120y（3）当0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数
88、的图象与x轴无交点。对于函数yf（x），我们把使f（x）0的实数x叫函数yf（x）的零点。 方程f（x）0有实数根函数yf（x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点观察二次函数f（x）x22x3的图象，发现这个二次函数在区间（2,1）上有零点x1而f（2）0，f（1）0，即f（2）f（1）0二次函数在区间（2,4）上有零点x3而f（2）0，f（4）0，即f（2）f（4）0一般地，函数f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）0，这个c也就是方程f（x）0的根。例1、求函数f（x）lnx
89、2x6的零点的个数。分析：用计算机辅助作图象，可得函数在区间（2,3）内有零点，再观察图象在（0，）上是增函数，因此，该函数只有一个零点。练习：填写下列表格的根与X轴的交点0=00用二分法求方程的近似解学案学习过程一、复习提问什么是函数的零点？函数在区间（a，b）内有零点，则有什么性质？二、新课1、新课引入中央电视台由李咏主持的节目幸运52中有一项猜商品价格的游戏，首先给出了商品价格的范围，如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？现实中还有这种方法运用的实例吗？一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx2x60的根，联系函数的零点与相应方程的关系，能否利用函数有关知识求
90、出它的根呢？2、取中点法求方程lnx2x60的根方程lnx2x60在区间（2,3）内有零点，（23）2.5f（2.5）f（3）0，所以零点在区间（2.5，3）内，（2.53）2.75f（2.5）f（2.75）0，所以零点在区间（2.5，2.75）内。如此下去，零点范围越来越小，当区间的端点的差的绝对值小于0.01时，可以将端点作为零点的近似值。P105表32。对于在区间a，b上连续不断，且f（a）f（b）0的函数yf（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法（bisection）。给定精确度，用二分法求函数f（x）零点
91、近似值的步骤：1、确定区间a，b，验证f（a）f（b）0，给定精确度；2、求区间（a，b）的中点x1；3、计算f（x1）；（1）若f（x1）0，则x1就是函数的零点；（2）若f（a）f（x1）0，则令bx1（此时零点x0（a，x1）（3）若f（x1）f（b）0，则令ax1（此时零点x0（x1，b）4、判断是否达到精确度，：即若ab，则达到零点近似值a（或b）；否则重复24。一般用计算机设计一定的程序来完成求零点。例2、借助计算机或计算器用二分法求方程2x3x7的近似解（精确到0.1）。作业：P1081、2、3、4、5几类不同增长的函数模型学案学习过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的
92、一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；xy024 6 8 10 1214012010080604020y=40y=10xy=0.42x-1方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：方案一：y40（xN）方案二：y10x（xN）方案三：y0.4（xN）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度比其
93、它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。投资5天以下选方案一，投资58天选方案二，投资8天以上选方案三。再看累计回报数表P114。投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y0.25x，y1，y1.002x。其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符
94、合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。探究函数y，y，y的增长速度。x0.20.611.41.82.22.633.4y=2x1.149 1.516 2.000 2.639 3.482 4.595 6.063 8.000 10.556 y=x20.040 0.360 1.000 1.960 3.240 4.840 6.76
95、0 9.000 11.560 y=log2x-2.322 -0.737 0.000 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766 在区间（2,4），有在区间（0,2）和（4，）有可以在更大范围内观察函数y，y的图象的增长情况。一般地，对于指数函数y（a1）和幂函数y（n0），通过探索可以发现，在区间（0，）上，无论n比a大多少，尽管x在一定范围内，会小于但由于的增长速度快于，因此总存在一个，当x时，就会有。同样地，对于对数函数y（a1）和幂函数y（n0），在区间（0，）上，随着x的增大，增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管x在一定范围内，可能会大于，但
96、由于的增长慢于，因此总存在一个，当x时，就会有。综上所述，在区间（0，）上，尽管函数y（a1）、y（a1）和y（n0）都是增函数。但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，y（a1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y（n0）的增长速度，而y（a1）的增长速度越来越慢。因此总存在一个，当x时，。作业：P1273、4函数模型的应用实例学案学习过程一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？二、新课例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在
97、汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出檅应的图象。 解：(1)阴影部分面积为：501+801+901+751+65136阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km。（2）根据图有：画出它的函数图象P121。在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y，其中t表示经
98、过的时间，y0表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。表38是19501959年我国的人口数据资料（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表38的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从口增长模型y=55196e0.0221t，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出这个模型与数据是否吻合，用Excel电子表格作出图象展示给学生看。第二问中，13亿是
99、130000万人，将y130000代入所求出的函数模型，即可用计算器算出大约要在39年后达到13亿人口。例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/ 元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为：48040（x1）52040x（桶）由于x0，所且52040x0，即0x13y（52040x
100、）x20040x2520x200，0x13由二次函数的性质，易知，当x6.5时，y有最大值。所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：身高/cm60 70 80 90 100 110 120130 140150 160170体重/kg6.13 7.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。（2）若体重超过相同身高男性体重平均
101、值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在我校男生的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可考虑用yabx作为刻画这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm关系的函数模型。不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入yabx得：，用计算器解得：这样，我们就得到一函数模型： 将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。（2）将x175代入，得：63.98由于7863.981.221.2，所以这个男生偏胖。练习：P126作业：P1277、8、9高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
