1、3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题33.1 二元一次不等式(组)与平面区域内 容 标 准学 科 素 养1.了解二元一次不等式(组)的几何意义2.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组3.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域.应用直观想象提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点一 二元一次不等式(组)的概念知识梳理(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式称为不等式(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组(3)满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x，y)称为二
2、元一次不等式(组)的一个(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的称为二元一次不等式(组)的解集二元一次解集合知识点二 二元一次不等式表示的平面区域阅读教材，思考并完成以下问题二元一次方程 xy10 的解(x，y)形成的点组成直线 xy10，那么二元一次不等式 xy10(或0)的解的点集组成什么图形？如图，在平面直角坐标系内，xy6 表示一条直线，平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线 xy6 上的点；第二类：在直线 xy6 左上方的区域内的点；第三类：在直线 xy6 右下方的区域内的点设点 P 是直线 xy6 上的点，选取点 A，使它的坐标满足不等式 xy6，请同学们完成教材第 83 页
3、的表格：横坐标 x3210123点 P 的纵坐标 y19876543点 A 的纵坐标 y28765432思考(1)当点 A 与点 P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？提示：y2y1.(2)根据上面的思考说说，直线 xy6 左上方的坐标与不等式 xy6 有什么关系？提示：满足不等式(3)直线 xy6 右下方点的坐标呢？提示：y2y1.知识梳理 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 xy6 的解集为坐标的点都在直线 xy6 的左上方；反过来，直线 xy6 左上方的点的坐标都满足不等式 xy6.因此，在平面直角坐标系中，不等式 xy6 表示直线 xy6的平面区域，如图(1)左上方类似的：二
4、元一次不等式 xy6 表示直线 xy6的区域，如图(2)直线叫做这两个区域的边界(1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式 AxByC0(或0)表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成以表示区域不包括边界不等式 AxByC0 表示的平面区域包括边界，把边界画成实线(2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得值的符号都相同(3)在直线 AxByC0 的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的符号可以断定 AxByC0(或0)表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域右下方虚线自我检测1以下各点在不等式组xy
5、0，x2y10 表示的平面区域内的是()A(1,1)B(1,1)C(2,2)D(3,2)答案：C2不等式 2x3y60 表示的平面区域是()答案：D探究一 二元一次不等式(组)表示的区域阅读教材 P84例 1、例 2方法步骤：(1)画边界线(2)取特殊点、画区域、角度、已知不等式(组)画区域例 1 画出下列不等式(组)表示的平面区域(1)2xy60；(2)xy50，xy0，x3.解析(1)如图，先画出直线 2xy60，取原点 O(0,0)代入2xy6 中，2010660，与点 O 在直线 2xy60 同一侧的所有点(x，y)都满足 2xy60，原点在 xy50 表示的平面区域内，即 xy50
6、表示直线 xy50 上及其右下方的点的集合同理可得，xy0 表示直线 xy0 上及其右上方的点的集合，x3表示直线 x3 上及其左方的点的集合图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域方法技巧(1)不等式组表示的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的平面区域的公共部分，找公共部分时，可以先找出其中两个不等式所表示区域的公共部分，再依次增加不等式寻找其公共部分(2)画平面区域时，基本原则是：直线定界、特殊点定域其中直线要注意虚实，特殊点一般选坐标原点，如果直线本身经过原点，可以另取坐标轴上的其他点跟踪探究 1.不等式组xy5xy0，0 x3表示的平面区域是一个()A三角形 B直角梯形C等腰梯形D矩形
7、解析：不等式组xy5xy0，0 x3xy50，xy0，0 x3，或xy50，xy0，0 x3.，不等式组表示的平面区域如图所示不等式组中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分，所以，原不等式组表示的平面区域是图中的等腰梯形 OABC，故选 C.答案：C2画出不等式(x2y1)(xy4)0 表示的平面区域解析：原不等式等价于两个不等式组x2y10，xy40或x2y10，xy40.在直角坐标系中画出直线 x2y10 与 xy40(画成虚线)取原点(0,0)可以判断：不等式 x2y10 表示直线 x2y10 的右上方区域；x2y10 表示直线 x2y10 的左下方区域；xy40 表示直线 xy
8、40 的左上方区域；xy40 表示直线 xy40 的右下方区域所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示例 2 在ABC 中，A(3，1)，B(1,1)，C(1,3)，写出ABC 区域所表示的二元一次不等式组解析 如图，直线 AB 的方程为 x2y10，三角形区域在直线 AB 及其右上方，故 x2y10；直线 AC 的方程为 2xy50，三角形区域在直线 AC 及其左下方，故 2xy50；直线 BC 的方程为 xy20，三角形区域在直线 BC 及其右下方，故 xy20.所以ABC 区域所表示的二元一次不等式组为x2y10，2xy50，xy20.方法技巧 已知平面区域求不等式的
9、步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程两侧，判断不等号的方向(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式跟踪探究 3.如图所示的平面区域所对应的不等式组是()A.xy10 x2y202xy20Bxy10 x2y202xy20C.xy10 x2y202xy20D.xy10 x2y202xy20解析：由图知，原点 O(0,0)不在二元一次不等式 xy10 表示的区域，但原点 O 在二元一次不等式 x2y20 表示的平面区域，也在二元一次不等式 2xy20 表示的平面区域，故图中的平面区域为不等式组xy10，x2y20，2xy20表示的平面区域答案
10、：A探究二 二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积阅读教材 P103 A 组第 4 题不等式组4x3y80 x0y0表示平面区域内的整点坐标是_答案：(1，1)例 3(1)已知实数 x，y 满足不等式组yx，2xy20，zxy，则满足 z1 的点(x，y)所构成的区域面积等于()A.14 B.12C.34D1解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，则满足 z1 的点(x，y)所构成的区域为图中阴影部分联立yx，2xy20，得 B(2,2)联立yx，xy1，得 C12，12，又 A(1,0)，|AC|11220122 22.点 B 到 xy1 的距离为|12121|23 22.SABC1
11、2 22 3 22 34.答案 C(2)已知不等式组0 x2，xy20，kxy20所表示的平面区域的面积为 4，则 k 的值为()A1 B3C1 或3 D0解析 当 k1 时，各不等式表示的区域无公共部分；当 k1 时，不等式组表示的平面区域如图，解得点 B 的坐标为(2,2k2)，所以 SABC12(2k2)24，解得 k1.答案 A方法技巧 求平面区域面积的方法求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解跟踪探究 4.若不等式组x0，x3y4，3xy4所
12、表示的平面区域被直线 ykx43分为面积相等的两部分，则 k 的值是()A.73B37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，求得点 A，B，C 的坐标分别为(1,1)，(0,4)，0，43.由直线 ykx43恒过点 C0，43，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，观察图象可知，当直线 ykx43与直线3xy4 的交点 D 的横坐标为点 A 的横坐标的一半时，可满足要求，因此 xD12，代入 3xy4，可得 yD52，故点 D 的坐标为12，52，代入 ykx43，得52k1243，则 k73，故选 A.答案：A课后小结1因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验
13、，判断 AxByC0 的解集到底对应哪个区域当 C0 时，一般取原点(0,0)，当 C0 时，常取点(0,1)或(1,0)2二元一次不等式表示平面区域也可用以下方法对于 AxByC0(或0)表示的平面区域，直线 AxByC0，其中 A0 可以这样来确定：所表示区域位置不等式B0B0AxByC0在直线右上方在直线右下方AxByC0在直线左下方在直线左上方(1)当 A0 时，可通过不等式两边乘以1 的方法转化成上述情况(2)当 A 或 B 为 0 时，可通过不等式直接确定素养培优1忽视边界的虚实与区域的选择致误不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()易错分析 忽略边界线 xy20 是虚线，
14、x3y60 是实线，或者将区域定错，错选为 C 或 A 或 D.自我纠正 不等式 x3y60 表示直线 x3y60 以及该直线左下方的区域，不等式 xy20 表示直线 xy20 的右上方区域，故选 B.答案：B2不理解不等式关系而丢失区域在直角坐标系中，不等式 y2x20 表示的平面区域是()易错分析 此题易将 y2x20 变形致错为yxyx，错选为 D.自我纠正 由 y2x20 得(yx)(yx)0即yx0yx0 或yx0yx0，故选 C.答案：C3不理解不等式的几何意义而致错已知约束条件x1xy40kxy0表示的区域为直角三角形，则 k 为_易错分析 此题易错是对于边界线 ykx 与 x1，xy40，如何围成直角三角形理解不清而少解自我纠正 边界线 L1：x1 与边界线 L2：xy40，不垂直只有边界线 L3：ykx 与 L1 垂直或 L3 与 L2 垂直k0 或 k1.答案：0 或 104 课时 跟踪训练
