1、综合拔高练 五年高考练 考点 1 导数的运算法则及其几何意义 1.(2019 课标全国,6,5 分,)已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则()A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 2.(2019 课标全国,13,5 分,)曲线 y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .3.(2019 江苏,11,5 分,)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是 .考点 2 函数的导数与单
2、调性 4.(2018 课标全国,7,5 分,)函数 y=-x4+x2+2 的图象大致为()5.(2019 北京,13,5 分,)设函数 f(x)=ex+ae-x(a 为常数).若 f(x)为奇函数,则 a=;若 f(x)是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是 .6.(2020 全国,20,12 分,)已知函数 f(x)=ex-a(x+2).(1)当 a=1 时,讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.考点 3 函数的导数与极值、最值 7.(2019 天津,8,5 分,)已知 aR.设函数 f(x)=2-2+2,1,-ln,1.若关于 x 的不等式 f(x)0
3、 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为()A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 8.(2018 江苏,11,5 分,)若函数 f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 .9.(2018 课标全国,16,5 分,)已知函数 f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是 .10.(2017 课标全国,16,5 分,)如图,圆形纸片的 圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等
4、腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .11.(2020 全国,21,12 分,)设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线 y=f(x)在点(12,(12)处的切线与 y 轴垂直.(1)求 b;(2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.12.(2020 新高考,21,12 分,)已知函数 f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当 a=e 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与
5、两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若 f(x)1,求 a 的取值范围.三年模拟练 应用实践 1.(2020 重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数 f(x)的导函数为 f(x),函数y=xf(x)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是()A.f(x)的极大值为 f(3),极小值为 f(-3)B.f(x)的极大值为 f(3),极小值为 f(-3)C.f(x)的极大值为 f(-3),极小值为 f(3)D.f(x)的极大值为 f(-3),极小值为 f(3)2.(2021 安徽皖江名校联盟高三上联考,)从一张圆形铁板上沿两条半径剪下一个扇形,将其制成一个无底的圆锥容器,当容器容积最大时,该扇形的圆心
6、角是()A.23 B.C.233 D.263 3.(多选)2021 新高考八省(市)1 月联考,已知函数 f(x)=xln(1+x),则()A.f(x)在(0,+)上单调递增 B.f(x)有两个零点 C.曲线 y=f(x)在点(-12,(-12)处切线的斜率为-1-ln 2 D.f(x)是偶函数 4.(多选)2021 新高考八省(市)1 月联考,设函数 f(x)=cos22+sincos,则()A.f(x)=f(x+)B.f(x)的最大值为12 C.f(x)在(-4,0)上单调递增 D.f(x)在(0,4)上单调递减 5.(多选)(2021 江苏扬州大学附中高三上月考,)设 f(x)为函数 f
7、(x)的导函数,已知x2f(x)+xf(x)=ln x,f(1)=12,则下列结论不正确的是()A.xf(x)在(0,+)上单调递增 B.xf(x)在(1,+)上单调递增 C.xf(x)在(0,+)上有极大值12 D.xf(x)在(0,+)上有极小值12 6.(2021江苏南京江浦高级中学高三上月考,)直线l:y=kx+b 是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线,则 b=()A.2 B.12 C.ln e2 D.ln 2e 7.(多选)(2021 江苏扬州中学高二上开学检测,)已知函数 f(x)=(2-1)2-|x2-1|+k,给出下列四个命题,其中是真命题的有(
8、)A.存在实数 k,使得函数恰有 2 个不同的零点 B.存在实数 k,使得函数恰有 6 个不同的零点 C.存在实数 k,使得函数恰有 5 个不同的零点 D.存在实数 k,使得函数恰有 8 个不同的零点 8.(2021 江西上饶高三上第三次月考,)设函数 f(x)=(-)2+e,2,ln+10,2(e 是自然对数的底数),若 f(2)是函数 f(x)的最小值,则 a 的取值范围是 .9.(2020江 苏 连 云 港 海 头 高 级 中 学 高 二 月 考,)已 知 函 数f(x)=(2-1)+3-4,3-,无论 t 取何值,函数 f(x)在区间(-,+)上总是不单调,则实数 a 的取值范围是 .
9、10.(2021 浙江宁波北仑中学高二上期中,)f(x)的定义域为(-,0)(0,+),f(x)是其导函数,且满足 xf(x)-2f(x)0,若 f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式 f(x)x2 的解集为 .11.(2021 江苏徐州一中、兴化中学高三上联考,)已知函数 f(x)=ln x-12ax2+1.(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)当 a=1 时,设函数 f(x)的两个零点为 x1,x2,试证明:x1+x22.12.(2020 江苏苏州中学高二月考,)已知 OA 是南北方向的一条公路,OB 是北偏东 45方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线 C,建立如图所示的平面直角坐
10、标系 xOy,则曲线 C符合函数模型 y=x+422(x0).为方便游客观光,拟过曲线 C 上的某点 P 分别修建与公路 OA,OB垂直的两条道路 PM,PN,且 PM,PN 的造价分别为 5 万元/百米,40 万元/百米,设 PM=x 百米,修建两条道路 PM,PN 的总造价为 f(x)万元.(1)求 f(x)的解析式;(2)当 x 为多少时,总造价 f(x)最低?并求出最低造价.迁移创新 13.(2020 浙江嘉兴高三上期末,)已知函数 f(x)=aln x+bx+c(a0)有极小值.(1)试判断 a,b 的符号,并求 f(x)的极小值点;(2)设 f(x)的极小值为 m,求证:m+a0)
11、,则 g(x)=1+e2,则 g(x)0,g(x)在(0,+)上为增函数.又 g(e)=0,lnx=e有唯一解 x=e.x0=e.点 A 的坐标为(e,1).方法总结 求曲线 y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤:设切点为(x0,f(x0);求 k=f(x0);得出切线的方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0);由切线经过已知点(x1,y1)求得 x0,进而得出切线方程.4.D 令 y=f(x)=-x4+x2+2.f(x)=-x4+x2+2,f(x)=-4x3+2x,令 f(x)0,解得 x-22 或 0 x22,此时,f(x)递增;令 f(x)0,解得-22 x22,此时
12、,f(x)递减.由此可得 f(x)的大致图象.故选 D.5.答案-1;(-,0 解析 f(x)=ex+ae-x为奇函数,f(-x)+f(x)=0,即 e-x+aex+ex+ae-x=0,(a+1)(ex+e-x)=0,a=-1.f(x)是 R 上的增函数,f(x)0 恒成立,ex-ae-x0,即 e2x-a0,ae2x,又e2x0,a0.当 a=0 时,f(x)=ex是增函数,满足题意,故 a0.易错警示 当 f(x)0 时,f(x)为增函数,而当 f(x)为增函数时,f(x)0 恒成立,不能漏掉等于 0,但要检验 f(x)=0 时得到的参数 a 是否满足题意.6.解析(1)当 a=1 时,f
13、(x)=ex-x-2,则 f(x)=ex-1.当 x0 时,f(x)0 时,f(x)0.所以 f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)f(x)=ex-a.当 a0 时,f(x)0,所以 f(x)在(-,+)上单调递增,故 f(x)至多存在 1 个零点,不合题意.当 a0 时,由 f(x)=0 可得 x=lna.当 x(-,lna)时,f(x)0.所以 f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,故当 x=lna 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(lna)=-a(1+lna).(i)若 01e,则 f(lna)0,所以 f(x)在(-,lna)上存在
14、唯一零点.由(1)知,当 x2 时,ex-x-20,所以当 x4 且 x2ln(2a)时,f(x)=e2 e2-a(x+2)eln(2a)(2+2)-a(x+2)=2a0.故 f(x)在(lna,+)上存在唯一零点.从而 f(x)在(-,+)上有两个零点.综上,a 的取值范围是(1e,+).方法总结 已知函数的零点求参数的取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质,由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建
15、立关于参数的不等式(组)求解.7.C(1)当 x1 时,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,若 a1,则 f(x)在(-,1上是减函数,f(x)f(1)=10 恒成立;若 a1,则 f(x)f(a)=2a-a2,要使 f(x)0 在(-,1上恒成立,只需 2a-a20,得 0a2,0a1,综合可知,a0 时,f(x)0 在(-,1上恒成立.(2)当 x1 时,lnx0,f(x)=x-alnx0 恒成立,即 aln恒成立.令 g(x)=ln,g(x)=ln-1(ln)2,令 g(x)=0,得 x=e,当 x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=
16、e,ae.综合(1)(2)可知,a 的取值范围是 0ae,故选 C.解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上恒成立f(x)mina,f(x)a 在 R 上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.8.答案-3 解析 f(x)=2x3-ax2+1,f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若 a0,则 x0 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又 f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a0.当 0 x3 时,f(x)3 时,f(x)0,f(x)为增函数,x0 时,f(x)有极小
17、值,为 f(3)=-327+1.f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,f(3)=0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,则 f(x)=6x(x-1).x-1(-1,0)0(0,1)1 f(x)+-f(x)-4 增 1 减 0 f(x)在-1,1上的最大值为 1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.9.答案-332 解析 解法一:由 f(x)=2sinx+sin2x,得 f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2,令 f(x)=0,得 cosx=12或 cosx=-1,可得当 cosx(-1,12)时,f(x)0,f(x)为增函数,当 cosx=12时,f(x)取最
18、小值,此时 sinx=32.又f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),1+cosx0 恒成立,f(x)取最小值时,sinx=-32,f(x)min=2(-32)(1+12)=-332.解法二:f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.令 cosx=t,t-1,1,设 g(t)=4(1-t)(1+t)3,g(t)=-4(1+t)3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).当 t(-1,12)时,g(t)0,g(t)为增
19、函数;当 t(12,1)时,g(t)0)cm,则ABC 的面积为34 a2cm2,DBC 的高为(5-36)cm,则正三棱锥的高为(5-36)2-(36)2=25-533 cm,25-533 a0,所以 0a53,所以所得三棱锥的体积 V=1334 a225-533=312254-533 5cm3.令t=25a4-533 a5,0a53,则 t=100a3-2533 a4,令 t=0,得 a=43,此时所得三棱锥的体积最大,为 415cm3.11.解析(1)f(x)=3x2+b.依题意得 f(12)=0,即34+b=0.故 b=-34.(2)证明:由(1)知 f(x)=x3-34x+c,f(x
20、)=3x2-34.令 f(x)=0,解得 x=-12或 x=12.f(x)与 f(x)的情况为 x-,-12 -12-12,12 12 12,+f(x)+0-0+f(x)c+14 c-14 因为 f(1)=f(-12)=c+14,所以当 c14时,f(x)只有小于-1 的零点.由题设可知-14c14.当 c=-14时,f(x)只有两个零点-12和 1.当 c=14时,f(x)只有两个零点-1 和12.当-14c14时,f(x)有三个零点 x1,x2,x3,且 x1(-1,-12),x2(-12,12),x3(12,1).综上,若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,则 f(x)所有零点的绝
21、对值都不大于 1.12.解析 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1-1.(1)当 a=e 时,f(x)=ex-lnx+1,f(1)=e-1,曲线 y=f(x)在 点(1,f(1)处 的切 线 方 程 为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即 y=(e-1)x+2.直线 y=(e-1)x+2 在 x 轴,y 轴上的截距分别为-2e-1,2.因此所求三角形的面积为2e-1.(2)当 0a1 时,f(1)=a+lna1.当 a=1 时,f(x)=ex-1-lnx,f(x)=ex-1-1.当 x(0,1)时,f(x)0.所以当 x=1 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(1)=1,从
22、而 f(x)1.当 a1 时,f(x)=aex-1-lnx+lnaex-1-lnx1.综上,a 的取值范围是1,+).三年模拟练 1.A 结合题中图象列表如下:x(-,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,+)xf(x)+0-0+0-f(x)-0+0-f(x)极小值 极大值 由表知,A 正确,故选 A.2.答案 D 信息提取(1)将一张圆形铁板上沿两条半径剪下的扇形制成一个无底的圆锥容器;(2)求容器容积最大时,扇形的圆心角.数学建模 本题以生活中制作的圆锥容器为背景,构建函数模型,借助导数研究圆锥容积的最值,在解题过程中可画出草图,通过图形直观地探求解题思路.设圆锥的底面半径为 r,高为
23、 h,体积为 V,圆形铁板的半径为 R,得到 r2+h2=R2,写出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值,得到结果.解析 设圆锥的底面半径为 r,高为 h,圆形铁板的半径为 R,如图,则 r2+h2=R2,设圆锥的体积为 V,则 V=13r2h=13(R2-h2)h=13(R2h-h3),则 V 关于 h 的导数 V=13(R2-3h2),令 V=0,得 h2=13R2,易知当 h=33 R 时,圆锥的体积最大,此时r=63 R,=2=263,故选 D.3.AC 对于选项 A,f(x)=xln(1+x),f(x)=ln(1+x)+1,当 x(0,+)时,f(x)0 恒成立,因此 f(x)在(
24、0,+)上单调递增,故 A 正确;对于选项 B,令 f(x)=xln(1+x)=0,可得 x=0 或 ln(1+x)=0,解得 x=0,故 B 不正确;对于选项 C,f(x)=ln(1+x)+1+,f(-12)=ln12-1=-ln2-1,故 C 正确;对于选项 D,由于 f(x)的定义域为(-1,+),定义域不关于原点对称,故 D 不正确.4.AD f(x+)=cos2(+)2+sin(+)cos(+)=f(x),故 A 正确;令2cos24+sin2=m,则 msin2x-2cos2x=-4m,故2+4sin(2x+)=-4m,其中 sin=-22+4,cos=2+4,|-42+4|1m2
25、415,故-21515 m21515,f(x)max=21515,故 B 错误;f(x)=-4sin2(4+sin2)-2cos22cos2(4+sin2)2=-16sin2-4(4+sin2)2,令(x)=-16sin2x-4,则(x)在(-4,0)上单调递减,且(-4)=120,(0)=-40,存在唯一的 x0(-4,0)使(x0)=0,且当-4 x0,f(x)0,f(x)单调递增,当 x0 x0 时,(x)0,f(x)0,f(x)单调递减,故 C 错误;f(x)=-16sin2-4(4+sin2)20,则 xf(x)+f(x)=ln,即xf(x)=ln,设 g(x)=xf(x)(x0),
26、则 g(x)=ln,令 g(x)0,得 x1,令 g(x)0,得 0 x1,即 g(x)=xf(x)在(1,+)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故当 x=1 时,函数 g(x)=xf(x)取得极小值,极小值为 g(1)=f(1)=12.故选 AC.6.C 设直线 l 与曲线 f(x)=ln(x+1)相切于点 A(x1,y1),直线 l 与曲线 g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2),f(x)=ln(x+1),f(x)=1+1,由 f(x1)=11+1=k,可得 x1=1-,则 y1=f(x1)=ln(x1+1)=-lnk,即点 A(1-,-ln),将点 A 的坐标代入直线 l 的
27、方程可得-lnk=k1-+b,可得 b=k-lnk-1,g(x)=ln(e2x)=2+lnx,g(x)=1,由 g(x2)=12=k,可得 x2=1,则 y2=g(x2)=2-lnk,即点 B(1,2-ln),将点 B 的坐标代入直线 l 的方程可得 2-lnk=k1+b=b+1,b=1-lnk,联立可得 k=2,b=1-ln2=lne2.故选 C.7.ACD 令(2-1)2-|x2-1|+k=0,得-k=(2-1)2-|x2-1|,令 g(x)=(2-1)2-|x2-1|,当 x-1 或 x1 时,g(x)=x4-3x2+2,当-1x1 时,g(x)=x4-x2.当 0 x1 时,由 g(x
28、)=x4-x2,得 g(x)=4x3-2x=2x(2x2-1),当 x(0,22)时,g(x)0,g(x)单调递增,所以 g(x)有极小值,为 g(22)=-14,当 x1 时,由 g(x)=x4-3x2+2,得 g(x)=4x3-6x=2x(2x2-3),当 x(1,62)时,g(x)0,g(x)单调递增,g(x)有极小值,为 g(62)=-14.易知 g(x)为偶函数,所以可作出函数 g(x)的大致图象如图所示:由图可知,直线 y=-k 与 y=g(x)的图象可以是 2、4、5、8 个交点.即存在实数 k,使得函数恰有 2、4、5、8 个不同的零点.故选 ACD.8.答案 2,6 解析 当
29、 x2 时,函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x=a,f(2)是函数 f(x)的最小值,a2.当 x2 时,f(x)=ln+a+10,f(x)=ln-1ln2,令 f(x)=0,得 x=e,当 x(2,e)时,f(x)0,函数 f(x)单调递增,f(e)是函数的极小值,f(2)是函数 f(x)的最小值,f(e)f(2),即 f(e)=e+a+10(2-a)2+e,解得-1a6.综上,2a6.9.答案(-,12 解析 对于函数 f(x)=x3-x,其导数为 f(x)=3x2-1,当 x33 时,f(x)0,当-33 x33时,f(x)0 时,xf(x)-2f(x)0,则 g(x)0,所以函数
30、g(x)在(0,+)上为增函数,因为 f(1)=1,所以 g(1)=(1)12=1,由 f(x)x2可得()2 1,即 g(x)g(1),所以 g(|x|)g(1),所以|x|1,解得 x1.因此,不等式 f(x)x2的解集为(-,-1)(1,+).11.解析(1)易得函数 f(x)的定义域为(0,+).对函数 f(x)求导得 f(x)=1-ax.当 a0 时,f(x)0 恒成立,即 f(x)在(0,+)上单调递增;当 a0 时,令 f(x)0,得 0 x,令 f(x),故 f(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减.综上,当 a0 时,f(x)在(0,+)上单调递增;当 a0 时,f
31、(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减.(2)证明:当 a=1 时,f(x)=lnx-12x2+1,f(x)=1-x=1-2,此时 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,f(x)极大值=f(1)=120,又 f(1e)0,f(e)0,不妨设 x1x2,则有 0 x110,F(x)单调递增,x1(0,1),F(x1)=f(x1)-f(2-x1)F(1)=0,f(x1)f(2-x1),又f(x1)=f(x2)=0,f(x2)1,2-x11,f(x)在(1,+)上单调递减,x22-x1,即 x1+x22.12.解析(1)由题意可设点 P 的坐标为(,+422)(x0),易
32、得直线 OB 的方程为 x-y=0,则点 P 到直线 x-y=0 的距离为|-(+422)|2=|422|2=42,因为 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米,所以 f(x)=5x+4042=5(+322)(x0).(2)因为 f(x)=5(+322)(x0),所以 f(x)=5(1-643)=5(3-64)3,令 f(x)=0,得 x=4,列表如下:x(0,4)4(4,+)f(x)-0+f(x)单调递减 极小值 单调递增 所以当 x=4 时,函数 f(x)有极小值,也是最小值,最小值为 f(4)=5(4+3242)=30.故当 x=4 时,总造价最低,最低造价为
33、30 万元.13.解析(1)由题意得,f(x)=+b=+,x0.函数 f(x)=alnx+bx+c(a0)有极小值,b0,a0,则 g(t)=1-123=22-123.令 g(t)=0,得 t=22(负值舍去),g(t)在(0,22)上单调递减,在(22,+)上单调递增,g(t)g(22)=ln(22)+120.a0,ag(t)0,m+a4-24.解题模板 利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时,常将两个变量化为同一形式,将此形式用一个新的变量表示,通过换元构造一个新的函数,进而解决问题.如本题中:aln(-)+24=aln(-)+14()2,将两变量 a、b 化为-的形式,构造函数解决问题.
