1、第2课时 基本不等式的应用内 容 标 准 学 科 素 养 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用 2.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 3.用基本不等式证明一些不等式的成立.1.发展逻辑推理 2.应用数学建模 01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 基本不等式的变形阅读教材P9798，思考并完成以下问题(1)ab2 ab与ab22ab 是等价的吗？提示：不等价，前者 a，b(0，)，后者 a，bR.(2)若 a，b 均为正实数，21a1b ab成立吗？(3)若 a，b 均为正实数，ab2 a2b22成立吗？(4)a、bR，ab22a2b
2、22成立吗？提示：都成立 知识梳理(1)21a1b abab2 a2b22.(2)ab22a2b22，即平方的平均数大于等于平均数的平方自我检测1若 0ab，则下列不等式一定成立的是()Aaab2 abbBb abab2 aCbab2 abaDbaab2 ab答案：C2四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则()A.ad2 bc B.ad2 bcC.ad2 bcD.ad2 bc答案：A探究一 用基本不等式证明不等式例 1 证明下列不等式：(1)已知 x0，y0，z0.求证：yxzx xyzy xzyz 8.(2)设 a，b，c 均为正实数，求证：12a 12b 12c 1bc 1ca
3、1ab.证明(1)因为 x0，y0，z0，所以yxzx2 yzx 0，xyzy2 xzy0，xzyz2 xyz0，所以yxzx xyzy xzyz 8 yz xz xyxyz8，当且仅当 xyz 时等号成立(2)因为 a，b，c 均为正实数，所以1212a 12b 12 ab 1ab，当 ab 时等号成立；1212b 12c 12 bc 1bc，当 bc 时等号成立；1212c 12a 12 ca 1ca，当 ac 时等号成立；三个不等式相加即得 12a 12b 12c 1bc 1ca 1ab，当且仅当 abc 时等号成立方法技巧 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等
4、式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐渐推向“未知”(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用跟踪探究 1.已知 a0，b0，ab1，求证：(1)1a1b 1ab8.(2)11a 11b 9.证明：(1)因为 ab1，a0，b0，所以1a1b 1ab21a1b.所以1a1baba abb 2abba224，所以1a1b 1ab8(当且仅当 ab12时等号成立)(2)因为
5、 a0，b0，ab1，所以 11a1aba 2ba，同理 11b2ab，所以11a 11b 2ba 2ab52baab 549.所以11a 11b 9(当且仅当 ab12时等号成立)探究二 用基本不等式解实际问题教材 P99例 2方法步骤：(1)建立目标函数(2)利用基本不等式求最值例 2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉 6 t，每吨面粉的价格为 1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元(1)该厂多少天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 t 时，其价格可享受 9
6、折优惠(即原价的 90%)，则该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由解析(1)设该厂应 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x t，由题意知，面粉的保管费等其他费用为36x6(x1)62619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则 y11x9x(x1)90061 800 x900 x 9x10 8092900 x 9x10 80910 989，当且仅当 9x900 x，即 x10 时取等号即该厂应 10 天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少(2)由 6x210，得 x35，若该厂利用此优惠条件，则至少每 35 天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x35)天购
7、买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2 元，则 y21x9x(x1)90061 80090%x900 x 9x9 729(x35)令 f(x)x100 x(x35)，任取 x1，x2，且 x2x135，则 f(x1)f(x2)x1100 x1 x2100 x2 x2x1100 x1x2x1x2，x2x135，x2x10，x1x20,100 x1x20，f(x1)f(x2)，即当 x35 时，f(x)x100 x 为增函数y29f(x)9 729 也为增函数当 x35 时，y2 有最小值，此时 y210 989.该厂应接受此优惠条件方法技巧 利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清
8、题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)正确写出答案跟踪探究 2.某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元该船每年捕捞总收入 50 万元(1)捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解析：
9、(1)设该船捕捞 n 年后的总盈利为 y 万元则 y50n9812nnn1242n240n982(n10)2102，当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元(2)年平均利润为yn2n49n 2022n49n 20 12.当且仅当 n49n，即 n7 时上式取等号所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元探究三 基本不等式的综合应用教材 P101第 3 题已知矩形的周长为 36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？解析：设矩形的长和宽分别为 x 和 y，圆柱的侧面积为 z，因为 2(xy)36，即 xy18，所以 z2xy2
10、xy22162.当 xy，即长宽均为 9 时，圆柱的侧面积最大例 3(1)等差数列的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，满足 2S2a2(a21)，且 a11，则2Sn13n的最小值是_(2)不等式 x22xab16ba 对任意 a，b(0，)恒成立，则实数 x 的取值范围是_解析(1)因为 2S2a2(a21)，且 a11，所以 2(a21)a2(a21)，即 a22(an0)，所以 ann，Snnn12，所以2Sn13nnn113nn13n 14134 1334(当且仅当 n4 时等号成立)，即2Sn13n的最小值是334.(2)不等式 x22xab16ba 对任意 a，b(0，)恒成立
11、，即 x22xab16bamin，由ab16ba 2ab16ba 8，当且仅当ab16ba，即 a4b 时，取得等号，则 x22x8，解得4x2.答案(1)334 (2)(4,2)方法技巧 恒成立问题的解决思路将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1)f(x)a 恒成立af(x)min.(2)f(x)a 恒成立af(x)max.跟踪探究 3.已知 a0，b0，若不等式2a1bm2ab恒成立，则 m 的最大值等于()A10 B9C8 D7解析：因为 a0，b0，所以 2ab0，所以要使2a1bm2ab恒成立，只需 m(2ab)2a1b 恒成立，而(2ab)2a1b
12、42ab 2ba 1549，当且仅当 ab 时，等号成立，所以 m9.答案：B4若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_解析：由 sin A 2sin B2sin C 及正弦定理可得 a 2b2c，再由余弦定理可得 cos Ca2b2c22aba2b2a 2b222ab3a22b22 2ab8ab2 6ab2 2ab8ab 6 24，当且仅当 3a22b2，即ab 23时等号成立，所以 cos C 的最小值为 6 24.答案：6 24课后小结(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的
13、证明中，还可以用于求代数式的最值(2)含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题(3)如果欲求范围的参数与其他变量混合在一起，可以先进行参数分离，即把欲求取值范围的参数分离到不等式的一边，再求不等式另一边的函数或代数式的最值或取值范围即可素养培优利用基本不等式求最值的策略(1)1 的代换已知 a，b 均为正数，且 aba2b0，则a24 2ab21b的最小值为_
14、解析：因为 a，b 为正数，且 aba2b0，所以1b2a1，因此a24 2ab21ba24 b2 1 a24 b2 2a1b2 1 a24 b24a2 4ab 1b2 1 a24b24b2a2 ab4ba12a24b24b2a2 2ab4ba 17，当且仅当 a4，b2 时取等号，则a24 2ab21b的最小值为 7.答案：7(2)换元法已知 a，b 为正数，且 ab2，则a22a b2b1的最小值为_解析：设 tb1(1t3)，则 bt1，且 at3，a22a b2b1a22at12ta2at1t22a1t113(at)2a1t 1132taat3 11322taat3 12 232，当且仅当2taat且 at3，即 a3(2 2)，t3(21)时取等号则a22a b2b1的最小值为2 23 2.答案：2 23 2(3)利用不等式链已知正实数 a，b 满足 9a2b21，则 ab3ab的最大值为_解析：因为正实数 a，b 满足 9a2b21，所以 ab3ab 13b1a12 23b1a12b3a12b3a212b32a2212129 212，当且仅当b3a 且 b 22，a 26 时，最大值为 212.答案：21204 课时 跟踪训练
