1、专题01七种平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理解题方法题型一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算题型二：利用几何性质解决线性运算问题题型三：定理法解决平面向量共线问题题型四：坐标公式法解决平面向量共线问题题型五：利用结论解决平面向量共线问题题型六：利用基底法解决平面向量基本定理问题题型七：利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题题型一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算一、单选题1（2021安徽六安市裕安区新安中学高一期末）如图，已知，用，表示，则等于（）ABCD【答案】C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.【详解】解：，故选：C.2（2021江西赣州高一期末）在边长为1
2、的正方形中，为上靠近的三等分点，为的中点.若()，则（）A0BC2D【答案】C【分析】以为基底表示出，由此求得，进而求得.【详解】，所以.故选：C二、多选题3（2021重庆复旦中学高一期末）已知正方形的边长为1，下列说法正确的是（）AB在上的投影向量为CD【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A；根据向量投影的定义，可判断B；分别计算左、右两边，可判断C；由，计算可判断D.【详解】如图，可知，故A正确；由图可知在上的投影向量为，故B正确；因为，所以，所以，又，所以，所以，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD4（2020江西九江高一期末）已知梯形中，且，为的中点，则下列各式中不正
3、确的是（）ABCD【答案】CD【分析】根据平行四边形法则，结合向量的运算法则对选项一一分析即可.【详解】由题知，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：CD三、填空题5（2021陕西榆林市第十中学高一期末）如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若，用表示_.【答案】【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故答案为：四、解答题6（2021广东深圳高一期末）如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，.（1）用，表示，；（2）如果，且，求.【答案】（1）EF=13a12b，CD=25a+35b；（2）.【分析】（1）利用向量的
4、加减法法则结合图形求解；（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出【详解】解：（1）因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，所以，.（2）由（1）可知，所以，因为，所以，解得，.题型二：利用几何性质解决线性运算问题一、单选题1（2021河南南阳高一期末）（）ABCD【答案】C【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可【详解】故选：C2（2021广东汕尾高一期末）在三角形中，已知，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（）ABCD【答案】B【分析】根据已知条件可得，点为的重心，可得，先计算在向量方向上的投影向量，进而可得向量在向量方向上的投影向量，即可求解.【详解】由可得：，即AB2+
5、AC2+2ABAC=AB2+AC22ABAC，可得，所以，如图设的中点为，则，由可得，所以，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为：，因为，所以，所以向量在向量方向上的投影向量为，故选：B.3（2021四川乐山高一期末）如图，四边形是等腰梯形，、分别是腰、的中点，点是的一个三分点，若，则（）ABCD【答案】D【分析】先将用与线性表示，再将，用，线性表示代入即可.【详解】因为,由题意得，,所以,所以，故选：D二、填空题4（2021吉林长春市实验中学高一期末）在中，点在直线上，且，点在直线上，且，若，则_【答案】【分析】由题意知，根据向量的线性运算可得，结合即可求出结果.【详解】由题意知，所以，所
6、以，又因为，所以，所以.故答案为：题型三：定理法解决平面向量共线问题一、单选题1（2020四川高一期末）已知向量，若，共线，则实数（）ABCD6【答案】C【分析】利用向量平行的性质直接求解【详解】向量，共线，解得实数故选：【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（2021江苏南京师大附中高一期末）已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】结合平面向量共线定理即可.【详解】因为 三点共线，所以可设，则，所以，因为，所以，又三点共线，所以，所以，所以.故选：D3（2021河南安阳高一期末）如图所示，
7、在中，点是的中点过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为（）A1B2C3D4【答案】B【分析】根据平面内三点共线的充要条件进行判断，即若，三点共线，则【详解】解：由已知得，结合，所以又因为，三点共线，所以，所以故选：【点睛】本题考查了平面内三点共线的充要条件的推论注意抓住是从同一点出发的三个向量间的关系，注意辨析二、多选题4（2021吉林白城高一期末）下列说法错误的是（）A若，则B若，则存在唯一实数使得C若，且，则D两个非零向量，若，则与共线且反向【答案】ABC【分析】对于ABC，通过举例判断，对于D，对两边平方化简可得结论【详解】解：对于A，当时，因为零向量与任何向量都共线，所以当有
8、，时，不一定共线，所以A错误，对于B，当时，不唯一，所以B错误,对于C，当时， 成立，但不一定有，所以C错误，对于D，由，得，所以，因为，为非零向量，所以与共线且反向，所以D正确，故选：ABC5（2021高一期末）关于平面非零向量，下列说法错误的是（）A若，则与的夹角为锐角B若，则C若，则D若，则【答案】AC【分析】由向量数量积的定义判断A；由向量数量积的运算以及向量共线判断B；举反例判断C；由向量共线定理判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若，则与的夹角为锐角或，故选项A错误；对于B：当时满足，但，可得，当，时，由向量共线定理也可得，故选项B正确；对于C：若，则，但，故选项C不正确；对
9、于D：由可得：，所以，故选项D正确；故选：AC.三、填空题6（2021山西省长治市第二中学校高一期末）已知向量，不平行，向量与平行，则实数_.【答案】【分析】根据与平行即可得出，根据平面向量基本定理即可得出，解出即可【详解】解：因为向量，不平行，向量与平行，所以，所以，解得：.故答案为：.7（2020内蒙古赤峰二中高一期末（文）设和是两个不共线的向量，若，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_.【答案】【解析】由、三点共线，得到向量与共线，再根据平面向量共线定理解答.【详解】解：因为、三点共线，所以向量与共线，解得.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于基
10、础题.8（2020江苏常州高级中学高一期末）已知，是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则实数的值为_【答案】【解析】根据题意得到，代入化简得到答案.【详解】，与是共线向量，则，即.故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.题型四：坐标公式法解决平面向量共线问题一、单选题1（2021河南济源市第五中学高一期末）已知向量，且，则（）ABCD【答案】C【分析】由向量共线的坐标表示列方程即可求解.【详解】向量，因为，所以，可得，故选：C.2（2021云南罗平县第二中学高一期末）已知向量，若，则m（）AB-2C2D【答案】A【分析】利用平面向量共线的坐标表示即可
11、得解.【详解】因向量，且，则有，解得，所以.故选：A3（2022宁夏石嘴山市第一中学高一期末）已知向量，且，那么（）A2B-2C6D-6【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.【详解】由向量，且，可得: ,故选：B二、多选题4（2021湖北黄冈高一期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）ABCD【答案】AD【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的向量.【详解】对于A，可以作为基底；对于B,，共线，不能作为基底；对于C,，共线，不能作为基底；对于D，可以作为基底.故选:AD.5（2021湖南常德市第二中学高
12、二期末）已知向量，则（）AB若，则C若，则D【答案】ACD【分析】A用向量相等判断，B用向量共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.【详解】显然，A对，得：或，B错，C对，D对故选：ACD三、填空题6（2022四川泸州高一期末）已知向量，若，则_.【答案】2【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意，因为，所以.故答案为：2.7（2017天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知向量 ，且，则=_【答案】.【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案.【详解】，则，所以.故答案为：.题型五：利用结论解决平面向量共线问题一、单选题1（20
13、20江苏泰州高一期末）已知向量，若，则实数的值为（）ABCD【答案】B【解析】由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果.【详解】，即故选：【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是明确两向量平行则，属于基础题.2（2021江苏省镇江中学高一期末）若，则（）ABCD【答案】C【分析】根据向量线性运算的坐标表示求得，再利用共线向量的坐标表示解求解.【详解】解：，因为，所以，解得.故选：C.二、填空题3（2021河南开封高一期末）与向量共线的单位向量是_【答案】或【分析】利用与共线的单位向量为或求解即可【详解】解：因为，所以所以与向量共线的单位向量为或，故答案为：或4（2021河南高一期末（理）在平行
14、四边形中，为的中点，为上一点，交于点，若，则_.【答案】1【分析】根据平面向量共线定理，结合中点的性质进行求解即可.【详解】因为为的中点，所以，又，共线，所以有，因此有：，.故答案为：15（2019湖南宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量，且，则_.【答案】【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，因为，可得，解得.故答案为：.6（2020湖北荆门高一期末）如图，在ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则的最小值为_【答案】【分析】利用向量共线的推论可得，再由，利用基本不等式即可求解.【详解】由，所以，又因为三点共线，所以，所以，当且仅当，时取
15、等号.故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值、向量共线定理的推论，在利用基本不等式求最值时，需验证等号成立的条件，属于基础题.题型六：利用基底法解决平面向量基本定理问题一、单选题1（2021云南昆明高一期末）在中，是的中点，则（）ABCD【答案】A【分析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解【详解】解：因为是的中点，所以,因为,所以,所以，故选：A2（2021浙江省桐庐中学高一期末）设，是平面内一组基底，若，则以下不正确的是（）ABCD【答案】D【分析】由平面向量基本定理可得，再逐一分析每一个选项即得解.【详解】因为，是平面内一组基底，且，由平面向量基本定理可得，所以，.所以D不正
16、确.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，考查了同角三角函数的基本关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题3（2021天津高一期末）在中，已知D是延长线上一点，满足，若E为线段的中点，且，则实数_【答案】【分析】用基底向量表示出，即可求出【详解】因为，又，所以故答案为：4（2021山东日照高一期末）平行四边形ABCD中，M，N，P分别为BC，CD，AD边上的点，设，则_.【答案】【解析】选作为基向量，则有，然后可建立方程组求出的值即可.【详解】选作为基向量，则有，因为，所以所以，解得，所以故答案为：5（2020重庆八中高一期末）设D为的边靠近A的三等
17、分点，则_.【答案】【分析】利用三角形法则推出，与已知比较可得【详解】解：如图，则，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题6（2020陕西渭南高一期末）设为所在平面内的一点，若，则_.【答案】【分析】根据平面向量基本定理可得，进而可得结果.【详解】如图：由图可知，即有，所以，则，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量共线及平面向量的线性运算，属于基础题.题型七：利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题一、单选题1（2021北京朝阳高一期末）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（）A3BC-3D【答案】D【分析】利用向量减求得，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出【详解】
18、解：根据向量的减法得,，且，因此，则故选：D2（2021天津南开中学高一期末）如图，在矩形中，为上一点，若，则的值为（）ABCD1【答案】D【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由则有：因为E为上一点，可设所以.因为，所以，即，解得：，所以.由得：，解得：，所以.故选：D二、填空题3（2021高一期末）在等边三角形中，为线段上一点，且，则实数的值为_.【答案】【分析】以为原点建立如图所示坐标系，设，由题知，设，然后由列方程组可求出实数的值【详解】以为原点建立如图所示坐标系，不妨设，由题知，由在上，设，解得.故答案为：三、解答题4（2019湖南邵阳高一期末）
19、已知向量（1）求；（2）若，求的值【答案】(1)(-8,-9).(2)3.【分析】（1）根据向量的坐标运算，即可求解；（2）根据向量的坐标表示和向量相等的条件，得到方程组，即可求解.【详解】（）由题意，则（2）由得，解得，【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示与运算，以及向量相等的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.一、单选题1（2021浙江嘉兴高一期末）已知等腰直角，为边上一个动点，则的值为（）A1B2CD【答案】B【分析】由已知可得，由于为边上一个动点，所以存在，使，从而可得，然后代入中化简可得结果【详解】解：因为，所以，因为为边上一个动点
20、，所以存在，使，所以,所以，故选：B2（2021浙江金华高一期末）在中，过中线的中点任作一直线分别交，于，两点，设，则（）A为定值B为定值C的最小值为D的最小值为6【答案】C【分析】用表示出和，由于、共线，可得，且，解出，依次验证四个选项即可【详解】解：由题意可得，同理可得由于、共线，且，故，均与取值有关，故错误；，当且仅当时成立，故正确；，当且仅当时成立，故错误故选：3（2021四川资阳高一期末）在，角，的对边分别为，向量，若，则（）ABCD【答案】B【分析】由向量共线的坐标关系得，进而根据余弦定理求解即可得答案.【详解】解：因为向量，所以，即，所以由余弦定理得，因为，所以故选：B4（202
21、1河南平顶山高一期末）在中，平分交于点，若，则（）ABCD【答案】D【分析】由题意可知，进而有，然后利用平面向量的基本定理求解即可得到，从而可以得到答案【详解】在中，平分交于点，则易知，故选：D5（2019福建省永春第一中学高一期末）如图，与的面积之比为，点是区域内的任意一点（含边界），且，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】将图形特殊化，设垂直平分BC于，则，当在时，最小，当在时，最大【详解】解：将图形特殊化，设垂直平分BC于，则，当点在时，三点共线，则，此时最小，当点在时，此时，所以，此时 最大，所以的取值范围为，故选：D6（2021江苏泰州高一期末）已知外接圆的圆心为O，半径为1
22、.设点O到边，的距离分别为，.若，则（）AB1CD3【答案】B【分析】根据题意：，则有，进而移项进行两两组合，进一步可以化简为：，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】外接圆半径为1，设边，的中点分别为M,N,P，,同理：，如图1：若点O不与M,N,P任何一点重合，则，同时成立，显然不合题意；如图2：不妨设点O与点M重合，由，根据中位线定理有由ABAC，则，.故选：B.【点睛】类似这样的题目，往往需要对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.二
23、、多选题7（2021广东广州高一期末）在中，角，所对的边分别为，点为所在平面内点，满足，下列说法正确的有（）A若，则点为的重心B若，则点为的外心C若，则点为的内心D若，则点为的垂心【答案】AC【分析】若，结合图形以及平面向量的线性运算即可推出结果，若，结合图形以及平面向量的线性运算即可推出结果.【详解】解：若则，.取中点，连接，.在的中线上，同理可得在其它两边的中线上，是的重心.若，则有，延长交于，则，设，则，与共线，与，不共线，为的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线.是的内心.故选：AC.8.（2021广东江门高一期末）已知的顶点坐标为、，点的横坐标为14，且、三点共线，点是边上一点，且
24、，为线段上的一个动点，则（）A点的纵坐标为-5B向量在向量上的投影向量为CD的最大值为1【答案】BCD【分析】对于A：设，再由、三点共线，得存在，使得，即可记得，即可判断A是否正确；对于B：向量在向量上的投影向量为，计算即可判断B是否正确；对于C：设，由，得，由点在边上，得，解得，进而可得点坐标，计算，即可判断C是否正确；对于D：由为线段上的一个动点，设，且，利用二次函数的性质，计算最大值，即可判断D是否正确.【详解】解：对于A：设，则，由、三点共线，得存在，使得，得，解得，所以，故A错误；对于B：由上可知，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C：设，则，又，则由，得，因为点在边上，所以，
25、即，由得，所以，所以，所以，故C正确；对于D：因为为线段上的一个动点，设，且，则，所以，所以当时，的最大值为1.故D正确.故选：BCD.9（2021江苏南京市建邺高级中学高一期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中，当取到最大值时，则下列说法正确的是（）A的最大值是B
26、的最大值是CD【答案】BD【分析】设，根据得出，再证明，从而可得，根据在上单调递减，得时，有最大值，故可判定选项A，B；取的中点，通过证明，来说明，三点共线，再利用，结合，三点共线可得，可判定选项C，D.【详解】因为，公共，所以，有.记，则，由，得，又，所以.因为，所以的面积，所以，因为在上单调递减，所以当时，有最大值，故选项A错误，选项B正确；当取到最大值时，取的中点，连接，因为，所以，因为，所以，所以，三点共线，在中，有，所以.所以，因为，三点共线，所以，故选项C错误，选项D正确.故选：BD.10（2021江苏泰州中学高一期末）在直角梯形中，E为线段的中点，则（）ABCD【答案】ABD【分
27、析】利用向量的线性运算证明选项A，B正确；利用向量的线性运算和数量积计算选项C，D，即得解.【详解】A项，故A正确；B项，故B正确；C项，因为与反向共线，所以，故C不正确；D项，故D正确故选：ABD【点睛】方法点睛：平面向量的数量积的计算，常用的方法有：（1）定义法；（2）坐标法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11（2021浙江高一期末）已知梯形ABCD中，则下列结论正确的是（）ABC若，则点M在线段BC的反向延长线上D若，且，则的面积是面积的倍【答案】BCD【分析】根据向量的加减法运算及数乘运算可以判断A,B选项，根据共线向量可判断C选项，根据向量共线的表示形式可判断D选项.【详解】对于A
28、，故A错误；对于B，故B正确；对于C，由可得，即，即B是线段的中点，故C正确；对于D，由可得，令，又，点在直线上，且，到直线的距离是到直线距离的,的面积是面积的倍，故D正确.故选：B C D【点睛】方法点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决12（2021浙江高一期末）下列说法正确的是（）A在中，若，则点D是边BC的中点B已知，若，则C已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则D若三角形的两内角满足，
29、则此三角形必为钝角三角形【答案】AD【分析】利用向量加法的平行四边形计算法则求解A；向量的坐标运算求解B；向量的共线定理求解C；以及角为锐角或钝角时的正余弦值的正负来判断，所以 为钝角.【详解】对于A，得，根据向量加法的平行四边形法则可知，D为边BC的中点；对于B，则 ，则 ，即 ；对于C，已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若，则；对于D，为三角形的内角，则， ，而，所以，所以 为钝角，即此三角形必为钝角三角形;故选：AD【点睛】熟悉向量的加减法法则，以及坐标运算，平面向量的共线定理等知识点， ，若，则 ，若，则.13（2020江苏宿迁高一期末）下列说法中正确的是（）A对于向量，有
30、B在中，向量与满足，且，则ABC为等边三角形C若，分别表示的面积，则D在中，设D是BC边上一点，且满足，则+0【答案】BCD【分析】对A，由平面向量乘法的运算律即可判断；对B，由得出的平分线垂直于BC，进而AB=AC，再根据题意求出即可判断；对C，通过，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，进而根据重心的性质得到答案；对D，由和即可判断.【详解】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误；对B，因为，所以的平分线垂直于BC，所以AB=AC，又因为，所以ABC为等边三角形，B正确；对C，如图：因为，延长OA到，使得，延长OC到，使得，可得O为的重心，设的面积分别为，则的面积分别为，由重
31、心性质可知，所以，C正确；对D，因为，而，所以,所以，所以+=0，D正确.故答案为：BCD.【点睛】本题难点在于答案C，这里需要对三角形的重心性质比较熟悉，这样才能很好的进行构造，如本题，根据，我们可以构造出使得O为重心，进而解决问题，因此平常要注重对常见结论的总结.三、填空题14（2022辽宁营口高一期末）平行四边形ABCD中，F是CD边中点，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为_【答案】【分析】设，求出，再利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示，设，所以,所以，因为，所以.所以.当且仅当时等号成立.故答案为：15（2021河南焦作市第一中学高一期末）如图所示，在平面四边形中，
32、与交于点，若，（为常数），则_【答案】【分析】设，由条件可得，根据共线可得，从而求出的值，从而得出的长,由条件可得，由勾股定理可得答案.【详解】设，由，则设,则所以,又所以，两式相加得所以，即为的中点，由，则由，则则 为直角三角形，且则故答案为：16（2021重庆南开中学高一期末）已知向量，且与平行，则_【答案】【分析】由题知,进而根据向量共线的坐标表示求解即可.【详解】解:因为，所以,因为与平行,所以,解得,故答案为:17（2021全国高一期末）在AOB中，AD与BC交手M点，设，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使，则_【答案】7【分析】设，分别利用三点共线和三点共
33、线求出，再利用三点共线和平面向量基本定理可求得结果【详解】解：设，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，所以，所以，得，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，所以，因为，所以，所以，由和，解得，所以，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，因为，所以，消去，得，所以7，故答案为：718（2019山东枣庄市第三中学高一期末）在直角梯形.中，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是_.【答案】【分析】建立直角坐标系，设，根据，表示出，结合三角函数相关知识即可求得最大值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动
34、，设，即，所以，两式相加：，即，要取得最大值，即当时，故答案为：【点睛】此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.19（2020浙江高一期末）如图，直角梯形中，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是_.（把正确结论的序号都填上）满足的点有且只有1个；满足的点有且只有1个；能使取最大值的点有且只有1个；能使取最大值的点有无数个.【答案】【解析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误.【详解】解：当在边上时，如图，取中点O，连接OC，则设，当在边上时，当在边上时，设，当时，此时点就是点；或，此
35、时点在上，故错误；当时，有或，这样的点有两个，故错误；的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故正确；的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的线性运算，及分类讨论思想，是一道难度较大的题目.四、解答题20（2021广东广州高一期末）已知角是的内角，若，.(1)若，求角A的值；(2)设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A，(2)由数量积的坐标公式求，再求其最值，并根据投影 的定义求在上的投影向量.【详解】解：(1)角是的内角，又，且，即，则，即；(2)，要使取得最大
36、值，则，即.，在上的投影向量为.21（2021湖南张家界高一期末）已知向量，向量满足，且（1）已知，且，求的值；（2）若在上为增函数，求的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解.（2）根据向量模的求法可得，再由二次函数的单调区间可得，设，根据向量数量积的坐标表示可得，解不等式即可.【详解】（1）由，有，；（2）由在上为增函数，则对称轴，即，设，则，又，且，则，解得，于是，即，即，又，故22（2021浙江高一期末）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.（1）设，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）
37、由三点共线，得，又由，得，由此解得，即可得到本题答案；（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案.【详解】（1）因为三点共线，所以，设，所以，所以，解得；所以，所以；（2）因为又，所以，得，即.【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.23（2021江苏省天一中学高一期末）如图，在中，是的中点，点满足，与交于点.（1）设，求实数的值；（2）设是上一点，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，得到，计算得到答案.（2），代入数据化简得到答案.【详解】（1）设，因为，是的中点，所以.设，故，整理得，又，即，所以.联立，据平面向量其本定理，得解得，所以实数的值为.（2）因为，所以，即，所以.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.
