1、山西大学附中2012-2013学年第一学期高三（10月）月考数学试题（理科）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.是虚数单位，A. B. C. D.2.设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为A. B. C. D. 3.命题“存在，”的否定是A.不存在, B.存在 C.对任意的, D.对任意的, 4.设函数则A.在区间内均有零点。 ks5u B.在区间内均无零点。C.在区间内有零点，在区间内无零点。 D.在区间内无零点，在区间内有零点。 5.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 A B C
2、D 6. 在等差数列中，已知，是数列的前项和，则A B C D7.已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8已知函数 若则实数的取值范围是 A. B. C. D .9.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A. B. C. D .10.在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 A. B. C. D . 11.已知球的直径，是该球面上的两点，则三棱锥 的体积为（ ）ks5u A. B . C . D .12.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物
3、线相交于两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比= A. B . C . D . 二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置）13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积为：_14.,则。615.在四边形中，则四边形的面积是_ 16.用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 _ 个（用数字作答）三.解答题: （共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在中， (I) 求的值： (II) 求的值18.（本小题满分12分）在件产品中，有件一等品，件二等品，件三等品。从
4、这件产品中任取件，求：（I） 取出的件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II）取出的件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。19.（本小题满分12分）如图，在五面体中，平面, ，为的中点，(I)求异面直线与所成的角的大小；(II)证明平面平面；（III）求二面角的余弦值。ks5u20.（本小题满分12分） 已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率； 求直线的斜率； （2）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值21.（本小题满分12分） 已知函数满足当，时的最大值为。（）求函数的解析式；（）是否存在实数使得不等式对于时恒成立若存在
5、，求出实数的取值集合;若不存在，说明理由选做题（本小题10分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.PANBM22选修41几何证明选讲在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.求证:ks5u23选修44极坐标系与参数方程已知圆方程为（1）求圆心轨迹的参数方程；（2）点是（1）中曲线上的动点，求的取值范围24选修45不等式选讲（1）已知关于的不等式在上恒成立，求实数的最小值； （2）已知，求证：201210高三数学题理科参考解答选择题：1 D 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 C 9 D 10 A 11 D 12 A二填空题： （13）（14
6、）28 （15） （16）324三解答题（17）（）解：在ABC中，根据正弦定理，于是AB=（）解：在ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是 sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=(18) （）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为
7、事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为PA=P(A1)+P(A2)+P(A3)= +=(19).方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPA
8、D。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60（II）证明：因为（III）由（I）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ，（III）又由题设，平面的一个法向量为 （20）解：由/且，得，从而 整理，得，故离心率解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为ks5u 设直线AB的方程为，即. 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立解得，将代入中，解得.(III)
9、解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ， 由解得故当时，同理可得. ks5u解法二：由（II）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知B，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以. 当时同理可得（21）（1）由已知得： 1分 3分，当，当，-5分当时， 6分（2）由（1）可得：时，不等式恒成立，即为恒成立， 当时，令则ks5u令，则当时， ，故此时只需即可； 8分当时，令则令，则当时， ，故此时只需即可， 10分 综上所述：，因此满足题中的取值集合为： 12分22（本小题满分10分）选修41几何证明选讲证明:作于为直径,）四点共圆,四点共圆. （6分） (1)+(2)得9分 即10分23选修44极坐标系与参数方程 23将圆的方程整理得：(x-4cos)2+(y-3sin)2=1 设圆心坐标为P(x,y) 则 -5分 (2)2x+y=8cos+3sin = -2x+y-10分ks5u24选修45不等式选讲24（本题0分）解： （1），5分 （2）因为，所以 10分
