1、第2课时两条直线的垂直课标解读课标要求素养要求能根据斜率判定两条直线垂直.1.数学抽象、逻辑推理会推导两直线垂直的充要条件.2.数学运算能应用两直线垂直解决有关问题.自主学习必备知识教材原句要点一有斜率的两条直线垂直的充要条件一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，用类似方考察它们的法向量或倾斜角之间的关系，可得l1l2k1k2=-1 .要点二两条直线垂直的一般形式设直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1l2A1A2+B1B2=0 .自主思考1.如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积是否一定为-1？答案：提
2、示l1，l2也有可能会一条斜率为0，另一条斜率不存在.2.直线l1:Ax+By+C=0(A2+B20)与l2:Bx-Ay+D=0垂直吗？答案：提示垂直.名师点睛直线垂直条件的应用（1）过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0；（2）与直线y=kx+b(k0)垂直的所有直线可以表示为y=-1kx+m(k0)；（3）与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0 .互动探究关键能力探究点一两直线垂直的判定精讲精练例分别判断下列两直线是否垂直.（1）直线l1经过点A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(-2,4)，Q(2,
3、4)；（2）直线l1的斜率为13，直线l2与直线2x+3y+1=0平行.答案：（1）由题意知直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1与l2垂直.（2）由题意知直线l1的斜率k1=13，直线l2的斜率k2=-23，k1k2=13(-23)=-29-1，所以直线l1与l2不垂直.变式在本例（2）中，若直线l1，l2的法向量分别是v1(-1,3)，v2=(3,1)，试判断直线l1，l2是否垂直.答案：因为v1v2=(-1,3)(3,1)=-3+3=0，所以直线l1与l2垂直.解题感悟（1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1l2A1A2+B1B2=0判断.（2）若所给的直线方程
4、都是斜截式方程，则运用条件：l1l2k1k2=-1判断.（3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断.迁移应用1.下列四组直线中，互相垂直的一组是( )A.2x+y-1=0与2x-y-1=0B.2x+y-1=0与x-2y+1=0C.x+2y-1=0与x-y-1=0D.x+y=0与x+y-3=0答案：B解析：易知两直线垂直应满足斜率之积为-1.A选项，斜率分别为-2和2，故错误；B选项，斜率分别为-2，12，故正确；C选项，斜率分别为-12，1，故错误；D选项，斜率分别为-1，-1，故错误，故选B.2.设a，b，c分别是ABC内角所对边的边长，则直线bx-sinBy-c=
5、0与sinAx+ay+sinC=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直答案：C解析：直线bx-sinBy-c=0的斜率为bsinB，直线sinAx+ay+sinC=0的斜率为sinA-a，ABC中，asinA=bsinB=2R，其中R为三角形的外接圆半径，斜率之积等于=sinA-absinB=-12R2R=-1，故两直线垂直，故选C.探究点二根据两直线垂直求参数精讲精练例（2021山东潍坊高二期中）已知直线a(a-1)x+y-1=0与直线3x+ay+1=0垂直，则实数a= ( )A.12B.0或12C.0或23D.23答案：C解析：由题意得3a(a-1)+a=0，解得a=
6、0或a=23 .解题感悟根据两直线垂直求参数的方法主要利用两直线垂直的充要条件，注意不要和两直线平行的充要条件相混淆.迁移应用1.（2020江苏常州北郊高级中学高二期中）已知直线l1:2x+y-3=0，若l2:x-3y+2=0，则a的值为( )A.-6B.-3C.1D.1或-6答案：B解析：l1l2，2a+3(5+a)=0，解得a=-3 .2.（2020上海杨浦复旦附中高二期中）“m=1 ”是“直线l1:x+my+6=0和直线l2:x-my+2=0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：由直线l1:x+my+6=0和直线l2:x-my
7、+2=0垂直，可得11+m(-m)=0，即m2=1，解得m=1，m=1是直线l1:x+my+6=0和直线l2:x-my+2=0垂直的充分不必要条件.探究点三根据两条直线垂直求直线的方程精讲精练例（1）过直线l1：2x+y-3=0与l2：x-3y+2=0的交点，并与l1垂直的直线的方程为( )A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.x+2y-1=0 D.x+2y+1=0（2）已知ABC中，A(1,5)，高BE，CF所在直线的方程分别为x-2y=0，x+5y+10=0，则边BC所在直线的方程是( )A.x+4y=0 B.5x-y=28C.3x+5y=0 D.5x-3y=28答案：（1）B（2
8、）C解析：（1）由2x+y-3=0,x-3y+2=0,解得x=1,y=1,所以交点为(1,1)，因为所求直线与l1垂直，所以所求直线的斜率k=-1k1=12，所以所求直线的方程为y-1=12(x-1)，即x-2y+1=0，故选B.（2）由题意可知高CF，BE所在直线的斜率分别为-15，12，故边AB和AC所在直线的斜率分别为5，-2，边AB和AC所在直线的方程分别为y-5=5(x-1)，y-5=-2(x-1)，整理为一般式可得5x-y=0，2x+y-7=0 .联立5x-y=0,x-2y=0,解得x=0,y=0,即B(0,0)，同理，联立2x+y-7=0,x+5y+10=0,解得x=5,y=-3
9、,即C(5,-3)，边BC所在直线的方程为y=-3-05-0x，即3x+5y=0 .解题感悟（1）与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0（m为参数）.（2）与直线y=kx+m平行的直线方程可设为y=kx+b(bm)；与它垂直的直线的方程可设为y=-1kx+n(k0) .迁移应用1.以A(1,3)，B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0答案：B解析：由题意可得kAB=1-3-5-1=13，则其垂直平分线的斜率k=-1kAB=-3，易知线段AB的中点M的坐标为(-2,2)，所以垂直
10、平分线的方程是y-2=-3(x+2)，整理为一般式为3x+y+4=0 .故选B.2.已知点A(2,1)，B(0,5)，则经过原点且垂直于AB的直线方程是( )A.x-2y=0B.x+2y=0C.2x-y=0D.2x+y=0答案：A解析：根据题意得kAB=5-10-2=-2，则所求的直线的斜率k=12，则所求的直线方程为y=12x，即x-2y=0，故选A.评价检测素养提升课堂检测1.直线l1:3x+y+1=0和直线l2:2x-6y+1=0的位置关系是( )A.重合B.垂直C.平行D.相交但不垂直答案：B2.若直线(m+1)x+my+1=0与直线(m-1)x+(m+1)y-10=0垂直，则m的值为
11、( )A.-1B.12 C.-13 D.-1或12答案：D3.若直线l过点(-1,2)，且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0答案：A4.已知在ABC中，A(2,-1)，B(4,3)，C(3,-2)，则AB边上的高所在直线的方程为 .答案：x+2y+1=0素养演练数学建模应用直线的垂直解决实际应用问题1.在路边安装路灯，已知灯柱OA的高为h米，路宽OC为23米，灯杆AB与灯柱OA成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直，如图.请你建立适当的平面直角坐标系，解决以下问题：（1）当h
12、=10米，AB=2.5米时，求灯罩轴线BD所在直线的方程；（2）当h=(11.53-5)米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时，则灯杆AB的长为多少米？答案：（1）以灯柱底端O点为原点，灯柱OA所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A点的坐标为(0,h)，C点的坐标为(23,0)，因为灯杆AB与灯柱OA成120角，所以AB的倾斜角为30，则B点的坐标为(2.5cos30,h+2.5sin30)，即(1.253,h+1.25)因为BDAB，所以kBD=-3，当h=10米时，B点的坐标为(1.253,11.25)，则灯罩轴线BD的方程为y-11.25=-3(x-1.253)，即3x+y-15=0 .（2）由题意知点D的坐标为(11.5,0).可求得B(32AB,11.53-5+12AB)，由BD的斜率k=11.53-5+12AB32AB-11.5=-3，解得AB=2.5米，即灯杆AB长为2.5米.素养探究：本题考查直线垂直的实际应用，解答本题首先建立平面直角坐标系，则可得A，B的坐标及直线AB的斜率，从而可得直线BD的斜率，最后求得直线BD的方程，再利用kBD=-3可求得AB的长，在此过程中体现了数学建模的核心素养.
