1、2.7.2 抛物线的几何性质课标解读课标要求素养要求1. 了解抛物线的几何图形以及简单几何性质.2.通过对抛物线的学习,进一步体会数形结合的思想.1.直观想象能依据抛物线的方程和图形研究其几何性质.2.数学运算能利用抛物线的简单几何性质求抛物线的方程,或根据抛物线的方程求其简单几何性质.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一抛物线y2=2px（p0）的几何性质（1）范围x 0 .除顶点外,抛物线上的其余点都在y轴的右侧.（2）对称性抛物线C关于 x轴对称,称x轴是抛物线的对称轴（简称为轴）.（3）顶点称 原点是抛物线的顶点.（4）离心率抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心
2、率,用e表示.根据抛物线的定义可知,抛物线的离心率e= 1 .要点二抛物线y2=-2px（p0）,x2=-2py（p0）,x2=2py（p0）的几何性质（1）抛物线y2=-2px(p0)中，x0text,除顶点外,抛物线上的其余点都在y轴的 左侧 ,抛物线的开口向左（或朝左）,抛物线关于x轴对称.（2）抛物线x2=2py(p0)中,y0 ,除顶点外,抛物线上的其余点都在x轴的 上方 ,抛物线的开口向上（或朝上） ,抛物线关于y轴对称（3）抛物线x2=-2py(p0)中,y0 ,除顶点外,抛物线上的其余点都在x轴的 下方 ,抛物线的开口向下（或朝下）,抛物线关于y轴对称自主思考1抛物线的范围是x
3、R,yR吗?答案：提示抛物线的方程不同,其范围就不同,如y2=2px(p0)的范围是x0,yR故此说法错误.2.抛物线y2=2px(p0)有几条对称轴?它是中心对称图形吗?答案：提示抛物线y2=2px(p0)只有一条对称轴,不是中心对称图形.3.影响抛物线开口大小的量是什么,是如何影响的?答案：提示参数p影响抛物线的开口大小,p值越大,抛物线的开口越大;p值越小,开口越小名师点睛抛物线的特征（1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;（2）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;（4）抛物线的离心率是确定的,为1.互动探究关键
4、能力探究点一由抛物线的性质求抛物线的方程精讲精练例（1）已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点（-5,m）到焦点的距离是6,则抛物线的方程是( )A.y2=-2x B.y2=-4xC.y2=2x D.y2=-4x或y2=-36x（2）已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=23 ,求抛物线的方程答案：（1）B解析：（1）由题意可设抛物线的方程为y2=-2px(p0) ,其焦点为(-p2,0) ,准线方程为x=p2 ,由抛物线的定义知,（-5,m）到焦点的距离是6,即(-5,m)到准线的距离是6,p2+5=6,p=2,抛物线的方程为y2
5、=-4x ,故选B.答案：（2）由已知得,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上故可设抛物线的方程为y2=ax(a0)抛物线y2=ax(a0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,点A与B关于x轴对称,故设A(x,y1),B(x,y2)|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=23 ,|y1|=|y2|=3,代入x2+y2=4,得x2+3=4,x=1,A(1,3)或A(1,-3) ,将其代入抛物线方程,得3=a ,a=3 .所求抛物线的方程是y2=3x或y2=-3x .解题感悟用待定系数法求抛物线方程的步骤：迁移应用1.已知边长为1的等边三角形AOB ,O为原点,ABx轴 ,则以O为顶
6、点且过A、B两点的抛物线的方程是( )A.y2=36xB.y2=36xC.y2=-36xD.y2=33x答案：B解析：不妨设点A在x轴的上方,当抛物线开口向右时,可设抛物线的方程为y2=2px(p0)易知A(32,12),14=3p,即p=312y2=36x .同理,当抛物线开口向左时,抛物线的标准方程为y2=-36x .综上,抛物线的方程是y2=36x .探究点二由抛物线的方程求其几何性质精讲精练例已知抛物线y2=8x.（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;（2）P是抛物线上一点,点Q(4,0) ,求|PQ|的取值范围.答案：（1）抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线
7、方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x0 .（2）设P(x0,y0),则y02=8x0(x00),|PQ|=(x0-4)2+y02=(x0-4)2+8x0=x02+1616=4 ,当且仅当x0=0时,|PQ|min=4,|PQ|的取值范围是4,+)变式本例的抛物线方程不变,以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB ,|OA|=|OB| ,若焦点F是OAB的重心,求OAB的周长答案：如图所示,由|OA|=|OB|可知ABx轴 ,设垂足为点M ,由焦点F是OAB的重心可得|OF|=23|OM|.因为F(2,0) ,所以|OM|=32|OF|=3,所以M
8、(3,0)故设A(3,m) ,代入y2=8x得m2=24 .所以m=26 ,所以A(3,26) ,则B(3,-26) ,所以|OA|=|OB|=33,所以OAB的周长为233+46 .解题感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质：（1）开口：由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负（2）关系：顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴（3）定值：焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p ;离心率恒等于1.迁移应用1.若抛物线y2=4x的焦点为F ,准线为l ,点A是抛物线上一点,且AFO=120(O为坐标原点）,AKl ,垂足为K ,
9、则AKF的面积是 .答案：43解析：由抛物线方程知F（1,0） ,准线l的方程为x=-1.如图,设A(x0,y0),过A作AHx轴于H,在RtAFH中,|FH|=x0-1,由AFO=120得y0=|AH|=3(x0-1)所以点A的坐标为(x0,3(x0-1),代入抛物线方程可得3x02-10x0+3=0,解得x0=3或x0=13（舍去）,所以点A的坐标为(3,23),故SAKF=12(3+1)23=43 .探究点三抛物线的焦点弦问题精讲精练例（2020山东邹城一中高二月考）已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F ,准线方程是x=-2 .（1）求抛物线C的方程;（2）过点F且倾斜角为4的直
10、线l与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值;（3）设点M在抛物线C上,且|MF|=6,求OFM的面积(O为坐标原点).答案：（1）因为抛物线C的准线方程是x=-2,所以p2=2即p=4 ,故抛物线C的方程为y2=8x .（2）因为直线l过点F,且倾斜角为4所以直线l的方程是y=x-2,联立y2=8xy=x-2整理得x2-12x+4=0 ,设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则x1+x2=12 ,故|AB|=x1+x2+p=12+4=16 .（3）设M(x0,y0) ,因为|MF|=6 ,所以x0+p2=6 ,所以x0=4 ,将(4,y0)代入方程y2=8x ,解得|y0|=42 ,则OF
11、M的面积为12|OF|y0|=12242=42. .解题感悟1.抛物线的焦半径：定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0,y0)为抛物线上一点,F为焦点.若抛物线为y2=2px(p0),则|PF|=x0+p2 ;若抛物线为y2=-2px(p0),则|PF|=p2-x0 ;若抛物线为x2=2py(p0),则|PF|=y0+p2 ;若抛物线为x2=-2py(p0),则|PF|=p2-y02.过焦点的弦长的求解方法：设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦的端点为,A(x1y1),B(x2,y2) ,则|AB|=x1+x2+p，然后利用弦所在直线的方程与抛物
12、线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.迁移应用1.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,M(p,p-1)是抛物线C上的点.（1）求抛物线C的方程;（2）若过点(0,2)的直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,且|AF|BF|=13 ,求直线l的方程.答案：（1）因为M(p,p-1 )是抛物线C上的点,所以p2=2p(p-1) ,又p0 ,所以解得p=2 ,则抛物线C的方程为x2=4y .（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) ,设直线AB的方程为y=kx+2,由y=kx+2x2=4y得x2-4kx-8=0,=16k2+320,x1+x2=4k，x1x2=-8由抛物线的
13、定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1，则|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=4k2+9=13,解得k=1 ,所以直线l的方程为y=x+2或y=2-x .评价检测素养提升1.顶点在坐标原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( )A.x2=16y B.x2=8yC.x2=8y D.x2=16y答案：D2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )A.(14,24) B.(18,24)C.(14,24) D.(18,24)答案：B3.(2021山东莘县一中高二月考)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A、B为抛物线C上两点,且|AF|+|BF|=6 ,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.3B.2C.52 D.32答案：B4.已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,4),过抛物线的焦点F且与x轴垂直的直线交该抛物线于M,N两点,则|MN|等于( )A.4B.23 C.2D.1答案：A
