1、十八 习题课指数函数及其性质的应用 【基础全面练】(20分钟 35分)1(2021鹰潭高一检测)已知函数f(x)3ax1的图象恒过定点P,则点P的坐标是()A(0,3)B(1,2)C(1,3)D(3,1)【解析】选B.因为yax的图象恒过定点(0,1),所以yax的图象过定点(0,1),则由函数的图象平移可得f(x)3ax1的图象恒过定点P(1,2).【补偿训练】函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线yex关于y轴对称,则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出yex关于y轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选
2、D.与yex关于y轴对称的函数应该是yex,则f(x)可由yex向左平移1个单位长度得到,所以f(x)e(x1)ex1.2y|2x2|的图像是()【解析】选B.y2xy2x2y|2x2|.3若指数函数f(x)ax在区间0,2上的最大值和最小值之和为10,则a的值为()A13 B3C3 D13【解析】选B.因为指数函数f(x)ax在区间0,2上单调,且f(0)1,f(2)a2,即1a210,解得a3,又a0,a1,所以a3.4若函数f(x)a12x1 为奇函数,则实数a_【解析】因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)0,即a1201 0,解得a12.答案:125已知函数f(x)axb(a0,a1
3、)的定义域和值域都是12,0,则ab_【解析】当a1时,根据指数函数单调性可知:yax是单调递增函数,所以此时f(x)axb(a0,a1)单调递增,可得:f(0)1b0,解得b1,f12a12 112,即a12 12,解得a4.所以ab3.当0a0,a1)单调递减,可得:f(0)1b12,解得:b32,f12a1232 0,即a1232,解得:a49,所以ab1918;综上所述,ab3或ab1918.答案:3或19186函数f(x)2xx1 的定义域为集合A,关于x的不等式 122x2ax(aR)的解集为B,求使ABB的实数a的取值范围【解析】由2xx1 0,解得x2或x1,于是A(,2(1,
4、),122x2ax122x12ax2xaxx0,若f(a1)f(a),则实数a的取值范围是()A,12B12,C0,12D12,1【解析】选A.当x0时,f(x)3x单调递减,且f(x)1,当x0时,f(x)x22x1的对称轴为x1,抛物线开口向下,此时f(x)在(0,)上单调递减且f(x)1,综上f(x)是减函数,若f(a1)f(a),则a1a,即a12,则实数a的取值范围是,12.3函数f(x)132x2x+3的递增区间是()A(,1 B(,1C1,)D1,)【解析】选B.由x22x30恒成立可知函数的定义域为R,又因为函数yx22x3在(,1上递减,所以函数yx22x3 在(,1上递减,
5、所以函数f(x)132x2x+3在(,1上递增,所以函数f(x)132x2x+3的递增区间是(,1.4已知f(x)(12a)x2a,x0,12(a1)x,x0是(,)上的增函数,那么a的取值范围是()A0,12 B0,14C14,1 D12,1【解析】选B.要使函数f(x)(12a)x2a,x0,a11,2a12,解得0a14.【误区警示】已知分段函数单调性求参数取值范围时,容易漏掉端点处需满足的大小关系5当x(,1时,不等式(m22m)4x2x30恒成立,则实数m的取值范围是()A0,2 B(1 5,1 5)C1 5,1 5 D2,4【解析】选A.因为(m22m)4x2x30,所以(m22m
6、)4x82x,等式两边同乘4x得:m22m82x,因为函数y2x在(,1上是增加的,所以02x12,当x(,1时,m22m82x恒成立等价于m22m0,故0m2.【光速解题】选A.代值验证:m1时,34x2x33(2x)282x32x432163,因为x1,所以2x2,所以原式32432163 4与(m22m)4x2x3 1222xmxm4 对任意xR恒成立,则实数m的取值范围是_【解析】不等式等价为122xx1222xmxm4 ,即x2x2x2mxm4恒成立,所以x2(m1)xm40恒成立,即(m1)24(m4)0,即m22m150,解得3m5.答案:3m5【补偿训练】函数f(x)x3a,x
7、0且a1)是R上的减函数,则a的取值范围是()A(0,1)B13,1C0,13D0,23【解析】选B.由单调性定义,f(x)为减函数应满足:0a1,3aa0,即13 a1.7已知函数f(x)12x1b,且函数图像不经过第一象限,则b的取值范围是_【解析】函数f(x)12x1b为减函数,且图像不经过第一象限,所以f(0)2b0,即b2,故b的取值范围为(,2.答案:(,28函数y122xx2的值域为_【解析】设t2xx2(x1)211,则y12t为减函数,所以y122xx212112,所以函数y122xx2的值域为12,.答案:12,三、解答题(每小题10分,共20分)9已知定义域为R的函数f(
8、x)2xa2x1是奇函数(1)求实数a的值(2)用定义证明f(x)在R上是减函数【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)0,即a120得,a1.(2)由(1)知f(x)12x12x 122x1,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x2)f(x1)122x21122x112(2x12x2)(2x11)(2x21),因为x1x2,故2x10,2x20.从而f(x2)f(x1)f(x2),故f(x)在R上是减函数10已知函数f(x)axb(a0,a1)的图像过点(0,2),(2,0).(1)求a与b的值(2)求x1,2时,求f(x)的最大值与最小值(3)求使f(x)0成立的x的取值范围【解析
9、】(1)因为函数图像过点(0,2)和点(2,0),所以将点(0,2)和点(2,0)代入f(x),得a0b2,a2b0,解得a 3,b3(舍去a 3),故a 3,b3.(2)由(1)得f(x)(3)x3,指数函数的底数 3 1,所以该函数在定义域内为增函数,即当x1,2时,f(x)递增,所以f(x)minf(1)333,f(x)maxf(2)0.(3)由f(x)0,可得(3)x30,即(3)x3(3)2,因为y(3)x是增函数,所以解得x2.所以使f(x)0成立的x的取值范围是(2,).【应用创新练】已知函数 f(x)a2x(a0 且 a1),当 x2 时,f(x)1,则 f(x)在 R 上()
10、A是增函数B是减函数C当 x2 时是增函数,当 x2 时是减函数D当 x2 时是减函数,当 x2 时是增函数【解析】选 A.令 2xt,则 t2x 是减函数,因为当 x2 时,f(x)1,所以当 t0 时,at1.所以 0a1,所以 f(x)在 R 上是增函数【补偿训练】一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存 2 KB,然后每 3 min 自身复制一次,复制后所占据内存是原来的 2 倍,那么开机后,该病毒占据 64 MB(1 MB210 KB)内存需要经过的时间为多少分钟?【解析】设开机 x min 后,该病毒占据 y KB 内存,由题意,得 y22x3 2x+13.令 y2x+1364210,又 6421026210216,所以有 x3 116,解得 x45.答:该病毒占据 64 MB 内存需要经过的时间为 45 min.