1、第七节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直【最新考纲】1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量2空间位置关系的向量表示1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)若两直线的方向向量不平行，则两直
2、线不平行()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若空间向量a平行于平面，则向量a所在直线与平面平行()答案：(1)(2)(3)(4)2已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()ABC，相交但不垂直 D以上均不对解析：n1n2，且n1n22(3)315(4)230，不平行，也不垂直答案：C3若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()Al BlCl Dl与相交解析：由n2a知，na，则有l.答案：B4已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1，
3、1)C. D.解析：设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.答案：C5(2016济南质检)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设|AD|2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以(2，0，1)，(1，0，2)，因此2020，故AMON.答案：垂直一种思想用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推
4、理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想一点注意运用向量知识判定空间位置关系，不可忽视几何定理满足的条件，如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外两种思路向量法求解立体几何问题的解题思路1选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断2建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题一、选择题1平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k()A2B4C4D2解析：，两平面法向量平行，k4.答案：C2若，则直线AB与平面CDE的
5、位置关系是()A相关 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析：，共面则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内答案：D3已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3，4)解析：逐一验证法，对于选项A，(1，4，1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内答案：A4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则AM与PM的位置关系为()A平行 B异面C垂直 D以上都不对解析：以D点为原点，分
6、别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)(，2，0)(0，1，)(，1，)，(，2，0)(2，0，0)(，2，0)，(，1，)(，2，0)0，即，AMPM.答案：C5如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上正确说法的个数为()A1 B2 C3 D4解析：，所以A1MD1P，由线面平行的判定定理
7、可知，A1M面DCC1D1，A1M面D1PQB1.正确答案：C二、填空题6已知直线l的方向向量为v(1，2，3)，平面的法向量为u(5，2，3)，则l与的位置关系是_解析：vu0.vu，l或l.答案：l或l7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的序号是_解析：0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确由于(2，3，4)，(1，2，1)，与不平行，故错误答案：8(2016衡水中学质检)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，
8、M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_解析：以C1为坐标原点建立如图所示的坐标系A1MAN，则M(a，)，N(，a)，.又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，(0，a，0)，0，.又是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：MN平面BB1C1C三、解答题9(2016北京房山一模)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0，0，0)，B(2
9、，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)(1)(2，0，2)，(1，0，1)，2，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.(2)(0，2，2)，(1，0，0)，(0，1，1)，0021(2)10，0120(2)00，PDAF，PDAH，又AFAHA，PD平面AHF.10如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.证明：A1C平面BB1D1D.证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图ABAA1，OAOBOA11，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)由，易得B1(1，1，1)(1，0，1)，(0，2，0)，(1，0，1)，0，0，A1CBD，A1CBB1，又BDBB1B，A1C平面BB1D1D.
