1、加练课6 三角恒等变换的综合应用学习目标进一步掌握三角函数公式,熟练地进行三角恒等变换,进而求解相关问题.自主检测必备知识 一、概念辨析,判断正误1.cos(60-30)=cos60-cos30 .( )2.存在,R ,使得sin(-)=sin-sin 成立.( )3.sin54cos24-sin36sin24=sin30. ( )4.对任意,R,tan(+)=tan+tan1-tantan 都成立.( )5.对于任意的角,cos2=2cos 都不成立.( )二、夯实基础,自我检测6.下列各式中,值为32 的是( )A.2sin15cos15 B.cos215-sin215C.2sin215
2、D.sin215+cos215答案： B解析：2sin15cos15=sin30=12 .cos215-sin215=cos30=32 .2sin215=1-cos30=1-32 .sin215+cos215=1 .故选B.7.cos(-35)cos(25+)+sin(-35)sin(25+) 的值为( )A.-12 B.12C.-32 D.32答案： B解析：原式=cos(-35)-(+25)=cos60=12 .8.32sin15+12cos15= .答案：229.12-cos28= .答案：-2410.已知tan(4+)=3 ,则sin2-2cos2= .答案：-45解析：由已知得1+t
3、an1-tan=3 ,解得tan=12 ,所以sin2-2cos2=2sincos-2cos2sin2+cos2=2tan-2tan2+1=212-2(12)2+1=-45 .互动探究关键能力 探究点一 灵活变角思想的应用精讲精练 类型1 和与差变换 例1 已知02 ,且cos(-2)=-19,sin(2-)=23 ,则cos(+) 的值为 .答案：-239729解析：因为02 ,所以-42-2,4-2 ,所以cos(2-)=1-sin2(2-)=53 ,sin(-2)=1-cos2(-2)=459 ,所以cos+2=cos(-2)-(2-)=cos(-2)cos(2-)+sin(-2)sin
4、(2-)=(-19)53+45923=7527 ,所以cos(+)=2cos2+2-1=2495729-1=-239729 .解题感悟用已知的角来表示未知的角,再利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式展开,进而解决此类问题.拆角、拼角技巧：2=(+)+(-) ；=(+)- ；=+2-2 ；-2=(+2)-(2+)类型2 倍角与半角变换例2 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x,则f(x)的最大值和最小值分别为 .答案： 2,-1解析：f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,xR .因为cosx-1,1 ,所以当cosx=1 时,f(x) 取得最大
5、值2;当cosx=0 时,f(x) 取得最小值-1.故f(x) 的最大值和最小值分别为2,-1.解题感悟与半角和倍角有关的三角函数问题,主要是用二倍角公式的正用、逆用或变形用解决,特别是二倍角的余弦公式.迁移应用 1.已知锐角, 满足cos=255,sin(-)=-35 ,则sin 的值为 .答案：255解析：因为, 是锐角,所以02,02 ,所以-2-2 .因为sin(-)=-350 ,所以-2-0 ,所以cos(-)=45 .因为cos=255 ,所以sin=55 ,所以sin=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-)=5545+25535=255 .2.已知函数f(x)=(
6、sinx-cosx)sin2xsinx ,则f(x) 的最小正周期为 .答案：解析：f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=2sin(2x-4)-1 ,所以f(x) 的最小正周期T=22= .探究点二 整体换元思想的应用精讲精练 例 求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx,xR 的最值及取到最值时x 的值.答案：设sinx+cosx=t ,则t=sinx+cosx=2(22sinx+22cosx)=2sin(x+4) ,所以t-2,2 ,所以sinxcosx=(sinx+cosx)2-12=t2-12 .则
7、y=t+t2-12=12(t+1)2-1,t-2,2 .当t=-1, 即sinx+cosx=-1 时,f(x)min=-1 .此时,由sin(x+4)=-22 ,解得x=2k-,kZ 或x=2k-2,kZ .当t=2 ,即sinx+cosx=2 时,f(x)max=2+12 .此时,由2sin(x+4)=2 ,得x=2k+4,kZ .综上,当x=2k-,kZ 或x=2k-2,kZ 时,f(x) 取得最小值,f(x)min=-1 ;当x=2k+4,kZ 时,f(x) 取得最大值,f(x)max=2+12 .解题感悟 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“
8、元”可以明确地设出来,要特别注意新元的取值范围. 迁移应用1.求函数f(x)=sinx+sin2x-cosx(xR) 的值域.答案：令sinx-cosx=t ,则t=2sin(x-4) ,所以t-2,2 ,又sin2x=1-(sinx-cosx)2=1-t2,所以y=t+1-t2=-(t-12)2+54 .当t=12 时,f(x)max=54;当t=-2 时,f(x)min=-2-1 .综上,函数f(x) 的值域为-2-1,54 .探究点三 构建方程（组）思想的应用精讲精练 例 已知锐角三角形ABC 中,sin(A+B)=35,sin(A-B)=15 .（1）求tanAtanB ;（2）设AB
9、=3 ,求AB 边上的高.答案：（1）因为sin(A+B)=35,sin(A-B)=15 ,所以sinAcosB+cosAsinB=35，sinAcosB-cosAsinB=15，所以sinAcosB=25,cosAsinB=15, 所以tanAtanB=2 .（2）因为2A+B,sin(A+B)=35 ,所以tan(A+B)=-34 ,即tanA+tanB1-tanAtanB=-34 .将tanA=2tanB 代入上式并整理得,2tan2B-4tanB-1=0 ,解得tanB=2+62 （负值舍去）,所以tanA=2tanB=2+6 .设AB 边上的高为CD ,则AB=AD+DB=CDtan
10、A+CDtanB=3CD2+6 ,由AB=3 ,得CD=2+6 ,所以AB 边上的高等于2+6 .解题感悟在三角恒等变换中,需将所求三角函数或一个代数式整体视为一个“元”,参与计算和推理,由已知条件化简,变形构造方程（组）,应用方程思想求解变量的值.迁移应用 1.设当x= 时,函数f(x)=sinx-2cosx,xR 取得最大值,求cos 的值.答案：由题意得f(x)=sinx-2cosx=5(15sinx-25cosx) .设15=cos,25=sin ,则y=5(sinxcos-cosxsin)=5sin(x-) .因为xR ,所以x-R ,所以ymax=5 .又因为x= 时,f(x) 取
11、得最大值,所以f()=sin-2cos=5 .又sin2+cos2=1 ,所以sin=15,cos=-25, 即cos=-255 .评价检测素养提升 课堂检测1.若4,2,sin2=378 ,则sin= ( )A.35 B.45C.74 D.34答案：D解析：由4,2 可得,22,cos2=-1-sin22=-18 ，sin=1-cos22=34 ,故选D.2.（2020吉林延边第二中学高一检测）已知锐角, 满足cos=35,cos(+)=-513 ,则cos(2-) 的值为( )A.3365 B.-3365C.5665 D.-6365答案：A解析：因为, 为锐角,cos=35 ,cos(+)
12、=-513 ,所以sin=45,sin(+)=1213 ,所以cos(2-)=cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-51335+121345=3365 .3.（2021山西朔州高一期末）已知(0,2),2sin2=cos2+1 ,则sin= ( )A.15 B.55C.33 D.13答案：B解析：由2sin2=cos2+1 得4sincos=2cos2 ,因为a(0,2) ,所以cos0，sin0，因此4sincos=2cos2 可化为2sin=cos ,又sin2+cos2=1, 所以5sin2=1,解得sin=55 .故选B.4.已知tan2=13 ,则cos=
13、 .答案：45解析：因为tan2=1-cos1+cos ,所以tan22=1-cos1+cos .所以1-cos1+cos=19 ,解得cos=45 .素养演练逻辑推理、数学运算求角的大小1.(2020湖北荆州高一检测)设(0,2),(0,2) ,且tan=1+sincos ,则( )A.3-=2 B.2-=2C.3+=2 D.2+=2答案：B解析：由tan=1+sincos ,得sincos=1+sincos ,即sincos=cos+cossin ,所以sin(-)=cos=sin(2-) .因为(0,2),(0,2) ,所以-(-2,2) ,2-(0,2) ,由sin(-)=sin(2-
14、) ,得-=2- ,所以2-=2 .故选B.素养探究：本题考查同角三角函数间的基本关系,两角差的正弦公式.在有范围限制的情况下求三角函数值或角的题目中,容易因为忽略角的范围而产生增根考查数学运算、逻辑推理核心素养.迁移应用1.已知tan=-13,cos=55,(2,),(0,2) ,则tan(+) 的值为 ,+ 的值为 .答案：1; 54解析：由cos=55,(0,2) ,得sin=255 ,则tan=2 .所以tan(+)=tan+tan1-tantan=-13+21-(-13)2=1 .因为(2,),(0,2) ,所以2+32 ,所以+=54 .2.已知(-2,2) ,且sin2=sin(-4) ,则角 的值为 .答案：-4 或512解析：因为sin2=-cos(2+2)=-2cos2(+4)-1=1-2cos2(+4) ,sin(-4)=-sin(4-)=-cos2-(4-)=-cos(4+) ,所以原式可化为1-2cos2(+4)=-cos(+4) ,解得cos(+4)=1 或cos(+4)=-12 .因为(-2,2) ,所以+4(-4,34) ,故+4=0 或+4=23 ,即=-4 或=512 .
