1、12.11正态分布典例精析题型一研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间4，2的概率.【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知0，由最大值为知2，所以P(2x2)P(x)0.682 6，P(4x4)P(2x2)0.954 4，所以P(4x2)(0.954 40.682 6)0.135 9.【点拨】应当熟记：P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.【变式训练1】设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(X5).【解析】因为XN(1,22)，所以1，2.(1)P(1X3)
2、P(12X12)P(X)0.682 6.(2)因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.题型二利用正态总体密度函数估计某区间的概率【例2】 已知某地区数学考试的成绩XN(60,82)(单位：分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人？【解析】由题意60，8，因为P(X)0.682 6，所以P(52X68)0.682 6，又此正态曲线关于x60对称，所以P(60X68)P(52X68)0.341 3，从而估计在60分到68分之间约有341 3人. 【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(，)的概率考
3、查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区间进行探讨.【变式训练2】某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30, 100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.【解析】由30，10，P(X)0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(2X2)0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 40.682 60.271 8，由正态曲线关于直线x30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.总结提高1.服从正态分布的随机变量X的概率特点若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(Xa)0，而Xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)P(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同.2.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值.(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相同.P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa).
