1、 数学（理科）第卷 一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.若集合2|230Ax xx，集合|38xBx，则 AB等于（）A1,3 B,1 C3,D3log 8,2.复数232iizi的实部与虚部之和为为（）A-3 B4 C3 D-11 3.已知函数 sin0f xx的最小正周期为，则12f等于（）A 12 B12 C32 D32 4.命题：:0,2pk，直线 ykx与双曲线22194yx 有交点，则下列表述正确的是（）A p 是假命题，其否定是：2,k ，直线 ykx与双曲线22194yx 有交点 B p 是
2、真命题，其否定是：0,2k，直线 ykx与双曲线22194yx 无交点 C p 是假命题，其否定是：0,2k，直线 ykx与双曲线22194yx 无交点 D p 是真命题，其否定是：2,k ，直线 ykx与双曲线22194yx 无交点 5.袋子中装有大小相同的 6 个小球，2 红 4 白，现从中有放回的随机摸球 3 次，每次摸出 1 个小球，则至少有 2 次摸到白球的概率为（）A 2027 B 23 C 1627 D 79 6.如图是一个程序框图，则输出 S 的值是（）A5 B7 C9 D11 7.函数21xyxe的图象大致是（）ABCD 8.若5,4 12x，则 2 cos sin4sin
3、2xxf xx的最大值为（）A1 B2 C3 D4 9.已知向量ab、满足2,3ab，且a 与ab夹角的余弦值为 13，则 a b 可以是（）A4 B-3 C 2 3 D-2 10.已知椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为12,0,0FcF c、，过点2F 且斜率为 2ba的直线l 交直线20bxay于 M，若 M 在以线段12FF 为直径的圆上，则椭圆的离心率为（）A 13 B23 C 12 D33 11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 803 B 703 C23 D24 12.已知函数 2ln xxbbRf xx，若存在1,22x，使得 0f xxfx，则实数
4、b 的取值范围是（）A3,2 B9,4 C,3 D,2 第卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.如果实数,x y 满足条件302020 xyxy，则yzx的最大值为_ 14.52322xxx的展开式中的常数项为_ 15.在三棱锥1AABC中，1AA 底面11,BCA,2ABCB AAAC，则该三棱锥的外接球的表面积为_ 16.在 ABC中，角 ABC、所对的边分别是 abc、，5cos 23C，且coscos2aBbA，则 ABC面积的最大值为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17
5、.（本小题满分 12 分）在等差数列 na中，26a，其前n 项和为nS 等比数列 nb的各项均为正数，11b ，且2433bS，22bS （1）求na 与nb；（2）设数列 nc的前n 项和为nT，且54nncba，求使不等式6nTS成立的最小正整数n的值 18.（本小题满分 12 分）某技术公司新开发了,A B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82 为次品，现随机抽取这两种产品各 100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 70,76 76,82 82,88 88,94 94,100 产品 A 8 12 40 32 8 产品 B 7 18 40
6、29 6（1）试分别估计产品 A，产品 B 为正品的概率；（2）生产一件产品 A，若是正品可盈利 80 元，次品则亏损 10 元；生产一件产品 B，若是正品可盈利 100 元，次品则亏损 20 元，在（1）的前提下，记 X 为生产 1 件产品 A 和 1 件产品 B所得的总利润，求随机变量 X 的分列和数学期望 19.（本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD中，PA 平面,ABCDABC是正三角形，AC 与 BD 的交点为 M，又04,120PAABADCDCDA，点 N 是CD 的中点（1）求证：平面 PMN 平面 PAB；（2）求二面角 APCB的余弦值.20.（本小题满分 12 分）
7、已知抛物线2:20C xpy p的焦点为 F，直线220 xy交抛物线C 于 AB、两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线C 于点Q （1）D 是抛物线C 上的动点，点1,3E，若直线 AB 过焦点 F，求 DFDE的最小值；（2）是否存在实数 p，使 22QA QBQA QB？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由 21.（本小题满分 12 分）设函数 ln1f xmxmx（1）若 f x 存在最大值 M，且0M，求 m 的取值范围（2）当1m 时，试问方程 2xxxfxee 是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由 请考生在 22、23、24 三
8、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，点 P 是圆O 直径 AB 延长线上的一点，PC 切圆O 于点C，直线 PQ 平分APC，分别交 ACBC、于点 MN、求证：（1）CMN为等腰三角形；（2）PB CMPC BN 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点0,0,2,2 2,24OAB（1）求经过,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆2C 的参数方程为1cos1sinxaya （是参数），若圆1C 与
9、圆2C 外切，求实数a 的值 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 11f xxx，不等式 4f x 的解集为 M （1）求 M；（2）若不等式 0f xa有解，求a 的取值范围 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B A C C A D C A B 二、填空题 13.2 14.-240 15.8 16.52 三、解答题 17.解：（1）设数列 na的公差为 d，数列 nb的公比为q，则 （2）615a，14154 315nnncb，6 分 1 34152 31521 3nnnTnn，8 分 由6nTS得2
10、 315263nn，即有2 31565nn，10 分 设122 3,1565nyyn，数形结合知，当4n 时，6nTS，使不等式6nTS成立的最小正整数 n 的值为 4 12 分 18解：（1）产品 A 为正品的概率为 40328410052 分 产品 B 为正品的概率约为 4029631004 4 分（2）随机变量 X 的所有取值为 180，90，60，-306 分 433180545P X；133905420P X；41160545P X；111305420P X 10 分 所以，随机变量 X 的分布列为：X 180 90 60-30 P 35 320 15 120 33111809060
11、30132520520E X 12 分 19解：（1）证明：在正三角形 ABC 中，ABBC，在 ACD中，ADCD，易证 ABDCDB，M 为 AC 中点，点 N 是CD 的中点，/MNAD，PA 面 ABCD，PAAD，0120CDA，030DAC，060BAC，090BAD，即 BAAD，PAABA，AD 平面 PAD，MN 平面 PAB，又 MNPMN 平面，平面 PMNPAB 平面5 分（2）分别以直线,AB AD AP为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，4 34,0,02,2 3,0,0,0,0,0,43BCDP，由（1）可知，4 34,03DB为平面 PAC
12、的一个法向量，2,2 3,4,4,0,4PCPB，设平面 PBC 的一个法向量为,nx y z，则00n PCn PB，即 22 340440 xyzxz，令3z，解得3,3xy，则平面 PBC 的一个法向量为3,3,3n，7cos,7n DBn DBn DB，由题知二面角 APCB为锐二面角，二面角 APCB余弦值为7712 分 20解：（1）直线220 xy与 y 轴的交点为0,2，0,2F，则抛物线C 的方程为28xy，准线:2l y ，设过 D 作 DGl 于G，则 DFDEDGDE，当 EDG、三点共线时，DFDE取最小值 2+3=55 分（2）假设存在，抛物线22xpy与直线22y
13、x联立方程组得：2440 xpxp，设1122,A x yB xy，则121 24,4xxp x xp，2,2Qpp，22QA QBQA QB，QAQB，则 0QA QB 得：121222220 xpxpypyp，1212222222220 xpxpxpxp，212125468840 x xpxxpp，代入得24310pp，解得114pp 或（舍去）12 分 21解：（1）ln1f xmxmx的定义域为0,，11mxmmfxmxx，当0m 或1m 时，f x 在区间0,上单调，此时函数 f x 无最大值，当01m时，f x 在区间 0,1mm内单调递增，在区间,1mm内单调递减，所以当01m时
14、，函数 f x 有最大值，最大值ln11mmMfmmmm，因为0M，所以有ln01mmmm，解之得1eme，所以m 的取值范围是,11ee5 分（2）当1m 时，方程可化为2lnxxxxee，即2lnxxxxee，设 lnh xxx，则 1 lnh xx，10,xe时，0h x，h x 在10,e上是减函数，当1,xe时，0h x，h x 在 1,e上是增函数，min11h xh ee 9 分 设 2xxg xee，则 1xxgxe，当0,1x时，0gx，即 g x 在0,1 上单调递增；当1,x 时，0gx，即 g x 在0,1 上单调递减；max11g xge，11e，数形结合可得 h x
15、g x在区间0,上恒成立，方程 2xxxfxee 没有实数根12 分 22解：（1）PC 切圆O 于点C，PCBPAC，又CPMAPM，CNMCPMPCBAPMPAMCMN ，CMN为等腰三角形 5 分（2）,CMNCNMCNMBNP ，CMNBNP，CPNBPN，PNBPMC，则 PBBNPCCM，PB CMPC BN10 分 23解：（1）0,0,2,2 2,24OAB对应的直角坐标分别为0,0,0,2,2,2OAB，则过,O A B 的圆的普通方程为22220 xyxy，又因为cossinxy，代入可求得经过,O A B 的圆1C 的极坐标方程为2 2 cos45 分（2）圆21cos:1sinxaCya （是参数）对应的普通方程为22211xya，因为圆1C 与圆2C 外切，所以22 2a，解得2a 10 分 24解：（1）114xx，1111,242424xxxxx 或或，解得 21x 或 11x 或12x 2,2M 5 分（2）因为 11112f xxxxx ，所以 min2f x，所以不等式 0f xa有解，只要 min0f xa即可，则2a 10 分
