1、第一节指数与指数函数、幂函数复习目标学法指导1.指数函数(1)指数与指数幂的运算根式的意义.分数指数幂的意义.无理数指数幂的意义.有理数指数幂的运算性质.(2)指数函数及其性质指数函数的概念.指数函数的图象.指数函数的性质.了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想.2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1)(1)幂函数的概念.(2)幂函数的图象.(3)幂函数的性质.1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化.2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件.3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求.4.运用指数函
2、数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.一、根式与指数幂1.根式n次方根如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,nN*当n是奇数时,a的n次方根x=当n是偶数时,正数a的n次方根x=(a0);负数的偶次方根没有意义0的任何次方根都是0,记作=0式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数当n为任意正整数时,()n=a当n为奇数时,=a当n为偶数时,=|a|=2.有理数指数幂正分数指数幂:=a0,m,nN*,且n1负分数指数幂:=0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义aras=ar+sa0,b0,r,sQ(ar)s=ars(ab)r=
3、arbr3.无理数指数幂无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.1.公式理解(1)中a的取值取决于n(nN*)的奇偶,当n为奇数时,aR;当n为偶数时,a0.(2)的值取决于n(nN*)的奇偶,必要时需分类讨论.2.与指数幂的运算性质有关的结论由负指数幂的定义可知:(1)aras=ar-s;(2)=(ar)=.二、指数函数的概念、图象与性质函数y=ax(a0,且a1)图象0a1图象特征在x轴上方,过定点(0,1)当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域R值域(0,+)单调性递减递增函数变化规律当x=0时,y=1当
4、x1;当x0时,0y1当x0时,0y0时,y11.概念理解(1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为:系数为1;底数a0且a1;无常数项;指数为自变量x.符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如y=2x+1,y=-3x,y=()x+1等均为指数型函数y=Aax+B.(2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数.2.与指数函数图象相关的结论指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值.画指数型函数f(x)=Aax+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=ax的
5、图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象.底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称.画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).三、幂函数1.幂函数的概念形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数.2.常见幂函数的图象与性质函数特征图象或性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,+)时,增;x(-,0时,减增增x(0,+)时,减;x(-,0)时,减特殊点(1,1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(-1,1)(1,
6、1)(0,0)(-1,-1)(1,1)(0,0)(1,1)(-1,-1)1.概念理解(1)幂函数的定义仍是形式定义,其解析式特征为:系数为1;底数只能是自变量x;指数为常数;无常数项.(2)由定义可知,幂函数解析式中只有一个参数,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定幂函数.2.与幂函数图象相关的结论(1)幂函数图象可分为三类1,其图象在第一象限是“站立型”的;01,其图象在第一象限是“趴型”的;0时,还过定点(0,0),0时,在(0,+)上为增函数;当0,b0)的结果是(D)(A)(B)ab(C)a2b(D) 解析:原式=.2.函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(C)(A)(-,+)
7、(B)1,+)(C)(-,1(D)0,+)解析:根据给定的函数f(x)=e|x-1|,由于外层是递增的指数函数,内层是绝对值函数,且关于x=1对称,那么可知内层的减区间就是整个函数的单调递减区间,而由绝对值函数得到减区间为(-,1,故选C.3.已知函数f(x)=则f(f(2)=,不等式f(x-3)1,即x4时,()x-3-15,当x-31,即x4时,x-3,解得x,所以f(x-3)f(2)的解集为(-,)(5,+).答案:(-,)(5,+)4.已知点(,3)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的定义域为,为函数(选填“奇”或“偶”),单调减区间为.解析:设函数f(x)=x,则由题意得3=,解得
8、=-3,所以f(x)=x-3.所以函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+).又f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),所以函数为奇函数.其单调递减区间为(-,0)和(0,+).答案:(-,0)(0,+)奇(-,0)和(0,+)5.若幂函数y=(m2-3m+3)的图象不经过原点,则实数m的值为.解析:因为函数为幂函数,所以m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.又因为图象不经过原点,所以m2-m-20,所以原函数的定义域为(-4,4),y=log4t在定义域上单调递增,而t=4-|x|在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,根据复合函数的单调性知f(x)=log4(4-|x|
9、)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故原函数的单调递增区间为(-4,0).答案:(-4,0)考点一根式与指数幂的运算【例1】 求值与化简:(1) +()6-;(2).解:(1)原式=1+()6-=2+427=110.解:(2)=a. 指数幂的运算顺序及注意事项(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又
10、含有负指数.(2018上海卷)已知常数a0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,-),若2p+q=36pq,则a=.解析:将点P(p,),Q(q,-)代入函数f(x)=的解析式得+=-=1,整理,得=1,解得2p+q=a2pq,又由于2p+q=36pq,所以a2=36,已知a0,故a=6.答案:6考点二幂、指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是()(2)幂函数y=f(x)经过点(4,2),则f(x)是()(A)偶函数,且在(0,+)上是增函数(B)偶函数,且在(0,+)上是减函数(C)奇函数,且在(0,+)上是减函数(D)非奇非偶函数,且在(0,+
11、)上是增函数(3)图中曲线是幂函数y=x在第一象限的图象.已知取2,四个值.则相应于曲线C1,C2,C3,C4的值依次为.解析:(1)将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-,0,只有A满足上述两个性质.故选A.解析:(2)设幂函数f(x)=x,代入点(4,2),4=2,=,所以f(x)= =,则f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数,故选D.解析:(3)由图象特征可知C11,0C21,C3,C40,又x=2时,2-2=1010图象特殊点过(0,0),(1,1)过(0,0),(1,1)过(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2
12、y=y=x-1,y=(2)指数函数图象可解决的两类热点问题及思路求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论.3a=2b,则a,b,0的关系可能成立的是 .0ab,a=b=0,ba1时有0ab;当t=1时有a=b=0;当0t1时有bay
13、1y2(B)y2y1y3(C)y1y2y3(D)y1y3y2(2)函数y=ax(a1)的图象与二次函数y=x2的图象恰有两个不同的交点,则实数a的值是.解析:(1)因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35,y3=()-1.5=21.5,又函数y=2x在R上为增函数,且1.351.41.5,所以21.3521.421.5,即y2y11)的图象与二次函数y=x2的图象只有1个交点,当x0时,函数y=ax(a1)的图象与二次函数y=x2的图象也只有1个交点,则交点即为切点,设该切点为A(x0,),由(ax)=axln a,(x2)=2x,故由x0ln a=2a=故a的值是.答案:(
14、1)A答案:(2) 指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.(3)指数型函数中参数的取值范围问题,在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论.(4)对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0(0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.函数y=ax-a-1(a0,且a1)的图象可能是(D)解析:函数y=ax-是由函数y=ax的图象向下平移个单
15、位长度得到,A项显然错误;当a1时,01,平移距离小于1,所以B项错误;当0a1,平移距离大于1,所以C项错误.故选D.考点四幂函数单调性的应用【例4】 (1)若(a+1) (3-2a),求实数a的取值范围.(2)已知y1=ax,y2=bx是指数函数,y3=xc,y4=xd是幂函数,它们的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系为()(A)abcd(B)bacd(C)cbad(D)cabd(1)解:易知函数y=的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以解得-1a1,c0,0ba1,即cba0,且a1)在0,+)上递增,则a的取值范围是 .解析:令t=ax,当a1时,t=ax递增且t1,+),
16、所以1不成立;当0a1时,t=ax递减且t(0,1,所以1得a,所以a0,将表示成分数指数幂,其结果是.解析:=.答案:类型二幂、指数函数的图象及应用3.已知函数f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中a0,且a1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是(B)解析:由a0且a1知f2(x)=xa过原点,f1(x)=ax过(0,1),f3(x)=logax过(1,0),可排除A.而f1(x)与f3(x)的单调性相同,排除C,从选项B,D图象知f2(x)=xa中的a1.故选B.4.已知0x2,则y=-32x+5的最小值为,此时x=.解析:y=-32x
17、+5=-32x+5,令2x=t1,4,y=t2-3t+5在t1,3上递减,在t3,4上递增,当t=3时,函数取到最小值为,此时x=log23.答案: log23类型三指数函数的性质及应用5.已知2x+3y2-y+3-x,判断x+y的符号(A)(A)x+y0(B)x+y2-y+3-x2x-3-x2-y-3y,构造f(t)=2t-3-t,则f(t)递增,由f(x)f(-y)得x-y,所以x+y0,故选A.6.设y=f(x)在(-,1上有定义,对于给定的实数K,定义fK(X)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x(-,1,恒有fK(x)=f(x),则(D)(A)K的最大值为0(B)K的最小
18、值为0(C)K的最大值为1(D)K的最小值为1解析:根据给出的定义,fK(x)是在函数y=f(x),y=K中取较小者,对任意的x(-,1恒有fK(x)=f(x),等价于对任意的x(-,1恒有f(x)K,等价于f(x)maxK,x(-,1.令t=2x(0,2,则函数f(x)=2x+1-4x,即为函数(t)=-t2+2t=-(t-1)2+11,故函数f(x)在(-,1上的最大值为1,即K1,故选D.7.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(D)(A)a1,b1,b0(C)0a0(D)0a1,b0解析:函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b1(B)x2f(x1)=1(C)x2f(x1)1(D)x2f(x1)x1f(x2)解析:f(x)= 当0x11x2时,选项A成立;当0x21x1时,选项B,D成立,故选C.9.若幂函数f(x)=(m2-3m+3) 为(0,+)上的减函数,则实数m的值为.解析: 解得m=1.答案:1类型五易错易误辨析10.若存在正数x使2x(x-a)0,所以由2x(x-a)x-()x,令f(x)=x-()x,则函数f(x)在(0,+)上是增函数,所以f(x)f(0)=0-()0=-1,所以a-1.故选D.
