1、三角函数的应用基础达标练1.下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过12 个周期后,乙将移至( )A.x 轴上B.最低点C.最高点D.不确定答案：C2.如图为一直径为6m 的水轮,水轮圆心O 距水面2m ,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点P 到水面的距离y(m) 与时间x(s) 满足关系y=Asin(x+)+2 （其中A0,0),y0 表示P 在水面下,则( )A.A=2 B.=215 C.A=6 D.=15答案： D3.（2021山东济宁高一检测）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin(x+)+k ,据此可知,这段时间水深（单位：米）的最大值为
2、( )A.5B.6C.8D.10答案： C4.如图所示,一个单摆从OA 运动到OB ,角(-) 与时间t(s) 满足函数关系式=12sin(2t+2) ,则当t=0 时,角 的大小及单摆的摆动频率分别是( )A.12,1 B.2,1 C.12, D.2,答案： A5.（2021湖南长沙南雅中学高一月考）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量F(t) （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为F(t)=50+4sint2(0t20) ,则车流量增加的时间段是( )A.0,5 B.5,10 C.10,15 D.15,20答案： C
3、解析：令2k-2t22k+2(kZ) ,得4k-t4k+(kZ) .因为0t20 ,所以当k=0 时,函数y=F(t) 的单调递增区间为0, ,当k=1 时,函数y=F(t) 的单调递增区间为3,5 .因为10,153,5 ,所以车流量在时间段10,15 内是增加的,故选C.6.（2021福建宁德一中高一月考）如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界上最大的观景摩天轮,已知其旋转半径是60米,最高点距离地面135米,运行一周大约为30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约( )A.95米B.100米C.105米D.110米答案： C解析：设人在
4、摩天轮上距离地面的高度（米）与时间t （分钟）的函数关系为f(t)=Asin(t+)+B(A0,0,0,2) ,由题意可知A=60,B=135-60=75,T=2=30 ,所以=15 ,即f(t)=60sin(15t+)+75 ,因为f(0)=60sin+75=135-120=15 ,所以sin=-1 ,故=32 ,所以f(t)=60sin(15t+32)+75=-60cos15t+75 ,所以f(10)=-60cos23+75=100 .故选C.7.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos6(x-6)(x=1,2,3,.,12) 来表示,已知6月份的月平均气温
5、最高,为28,12 月份的月平均气温最低,为18 ,则10月份的平均气温为 .答案： 20.58.（2021江西南昌二中高一检测）如图所示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m) 在某天24h 内的变化情况,则水面高度y(m) 关于从夜间0时开始的时间x(h) 的函数关系式为 .答案： y=-6sin6x9.（2021陕西西安庆安高级中学高一月考）某港口的水深y(米) 是时间t(0t24 ,单位：小时）的函数,下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测,y=f(t) 可近似看成函数y=Asint+B(A0,0 ）.（1）
6、根据以上数据,求出y=f(t) 的解析式;（2）若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港？答案：（1）由题表中数据可得：水深的最大值为13,最小值为7,所以A+B=13,-A+B=7, 则B=13+72=10,A=13-72=3 ,且相隔12小时达到一次最大值,说明周期为12,因此T=2=12,=6 ,故f(t)=3sin6t+10(0t24) .（2）要想船舶安全,必须f(t)11.5 ,即3sin6t+1011.5 ,所以sin6t12 ,所以2k+66t56+2k,kZ ,解得12k+1t5+12k,kZ ,当k=0 时,1t5 ;当k=1
7、时,13t17 .故船舶能安全进出该港的时间段为1:00至5:00,13:00至17:00,共8个小时.素养提升练10.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1 和M2 的小球做上下自由振动已知它们在时间t(s) 离开平衡位置的位移s1(cm) 和s2(cm) 分别由s1=5sin(2t+6),s2=10cos2t 确定,则当t=23s 时,s1 与s2 的大小关系是( )A.s1s2 B.s1s2C.s1=s2 D.不能确定答案： C解析：当t=23s 时,s1=5sin(43+6)=5sin32=-5,s2=10cos43=10(-12)=-5, 故s1=s2.11.如图是弹簧振子做简谐振动的图
8、象,横轴表示振动的时间t(s) ,纵轴表示振动的位移y(cm) ,则这个振子振动的函数解析式是 .答案： y=2sin(52t+4)解析： 由题图可设y=Asin(t+) ,则A=2,T=2(0.5-0.1)=0.8 ,所以=20.8=52 ,所以y=2sin(52t+) ,将（0.1,2） 代入y=2sin(52t+) 中,得sin(+4)=1 ,所以+4=2k+2,kZ ,即=2k+4,kZ ,令k=0 ,得=4 ,所以y=2sin(52t+4) .12.国际油价在某一段时间内呈现正弦波动规律:P=Asin(t+4)+60(P 的单位:美元,t 的单位:天,A0,0 ）,现获取到下列信息:
9、最高油价为80美元,当t=150 时达到最低油价,则 的最小值为 .答案： 1120解析： 因为P=Asin(t+4)+60 的最大值为80,-1sin(t+4)1 ,所以A=20 ,当t=150 时达到最低油价,即sin(150+4)=-1 ,此时150+4=2k-2,kZ ,因为0 ,所以当k=1 时, 取得最小值,所以150+4=32 ,解得=1120 .13.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律：每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;入住客栈的
10、游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.已知入住客栈的游客人数y 与月份x(xN*) 之间的关系可用函数y=Asin(x+)+B(A0,0,0|) 近似描述.（1）求该函数的解析式;（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？答案： （1）由得最小正周期T=2=12 ,所以=6 .由得f(2) 最小,f(8) 最大,且f(8)-f(2)=400.由得f(x) 在2 ,8 上单调递增,且f(2)=100 ,所以f(8)=500 ,所以-A+B=100,A+B=500, 解得A=200,B=300.又f(2) 最小,
11、f(8) 最大，所以sin62+=-1，sin68+=1.因为0| ,所以=-56 ,所以y=200sin(6x-56)+300(xN*,且1x12)（2）由200sin(6x-56)+300400 ，得sin(6x-56)12所以2k+66x-562k+56(kZ) ,解得12k+6x12k+10(kZ) ，因为xN*, 且1x12 ,所以x=6,7,8,9,10,即6月,7月,8月,9月,10月这五个月份要准备不少于400人的用餐.创新拓展练14.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距12h ,低潮时水的深度为8.4m ,高潮时为16m ,其中有一次高潮发生的时间是10月10日4：00.每
12、天涨潮落潮时,水的深度d(m) 与时间t(h) 近似满足关系式d=Asin(t+)+h （其中A0,0,|2 ）.（1）若从10月10日0：00时开始计算时间,求该港口的水深d(m) 和时间t(h) 之间的函数关系式;（2）10月10日17：00时,该港口水深约为多少？（精确到0.1m ,参数数据：320.866 ）（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m ?答案： （1）依题意知T=2=12 ,故=6,h=8.4+162=12.2 ,A=16-12.2=3.8 ,所以d=3.8sin(6t+)+12.2 ,因为t=4 时,d=16 ,所以sin(46+)=1 ,所以=-6 ,所以d=3.8sin(6t-6)+12.2 .（2）t=17 时,d=3.8sin(176-6)+12.2=3.8sin23+12.215.5 ,即该港口的水深约为15.5m .（3）令3.8sin(6t-6)+12.210.3 ,则sin(6t-6)-12 ,因此2k+766t-62k+116,kZ ,所以2k+436t2k+2,kZ ,所以12k+8t12k+12,kZ .令k=0 ,得t(8,12) ;令k=1 ,得t(20,24) .故这一天共有8h 的时间水深低于10.3m .
