1、第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升1.若点M(x,y)满足x2+y2=|3x+4y-1|5,则动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线解析依题意,动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x+4y-1=0的距离,且点(0,0)不在直线3x+4y-1=0上,因此动点M的轨迹是抛物线.故选D.答案D2.已知抛物线y2=2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x解析由抛物线y2=2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,根据抛物线
2、的定义可得p2=12,所以p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.答案B3.点M是抛物线y2=2px(p0)上一点,点F为抛物线的焦点,FMx轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2解析抛物线y2=2px的焦点为Fp2,0,点M为抛物线上的点,且FMx轴,Mp2,p;又|OM|=5,p22+p2=5,解得p=2或p=-2(舍),p2=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.答案A4.点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为()A.y2=16xB.y2=-16xC.y2=24xD.y2=-
3、24x解析因为点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,所以将直线l:x-6=0左移2个单位长度,得到直线x-4=0,即x=4.可得点M到直线x=4的距离等于它到点(-4,0)的距离,根据抛物线的定义,可得点M的轨迹是以点(-4,0)为焦点,以直线x=4为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=-2px(p0),可得p2=4,得2p=16,所以抛物线的方程为y2=-16x,即点M的轨迹方程为y2=-16x.故选B.答案B5.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物
4、线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.答案y2=8x(x0)或y=0(x0)的焦点恰好是双曲线x216-m-y2m+20=1的右焦点,则实数p的值为.解析因为c2=p22=16-m+m+20=36,所以p=12.答案127.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-p2=-2,所以p=4,所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.8.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点32,6,求抛物线和双曲线的方程.解设抛物线的方程为y2=2px(p0),根据点32,6在抛物线上可得62=2p32,解得p=2.故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.抛物线的准线过双曲线的一个焦点,c=1,即a2+b2=1.故双曲线方程为x2a2-y21-a2=1.点32,6在双曲线上,94a2-61-a2=1,解得a2=14或a2=9(舍去).同时b2=34,故所求双曲线的方程为x214-y234=1.
