1、2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z= （i为虚数单位）的虚部为（）A3B3C3iD22设全集U=R，集合A=x|1og2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（UB）A=（）A（，1B（，1（0，3）C0，3）D（0，3）3已知平面向量，满足（）=5，且|=2，|=1，则向量与夹角的正切值为（）ABCD4在如下程序框图中，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）ABCD5某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中
2、级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A25B20C12D56在圆x2+y24x4y2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A5B10C15D207如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（）A3BCD38将函数f（x）=sin2xcos2x的图象向左平移（0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）|g（）|对xR恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（）Ak+，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k+（k
3、Z）9成书于公元五世纪的张邱建算经是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈 问日益几何”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）A5寸另寸B5寸另寸C5寸另寸D5寸另寸10化简=（）A1B2CD111设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD12已知函数f（x
4、）的定义域为R，且为可导函数，若对xR，总有2f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），则（）Af（x）0恒成立Bf（x）0恒成立Cf（x）的最大值为0Df（x）与0的大小关系不确定二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13如图是函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象，则f（3x0）=14已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l，m给出下列命题：lm；lm；ml； lm其中正确的命题是 （填写所有正确命题的序号）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC3ccosB=a，则tan（BC）的最大值为16若二次函数f（x）=
5、x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a0）存在公共切线，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17等比数列an的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6（1）求数列an的通项公式；（2）设bn+2=3log2，求数列anbn的前n项和18如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA平面ABCD（1）证明：平面PCD平面PAD；（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为？请说明理由19某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：科研费用支出（xi）与
6、利润（yi）统计表 单位：万元年份科研费用支出（xi）利润（yi）2011201220132014201520165114532314030342520合计30180（1）由散点图可知，科研费用支出与利润线性相关，试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程；（2）当x=xi时，由回归直线方程=x+得到的函数值记为，我们将=|yi|称为误差；在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：=， =20已知椭圆Cn： +=n（ab0，nN*），F1、F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且=0；（1）求Cn的离心率
7、并求出C1的方程；（2）P为椭圆C2上任意一点，过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q；求证：QMN的面积为定值，并求出这个定值21设函数f（x）=exax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2（1）求a，b的值；（2）当x0时，求证：f（x）（e2）x+2选修4-4：坐标系与参数方程选讲22已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为=2cos（）（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P
8、（0，），求|PA|+|PB|选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x4|+|x1|（1）解不等式：f（x）5；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z= （i为虚数单位）的虚部为（）A3B3C3iD2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案【解答】解：z=，复数z= （i为虚数单位）的虚部为：3故选：B2设全集U=R，集合A=x|1og
9、2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（UB）A=（）A（，1B（，1（0，3）C0，3）D（0，3）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|1og2x2=（0，4，B=x|（x3）（x+1）0=（，13，+），CUB=（1，3），（CUB）A=（0，3），故选：D3已知平面向量，满足（）=5，且|=2，|=1，则向量与夹角的正切值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角以及的正切值【解答】解：设、的夹角为，则0，又（）=5，|=2，|=1，
10、+=22+21cos=5，解得cos=，=，tan=，即向量与夹角的正切值为故选：B4在如下程序框图中，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）ABCD【考点】程序框图【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可【解答】解：程序框图对应的不等式组为，则“恭喜中奖！满足条件为yx+，作出不等式组对应的平面区域如图：则正方形的面积S=11=1，D（0，），E（，1），则ADE的面积S=，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：A5某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽
11、取的初级教师的人数为（）A25B20C12D5【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：初级教师80人，抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B6在圆x2+y24x4y2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A5B10C15D20【考点】直线与圆相交的性质【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中
12、点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y2）2=10，则圆心坐标为（2，2），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME=，所以BD=2BE=2，又ACBD，所以四边形ABCD的面积S=ACBD=22=10故选B7如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（）A3BCD3【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三
13、棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥PABC，如图所示；PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，PB=，AC=，BC=，PC=，PB最长，长度为故选：C8将函数f（x）=sin2xcos2x的图象向左平移（0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）|g（）|对xR恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（）Ak+，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k+（kZ）【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平
14、移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果【解答】解：f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x）的图象向左平移（0）个单位，得到g（x）=2sin（2x+2）g（x）|g（）|对xR恒成立，g（）=1，即2sin（2+2）=1，=k+，（kZ）0，=，g（x）=2sin（2x+）令2x+2k+，2k+，（kZ）则xk+，k+（kZ）故选：C9成书于公元五世纪的张邱建算经是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈 问日益几何”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390
15、尺，则该女子织布每天增加（）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）A5寸另寸B5寸另寸C5寸另寸D5寸另寸【考点】等差数列的前n项和【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，再把尺换算成寸即可【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=尺尺=寸=5寸另寸故选：A10化简=（）A1B2CD1【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值【解答】解： =2故选：B11设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积
16、为，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，M（a，b），利用AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，M（a，b），AMN的面积为，4a2（c2a2）=c4，e44e2+4=0，e=故选D12已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对xR，总有2f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），则（）Af（x）0恒成立Bf（x）0恒成立Cf（x）的最大值为0Df（x）与0的大小关系不确定【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算
17、【分析】令g（x）=x2f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可【解答】解：令g（x）=x2f（x），则g（x）=x2f（x）+xf（x），若对xR，总有2f（x）+xf（x）0成立则x0时，g（x）0，x0时，g（x）0，故g（x）在（，0）递增，在（0，+）递减，故g（x）max=g（0）=0，故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13如图是函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象，则f（3x0）=【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由特殊点的坐标求出的值，再利用余弦函数的图象特征求得x0的值
18、，可得要求式子的值【解答】解：根据函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象，可得cos=，=，f（x）=cos（x+）再根据x0+=，可得x0=，f（3x0）=cos（5+）=cos=，故答案为：14已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l，m给出下列命题：lm；lm；ml； lm其中正确的命题是 （填写所有正确命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在中，由线面垂直的性质定理得lm；在中，l与m相交、平行或异面；在中，l与相交或平行；在中，由已知得，从而m【解答】解：由，是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l，m，知：在中，lm，由线面垂直的性质定理得lm，
19、故正确；在中，l与m相交、平行或异面，故错误；在中，ml与相交或平行，故错误；在中，lm，故正确故答案为：15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC3ccosB=a，则tan（BC）的最大值为【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值【解答】解：2bcosC3ccosB=a，2sinBcosC3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinBcosC=4cosBsinC，tanB=4tanCtan（BC）=故答案为：16若二
20、次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（0，【考点】二次函数的性质【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围【解答】解：f（x）=x2+1的导数为f（x）=2x，g（x）=aex+1的导数为g（x）=aex，设公切线与f（x）=x2+1的图象切于点（x1，x12+1），与曲线C：g（x）=aex+1切于点（x2，aex2+1），2x1=aex2=，化简可得，2x1=，得x1=0或2x2=x1+2，2x1=aex
21、2，且a0，x10，则2x2=x1+22，即x21，由2x1=aex2，得a=，设h（x）=（x1），则h（x）=，h（x）在（1，2）上递增，在（2，+）上递减，h（x）max=h（2）=，实数a的取值范围为（0，故答案为：（0，三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17等比数列an的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6（1）求数列an的通项公式；（2）设bn+2=3log2，求数列anbn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设数列an的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列an的通项公式；（2）利用错位相
22、减法可求得数列anbn的前n项和Sn【解答】解：（1）由a32=4a2a6得：a32=4a42q2= 即q=又由a1+2a2=1得：a1=an=（）n（2）bn+2=3log2bn+2=3log22nbn=3n2cn=（3n2）（）nSn=1+4（）2+7（）3+（3n5）（）n1+（3n2）（）n Sn=1（）2+4（）3+7（）4+（3n5）（）n+（3n2）（）n+1得：Sn=1+3（）2+（）3+（）n）（3n2）（）n+1=1+3（3n2）（）n+1=+3（1（）n1）（3n2）（）n+1Sn=1+33（）n1（3n2）（）n=4（）n（6+3n2）=4（）n（3n+4）即：Sn=4
23、18如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA平面ABCD（1）证明：平面PCD平面PAD；（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为？请说明理由【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【分析】（1）证明：AB平面PAD，根据四边形ABCD为矩形，ABCD，得到CD平面PAD，即可证明平面PCD平面PAD；（2）利用等体积方法，即可求解【解答】（1）证明：四边形为矩形，ABADPA平面ABCD，PAABPAAD=A，AB平面PAD四边形ABCD为矩形，ABCDCD平面PAD又因为CD平面PCD平面PCD平面PAD（2）解：设AB=x，则CD=x，PA=，PC=，P
24、D=VBPCD=VPBCDCDPD=BCCDPA即x=3x，=2，解得：x=1即当AB的长为1时，点B到平面PCD的距离为19某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元年份科研费用支出（xi）利润（yi）2011201220132014201520165114532314030342520合计30180（1）由散点图可知，科研费用支出与利润线性相关，试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程；（2）当x=xi时，由回归直线方程=x+得到的函数值记为，我们将=|yi|称为误差；在表中6组数据中任
25、取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：=， =【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法需要的6个数据，横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程（2）列举出所有的基本事件再求出满足条件的事件的个数，作商即可【解答】解：（1）由题意得如下表格序号xiyixiyixi21531155252114044012134301201645341702553257596220404=5=30xiyi=1000xi2=2
26、00=2， =3025=20，回归方程是： =2x+20（2）各组数据对应的误差如下表：序号xiyi1531301211404223430282453430453252616220244基本事件空间为：=（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个基本事件事件“至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3”包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5
27、），（3，6），（4，5），（5，6），共14个基本事件P=即在表中6组数据中任取两组数据，两组数据中至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3的概率为；20已知椭圆Cn： +=n（ab0，nN*），F1、F2是椭圆C4的焦点，A（2，）是椭圆C4上一点，且=0；（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；（2）P为椭圆C2上任意一点，过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q；求证：QMN的面积为定值，并求出这个定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）椭圆C4的方程为： +=1，由=0，可得b2，a2即可；（2）由距离公式得到点P到直线l的距离d，由弦长公
28、式得到MN，QMN的面积为s=即可得证【解答】解：（1）椭圆C4的方程为：C4： +=4 即： +=1不妨设c2=a2b2 则F2（2c，0）=0，2c=2， =c=1，2b2=a，2b4=a2=b2+1，2b4b21=0，（2b2+1）（b21）=0，b2=1，a2=2椭圆Cn的方程为： +y2=ne2=，e=椭圆C1的方程为： +y2=1；（2）设P （x0，y0），由（1）得C2：为： +y2=2，过P且与椭圆C2相切的直线l：且x02+2y02=4点P关于原点对称点Q （x0，y0），点P到直线l的距离d=设M（x1，y1），N（x2，y2）由.得4x28x0x+1616y02=0x2
29、2x0x+44y02=0；x1+x2=2x0，x1x2=44y02，MN=，QMN的面积为s=4（定值）21设函数f（x）=exax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2（1）求a，b的值；（2）当x0时，求证：f（x）（e2）x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程即可；（2）令（x）=f（x）（e2）x2=exx2（e2）x1，则（x）=ex2x（e2），令t（x）=（x），根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）f（x）=ex2ax，f（1）=e2a，f（1）=ea+
30、1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：ye+a1=（e2a）xe+2a，即：y=（e2a）x+a+1，由题意：e2a=b，a+1=2，a=1，b=e2（2）证明：令（x）=f（x）（e2）x2=exx2（e2）x1，则（x）=ex2x（e2），令t（x）=（x），则t（x）=ex2，令t（x）0得：0xln2 令t（x）0得：xln2，t（x）=（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增t（0）=（0）=3e0，t（1）=（1）=0，0ln21，t（ln2）=（ln2）0，存在x0（0，1）使t（x0）=（x0）=0，且当x（0，x0）或x（1，+）时，t（x）=（x）
31、0，当x（x0，1）时，t（x）=（x）0，（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减，在上递增（1，+），又（0）=（1）=0，所以有：（x）0，即f（x）（e2）x20，f（x）（e2）x+2选修4-4：坐标系与参数方程选讲22已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为=2cos（）（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，），求|PA|+|PB|【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）直线l的参数方程为 （
32、t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角由曲线C的极坐标方程得到：2=2cos（），利用2=x2+y2，即可化为直角坐标方程（2）将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答【解答】解（1）直线的斜率为，直线l倾斜角为由曲线C的极坐标方程得到：2=2cos（），利用2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x）2+（y）2=1（2）点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|直线l的直角坐标方程为y=x+所以圆心（，）到直线l的距离d=所以|AB|=，即|PA|+|PB|=选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x4|+|x1|（1）解不等式：f（x）
33、5；（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）由于|x4|+|x1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x4|+|x1|5的解集（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m0恒成立，|x4|+|x1|=2m在R上无解，利用|x4|+|x1|3，即可求实数m的取值范围【解答】解：（1）由于|x4|+|x1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式|x4|+|x1|5的解集为x|0x5（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m0恒成立，|x4|+|x1|=2m在R上无解，|x4|+|x1|3，2m3，m2017年1月31日
