1、2018-2019学年高二年级数学上学期期末考试卷第I卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知命题，下列命题中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：命题，使的否定为,使，故选C考点：特称命题的否定2.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线，开口向右且焦点在轴上，坐标为.故选A.3.“a1”是“1,所以1.而a0时,显然1,故由1.4. 已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析：
2、由已知中ABC三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为ABC中BC边上的中线故选B.考点：空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键5.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正
3、确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的基底判断的正误，找出反例判断命题的正误，即可得到正确选项【详解】解：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确故选：C【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点
4、若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法、减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.详解】.【点睛】本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.7.已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A. （x0）B. （x0）C. （x0）D. （x0）【答案】B【解析】由于，所以到的距离之和为，满足椭圆的定义，其中，由于焦点在轴上，故选.点睛：本题主要考查椭圆的定义和标准方程. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定
5、理或余弦定理求解. 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为【详解】抛物线中，故选B【点睛】是抛物线的焦点弦，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1k2)x24kx100，由结合韦达定理可得解.【详解】解析：把ykx2代入x2y26，得x2(kx
6、2)26，化简得(1k2)x24kx100，由题意知即解得k1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.10.试在抛物线上求一点，使其到焦点距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时故点的纵坐标为1，所以横坐标即点P的坐标为选A点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得
7、解；(2)将抛物线上点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决11.在长方体中，如果，那么到直线的距离为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，再根据等面积可得答案【详解】由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：根据长方体得性质可得：平面ABCD因为，所以，根据等面积可得：故选：C【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题.12.已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为正三角形，则该椭圆的离
8、心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在方程中，令，可得，ABF2为正三角形，即，整理得，解得或（舍去）选D点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值，由直接求(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解第卷(主观题 共90分)二、填空题(每题5分，共20分，将答案写在答题纸上)13. 已知A（1，2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=_.【答案】2【解析】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，解得，考点：空间三点共线14.已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米则水面升高米后，水面宽是_米（精确到
9、米）【答案】【解析】试题分析：设抛物线方程为，当x=0时 c=2，当x=-4和x=4时y=0，求得， b=0，则，令y=1，得，所以水面宽.考点：抛物线方程.15.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.16.一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；是的充要条件；“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_.【答案】【解析】对于，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，
10、正确；对于，若，则，有，则三个角成等差数列，反之若三个角成等差数列，有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，正确；对于， 当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，错误；对于，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，错误，故答案为.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.已知命题有两个不相等的负根，命题 无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据命题和的真假性，逐个判断.【详解】因为假，并且为真，故假，而真即不存在两个不等的负根，且无实根.所以，即，当时，不存在两个不等的负根，当时，存在两个不等的负根.
11、所以的取值范围是【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.18.已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6。求椭圆C的标准方程; 已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值。进而求出椭圆C的标准方程。（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度。【详解】解：由，长轴长为6得：所以椭圆方程为设,由可知椭圆方程为,直线AB的方程为把代入得化简并整理得所以又【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能
12、力，属于中档题19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点求异面直线与所成角的余弦值；求直线和平面的所成角的正弦值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值；求出平面的法向量和，利用向量法能求出直线和平面的所成角的正弦值解析：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0），COS= 所以异面直线BE与AC所成角的余弦为（2）设平面ABC的法向量为则知知取，则故BE和平面ABC的所成角的正弦值为20.在平面
13、直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点。（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，消去后利用韦达定理判断的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题；（2）根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.【详解】（1）证明：设过点的直线交抛物线于点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，得，则，又因为，所
14、以，综上所述，命题“如果直线过点T（3，0），那么3”真命题；（2）逆命题是：“设直线与抛物线2相交于A、B两点，如果3，那么该直线过点”，该命题是假命题，例如：取抛物线上的点，此时3，直线AB的方程为，而T（3，0）不在直线AB上.【点睛】该题考查的是有关判断命题真假的问题，涉及到的知识点有四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，属于简单题目.21.如图，四棱锥的底面是矩形，平面，.(1)求证：平面；(2)求二面角余弦值的大小；(3)求点到平面的距离【答案】(1)见解析，(2) (3)【解析】【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（
15、0，0，2）.2分在RtBAD中，AD=2，BD=，AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0），即BDAP，BDAC，又APAC=A，BD平面PAC. 4分解：（2）由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，故平面PCD的法向量可取为PA平面ABCD，为平面ABCD的法向量. 7分设二面角PCDB的大小为q，依题意可得. 9分（3）由（）得，设平面PBD的法向量为，则，即，x=y=z，故可取为. 11分，C到面PBD的距离为13分考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。【点睛】综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难
16、点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用二面角的向量求法： 若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； 设分别是二面角的两个面，的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。22.如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.（）求椭圆的方程和焦点坐标；（）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.【答案】（），；（）.【解析】试题分析：（）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；（）根据题意得到的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出,.试题解析：（）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程为，从而可得焦点坐标为.（） 将与联立，消去，得.
