1、阶段提升课 第一课 解 三 角 形 思维导图构建网络 考点整合素养提升 题组训练一 利用正、余弦定理解三角形 1.在ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是()13141111A.B.C.D.5678【解析】选C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=82+72-287 =9,所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A=1314222222bca7381.2bc2 7 37 2.(2020濮阳高二检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30,b=,c=3,则A=.3【解析】因为B=30,b=,c=3,由余弦定理b2=a2+c2-2a
2、ccos B,可得3=a2+9-2a3 ,可得a2-3 a+6=0,解得a=2 或 ,由正弦定理,可得sin A=1或 ,因为0A0,C(0,),所以sin C=所以sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C 由正弦定理,可得 即BC=(2)由已知及正弦定理,得AB=sin C=2,所以BD=1.由余弦定理,可得CD2=1+2+2 1 =5,则CD=.2 55251 cos C.522 52510.252510BCACsin Asin B，AC sin A2.sin BACsin B2225【方法技巧】解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,
3、由A+B+C=求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二 利用正、余弦定理进行边角互化 1.在ABC中,cos2 =(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状 为()A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 B2ac2c【解析】选
4、A.已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=.由余弦定理得 cos B=,代入得 整理得b2+a2=c2,即C为直角,则ABC为直角三角形.acac222acb2ac 222acba2acc ，2.在ABC中,C=30,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C的值是()【解析】选D.设ABC外接圆半径为R,则sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C 1331A.B.C.D.2444222222221(ab2abcos C)4Rcc1()sin Csin 30.4R2R4 3.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin
5、B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若 a+b=2c,求sin C.2【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=因为0A180,所以A=60.222bca1.2bc2(2)方法一:由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得 sin A+sin(120-C)=2sin C,即 +cos C+sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-.由于0C0A为锐角,b2+c2-a2=0A为直角,b2+c2-a20A为钝角.题组训练三 三角形的面积问题 1.如图,
6、在四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等 于()A.3 B.5 3C.6 3 D.7 3【解析】选B.连接BD,在BCD中,由已知条件,知DBC=30,所以ABD=90.在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC CDcos C,知BD2=22+22-222cos 120=12,所以BD=2 ,所以S四边形ABCD=SABD+SBCD=42 +22sin 120=5 .180120231231232.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=(1)求A;(2)若ABC的面积S=c2,求sin C的值.bsin(A).3
7、34【解析】(1)因为asin B=-bsin ,所以由正弦定理得sin A=-sin ,即sin A=-sin A-cos A,化简得tan A=-,因为A(0,),所以A=.(2)因为A=,所以sin A=,由S=c2=bcsin A=bc,得b=c,所以a2=b2+c2-2bccos A=7c2,则a=c,由正弦定理得sin C=(A)3(A)312323356561234121437csin A7.a14【方法技巧】与三角形的面积有关的两类题型 对于此类问题,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况:(1)若所求面积为不规则图形,可通过作
8、辅助线或其他途径构造三角形,转化为 求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利 用三角形面积公式进行求解.121212 题组训练四 解三角形与三角函数、向量的综合应用 1.在ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为()63A.7 B.3 7 C.4 7 D.2 7【解析】选C.在ABC中,AB=2,C=,则 6AB2R4sin CAC3BC4sin B4 3sin A54sin(A)4 3sin A62cos A6 3sin A4 7sin(A)73 21sincos141450A04 7.62 ，其中，由于，所以最大值为2.(2020石嘴
9、山高二检测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 m=(a,c-2b),n=(cos C,cos A),且mn.(1)求角A的大小;(2)若b+c=5,ABC的面积为 ,求ABC的周长.3【解析】(1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(a,c-2b),n=(cos C,cos A),且mn.所以acos C+(c-2b)cos A=0,利用正弦定理整理得:sin Acos C+sin Ccos A-2sin Bcos A=0,所以sin(A+C)-2sin Bcos A=0,即sin B-2sin Bcos A=0,由于sin B0,故cos A
10、=,由于0A,所以A=.123(2)由于ABC的面积为 ,所以 bcsin A=,整理得bc=4.利用余弦定理a2=c2+b2-2bccos A,解得a=,所以周长l=a+b+c=5+.31231313【方法技巧】正、余弦定理综合应用的两类题型 正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,主要题型有以下两类.(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.题组训练五 解三角形应用举
11、例 1.某观察站B在A城的南偏西20的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东 25.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路开车以40 km/h 的速度向A城驶去,行驶了15 min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8 km,则此人到达A城还需要()A.40 min B.42 min C.48 min D.60 min 10【解析】选C.由题意可知,CD=40 =10.由余弦定理可得cos BDC=所以cos ADB=cos(-BDC)=,所以sin ABD=sin-(ADB+BAD)=.156022210(8 10)3010102 10 8 10，10102 55在AB
12、D中,由正弦定理得,所以 所以AD=32,所以所需时间t=0.8(h),所以此人还需要0.8 h,即48 min到达A城.ADBDsin ABDsin BAD，AD8 102 5252，32402.(2020攀枝花高二检测)如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角=60,=30,若山坡高为a=35,则灯塔高度是()A.15 B.25 C.40 D.60【解析】选B.过点B作BEDC于点E,过点A作AFDC于点F,如图所示,在ABD中,由正弦定理得,即 所以AD=,在RtADF中,DF=ADsin=,又山高为a,则灯塔CD的高度是 CD=DF-
13、CF=60-35=25.ABADsin ADBsin ABD，hADsin90(90)sin(90)，hcossin()hcos sinsin()3340hcos sin22a351sin()2 3.我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角)为45,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角105的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇 立即以21海里/时的速度前去营救,已知在渔船到达岛P之前,海军舰艇可以靠近 渔船,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间.(参考数据 cos 21.79 )1314【解析
14、】设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x小时,则AB=21x,BC=9x,AC=10,ACB=45+(180-105)=120,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,则(21x)2=102+(9x)2-2109x ,1()2整理得36x2-9x-10=0,解得x1=,x2=-(舍),所以AB=14,BC=6,由余弦定理得cos BAC=所以BAC21.79,所以45+21.79=66.79.答:海军舰艇应以66.79的方位角航行,靠近渔船需 小时.23512222222ABACBC14106132AB AC2 14 1014，23【方法技巧】1.几种常见题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.2.解题时需注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念,并能准确地找出(或作出)这些角.(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决.
