1、十八 习题课指数函数及其性质的应用 【基础全面练】(20分钟 35分)1(2021鹰潭高一检测)已知函数f(x)3ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(0，3)B(1，2)C(1，3)D(3，1)【解析】选B.因为yax的图象恒过定点(0，1)，所以yax的图象过定点(0，1)，则由函数的图象平移可得f(x)3ax1的图象恒过定点P(1，2).【补偿训练】函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1【解题指南】把上述变换过程逆过来，求出yex关于y轴对称的函数，再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选
2、D.与yex关于y轴对称的函数应该是yex，则f(x)可由yex向左平移1个单位长度得到，所以f(x)e(x1)ex1.2y|2x2|的图像是()【解析】选B.y2xy2x2y|2x2|.3若指数函数f(x)ax在区间0，2上的最大值和最小值之和为10，则a的值为()A13 B3C3 D13【解析】选B.因为指数函数f(x)ax在区间0，2上单调，且f(0)1，f(2)a2，即1a210，解得a3，又a0，a1，所以a3.4若函数f(x)a12x1 为奇函数，则实数a_【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0，即a1201 0，解得a12.答案：125已知函数f(x)axb(a0，a1
3、)的定义域和值域都是12，0，则ab_【解析】当a1时，根据指数函数单调性可知：yax是单调递增函数，所以此时f(x)axb(a0，a1)单调递增，可得：f(0)1b0，解得b1，f12a12 112，即a12 12，解得a4.所以ab3.当0a0，a1)单调递减，可得：f(0)1b12，解得：b32，f12a1232 0，即a1232，解得：a49，所以ab1918；综上所述，ab3或ab1918.答案：3或19186函数f(x)2xx1 的定义域为集合A，关于x的不等式 122x2ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围【解析】由2xx1 0，解得x2或x1，于是A(，2(1，
4、)，122x2ax122x12ax2xaxx0，若f(a1)f(a)，则实数a的取值范围是()A，12B12，C0，12D12，1【解析】选A.当x0时，f(x)3x单调递减，且f(x)1，当x0时，f(x)x22x1的对称轴为x1，抛物线开口向下，此时f(x)在(0，)上单调递减且f(x)1，综上f(x)是减函数，若f(a1)f(a)，则a1a，即a12，则实数a的取值范围是，12.3函数f(x)132x2x+3的递增区间是()A(，1 B(，1C1，)D1，)【解析】选B.由x22x30恒成立可知函数的定义域为R，又因为函数yx22x3在(，1上递减，所以函数yx22x3 在(，1上递减，
5、所以函数f(x)132x2x+3在(，1上递增，所以函数f(x)132x2x+3的递增区间是(，1.4已知f(x)（12a）x2a，x0，12（a1）x，x0是(，)上的增函数，那么a的取值范围是()A0，12 B0，14C14，1 D12，1【解析】选B.要使函数f(x)（12a）x2a，x0，a11，2a12，解得0a14.【误区警示】已知分段函数单调性求参数取值范围时，容易漏掉端点处需满足的大小关系5当x(，1时，不等式(m22m)4x2x30恒成立，则实数m的取值范围是()A0，2 B(1 5，1 5)C1 5，1 5 D2，4【解析】选A.因为(m22m)4x2x30，所以（m22m
6、）4x82x，等式两边同乘4x得：m22m82x，因为函数y2x在(，1上是增加的，所以02x12，当x(，1时，m22m82x恒成立等价于m22m0，故0m2.【光速解题】选A.代值验证：m1时，34x2x33(2x)282x32x432163，因为x1，所以2x2，所以原式32432163 4与(m22m)4x2x3 1222xmxm4 对任意xR恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】不等式等价为122xx1222xmxm4 ，即x2x2x2mxm4恒成立，所以x2(m1)xm40恒成立，即(m1)24(m4)0，即m22m150，解得3m5.答案：3m5【补偿训练】函数f(x)x3a，x
7、0且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A(0，1)B13，1C0，13D0，23【解析】选B.由单调性定义，f(x)为减函数应满足：0a1，3aa0，即13 a1.7已知函数f(x)12x1b，且函数图像不经过第一象限，则b的取值范围是_【解析】函数f(x)12x1b为减函数，且图像不经过第一象限，所以f(0)2b0，即b2，故b的取值范围为(，2.答案：(，28函数y122xx2的值域为_【解析】设t2xx2(x1)211，则y12t为减函数，所以y122xx212112，所以函数y122xx2的值域为12，.答案：12，三、解答题(每小题10分，共20分)9已知定义域为R的函数f(
8、x)2xa2x1是奇函数(1)求实数a的值(2)用定义证明f(x)在R上是减函数【解析】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即a120得，a1.(2)由(1)知f(x)12x12x 122x1，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x1)122x21122x112（2x12x2）（2x11）（2x21），因为x1x2，故2x10，2x20.从而f(x2)f(x1)f(x2)，故f(x)在R上是减函数10已知函数f(x)axb(a0，a1)的图像过点(0，2)，(2，0).(1)求a与b的值(2)求x1，2时，求f(x)的最大值与最小值(3)求使f(x)0成立的x的取值范围【解析
9、】(1)因为函数图像过点(0，2)和点(2，0)，所以将点(0，2)和点(2，0)代入f(x)，得a0b2，a2b0，解得a 3，b3(舍去a 3)，故a 3，b3.(2)由(1)得f(x)(3)x3，指数函数的底数 3 1，所以该函数在定义域内为增函数，即当x1，2时，f(x)递增，所以f(x)minf(1)333，f(x)maxf(2)0.(3)由f(x)0，可得(3)x30，即(3)x3(3)2，因为y(3)x是增函数，所以解得x2.所以使f(x)0成立的x的取值范围是(2，).【应用创新练】已知函数 f(x)a2x(a0 且 a1)，当 x2 时，f(x)1，则 f(x)在 R 上()
10、A是增函数B是减函数C当 x2 时是增函数，当 x2 时是减函数D当 x2 时是减函数，当 x2 时是增函数【解析】选 A.令 2xt，则 t2x 是减函数，因为当 x2 时，f(x)1，所以当 t0 时，at1.所以 0a1，所以 f(x)在 R 上是增函数【补偿训练】一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存 2 KB，然后每 3 min 自身复制一次，复制后所占据内存是原来的 2 倍，那么开机后，该病毒占据 64 MB(1 MB210 KB)内存需要经过的时间为多少分钟？【解析】设开机 x min 后，该病毒占据 y KB 内存，由题意，得 y22x3 2x+13.令 y2x+1364210，又 6421026210216，所以有 x3 116，解得 x45.答：该病毒占据 64 MB 内存需要经过的时间为 45 min.