1、课时活页作业（四十七）基础训练组1椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B. C2D4解析由题意知a2，b21，且a2b，4，m.答案A2若椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax22bxc0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为( )A.B. C2D.解析因为，得a2c，所以bc，则方程ax22bxc0为2x22x10，所以x1x2，x1x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为.答案A3(2016烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等
2、差数列，则椭圆方程为( )A.1 B.1C.1 D.1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，.又c2a2b2，联立解得a28，b26.答案A4(2016邯郸一模)椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A7倍B5倍 C4倍D3倍解析设线段PF2的中点为D，则|OD|PF1|，ODPF1，ODx轴，PF1x轴|PF1|.又|PF1|PF2|4，|PF2|4.|PF2|是|PF1|的7倍答案A5已知椭圆C：1的左、右
3、焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则F1的最大值为()A.B. C.D.解析设向量，的夹角为.由条件知|AF2|为椭圆通径的一半，即|AF2|，则|cos ，于是要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以|cos ，故选B.答案B6(2016青岛模拟)设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为_解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，m2n24，e，m4，代入得，n212，椭圆方程为1.答案17已知椭圆1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成
4、直角三角形，则点P到y轴的距离是_解析F1(0，3)，F2(0,3)，34，F1F2P90或F2F1P90.设P(x,3)，代入椭圆方程得x.即点P到y轴的距离是.答案8(2016长沙一模)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析依题意得MF1F260，MF2F130，F1MF290，设|MF1|m，则有|MF2|m，|F1F2|2m，该椭圆的离心率是e1.答案19已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶
5、点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解(1)由已知得c2，解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3,2)到直线lxy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.10(2016长春调研)已知椭圆1(ab0)的离心率为，右焦点到直线
6、xy0的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过点M(0，1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足，求直线l的方程解(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c0)，则2，c2，c或c3(舍去)又离心率，则，故a2，b，故椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)，因为，所以(x1x0，y1)(x2x0，y2)，y1y2.易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不成立，于是设直线l的方程为ykx1(k0)，联立方程消去x得(4k21)y22y18k20，因为0，所以直线与椭圆相交，于是y1y2，y1y2，由得，y2，y1，代入整理得8k4k290，k21，k1，
7、所以直线l的方程是yx1或yx1.能力提升组11(2016运城二模)已知椭圆1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A.B C2D2解析设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y24，两式相减，得0，k.答案B12以F1(1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线xy30有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.1 B.1C.1 D.1解析由于c1，所以离心率最大即为长轴最小点F1(1,0)关于直线xy30的对称点为F(3,2)，设点P为直线与椭圆的公共点，则2a|PF1|PF2|PF|PF2|FF2|2.取等号时离心率取最大值，此时椭圆方
8、程为1.答案C13(2014高考辽宁卷)已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.解析利用三角形的中位线结合椭圆的定义求解椭圆1中，a3.如图，设MN的中点为D，则|DF1|DF2|2a6.D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.答案1214(2014高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析利用点差法，设而不求，建立方程组求解设A(x1，y1
9、)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.答案15(2015高考重庆卷)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.()若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；()若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解()由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.()如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y
10、0.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.解法二：如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，得|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.e.
