1、课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用基础巩固组1.(2021山西晋中二模)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=2+2cos,y=2sin(为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(sin +cos )=1.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)点P的极坐标为1,2,设直线l与圆C的交点为A,B两点,且AB的中点为Q,求线段PQ的长.2.(2021河南六市联考一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcos,y=1+tsin(t为参数,0,),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系
2、,圆C的极坐标方程为=4cos-3.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设P(1,1),若直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA-PB|的最大值.综合提升组3.(2021江西鹰潭一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是=8cos1-cos2.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若=4,设直线l与曲线C交于A,B两点,求AOB的面积.创新应用组4.(2021河南新乡一模)数学中有许多寓意美好的曲线,在极坐标系中,曲线C:=sin 3(R,0,2)被称为“三叶玫瑰线”(如图所示).(1)
3、求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标;(2)射线l1,l2的极坐标方程分别为=0,=0+2(00,2),0),l1,l2分别交曲线C于M,N两点,求1|OM|2+1|ON|2的最小值.答案：课时规范练1.解: (1)由x=2+2cos,y=2sin(为参数),消去参数,得圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,由(sin +cos )=1,结合x=cos ,y=sin ,可得直线l的直角坐标方程为x+y-1=0.(2)由点P的极坐标为1,2,得点P的直角坐标为(0,1),可知点P在直线l上.设直线l的参数方程为x=-22t,y=1+22t(t为参数),代入圆的普通方程得t2+32t+
4、1=0,又PQ=t1+t22,故|PQ|=t1+t22=322.2.解: (1)由圆C的极坐标方程为=4cos-3,得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+23y,即(x-1)2+(y-3)2=4.(2)将直线l的参数方程x=1+tcos,y=1+tsin(t为参数),代入(x-1)2+(y-3)2=4,得t2-2(3-1)sin t-23=0.设点A,B所对应的参数为t1和t2,则t1+t2=2(3-1)sin ,t1t2=-23,(方法1)|PA-PB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(3-1)2sin2+83,当sin =1时,|PA-PB|max=4.(方法2)由t的
5、几何意义知,|PA-PB|=|AB|,所以|PA-PB|max=2r=4.3.解: (1)直线l的参数方程为x=1+tcos,y=tsin(t为参数).由=8cos1-cos2,得2sin2=8cos ,即曲线C的直角坐标方程为y2=8x.(2)当=4时,直线l的参数方程为x=1+22t,y=22t(t为参数),代入y2=8x,得t2-82t-16=0,所以t1+t2=82,t1t2=-16.所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=83.由直线l过点(1,0),所以O到AB的距离为d=1sin4=22.则SAOB=128322=26.4.解: (1)将单位圆与“三叶玫瑰线”的极坐标方
6、程联立得=sin3,=1,解得sin 3=1,所以3=2+2k(kZ),所以=6+2k3(kZ).因为0,2),取k=0,1,2,得=6,56,32.从而得到以极点为圆心的单位圆与“三叶玫瑰线”交点的极坐标为A1,6,B1,56,C1,32.(2)将=0,=0+2代入C:=sin 3(R,0,2)中,点M,N所对应的极径分别为1,2,所以1=sin 30,2=-cos 30,即|OM|2=sin230,|ON|2=cos230,1|OM|2+1|ON|2=1sin230+1cos230 =1sin230+1cos230(sin230+cos230)=2+sin230cos230+cos230sin2304,当且仅当tan230=1时,取得最小值4.
