1、第 3 讲 几何概型,学生用书 P179)1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的2会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与
2、面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题1.教材习题改编 如图，转盘的指针落在 A 区域的概率为()A16 B19 C 112 D 118答案 C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是()A15 B25C35D45 B 解析 P303054025，故选 B.3.教材习题改编 如图，在一边长为 2
3、的正方形 ABCD 内有一曲线 L 围成的不规则图形往正方形内随机撒一把豆子(共 m 颗)落在曲线 L 围成的区域内的豆子有 n 颗(nm)，则 L 围成的区域面积(阴影部分)为()A2nmB4nmC n2mD n4m B 解析 S阴影S正方形落在L围成的区域的豆子数n落在正方形中的豆子数m，所以 S 阴影nm224nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为_解析 设圆的半径为 R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为 2R，则所求事件的概率为 PS阴S圆12 2R 2RR2 1.答案 15已知正方体 ABCD-A1B1
4、C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥M-ABCD 的体积小于16的概率为_解析 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设 M-ABCD 的高为 h，则13S 四边形 ABCDh16.又S 四边形 ABCD1，所以 h12.若体积小于16，则 h12，即点 M 在正方体的下半部分，所以 P12V正方体V正方体12.答案 12 与长度、角度有关的几何概型学生用书 P180典例引领(1)(2016高考全国卷乙)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟
5、的概率是()A13 B12C23D34(2)(2017烟台模拟)在区间2，2 上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到12之间的概率为_(3)如图所示，在ABC 中，B60，C45，高 AD 3，在BAC 内作射线AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率为_【解析】(1)由题意得图：由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为12.(2)当2 x2 时，由 0cos x12，得2 x3 或3 x2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)因为B60，C45，所以BAC75.在 RtABD 中，AD 3，B60，所以 BDADtan 601，BAD30.记事件 N 为“在BAC
6、内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1”，则可得BAMBAD时事件 N 发生 由几何概型的概率公式，得：P(N)307525.【答案】(1)B(2)13(3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于 0 到12”改为“cos x 的值介于 0 到 32”，则概率如何？解 当2 x2 时，由 0cos x 32，得2 x6 或6 x2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点M”，则 BM1 的概率是多少？解 依题意知 BCBDDC1 3，P(BM1)11 3 312.与长度、角度有关
7、的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件 A 包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)通关练习1在区间0，2上随机地取出一个数 x，则事件“1log12x12 1”发生的概率为()A34B23C13D14 A 解析 不等式1log12x12 1 可化为 log122log12x12 log1212，即12x122，解得 0 x32，故由几何概型的概率公式得 P3202034.2如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30角的终边上，任作一条射线 OA
8、，则射线 OA 落在yOT 内的概率为_解析 如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，则 OA 落在yOT 内的概率为 6036016.答案 16 与面积有关的几何概型(高频考点)学生用书 P181与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为容易题或中档题高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度：(1)与平面图形面积有关的几何概型；(2)与线性规划知识交汇命题的几何概型典例引领(1)(2016高考全国卷甲)从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中
9、两数的平方和小于 1 的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A4nm B2nm C4mn D2mn(2)(2017湖北华师附中联考)在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x2y8 的概率为()A14B 316C 916D34【解析】(1)设由0 xn10yn1构成的正方形的面积为 S，x2ny2n1 构成的图形的面积为S，所以SS 141 mn，所以4mn，故选 C.(2)(x，y)构成的区域是边长为 4 的正方形及其内部，其中满足 x2y8 的区域为如图所示的阴影部分，易知 A(4，2)，所以 P12（24）44434.选 D.【答案】(1)C(2)D与面积有关
10、的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解 题点通关角度一 与平面图形面积有关的几何概型1.如图，将半径为 1 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为()A 41 B 1C1 1D 2 A 解 析 顺 次 连 接 星 形 的 四 个 顶 点，则 星 形 区 域 的 面 积 等 于(2)2 414121212 4，又因为圆的面积等于12，因此所求的概率等于4 41.角度二 与线性规划知识交汇命题的几何概
11、型2在区间0，1上任取两个数 a，b，则函数 f(x)x2axb2 无零点的概率为_解析 要使该函数无零点，只需 a24b20，即(a2b)(a2b)0，所以 a2b0.作出0a1，0b1，a2b13，三棱锥 SABC 的高与三棱锥 SAPC 的高相同作 PMAC 于M，BNAC 于 N，则 PM，BN 分别为APC 与ABC 的高，所以VSAPCVSABCSAPCSABCPMBN13，又PMBNAPAB，所以APAB13，故所求的概率为23(即为长度之比)【答案】(1)112(2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件
12、空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解 (2017长春第二次调研)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1，D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合)，且 EHA1D1，过 EH 的平面与棱 BB1，CC1相交，交点分别为 F，G.设 AB2AA12a，EFa，B1E2B1F.在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体 A1ABFE-D1DCGH 内的概率为_解析 因为 EHA1D1，所以 EHB1C1，所以 EH平面 BCC1B1.过 EH 的平面与平面BCC1B1 交于 FG，则 EHFG，所以易证明几何体 A1ABF
13、E-D1DCGH 和 EB1F-HC1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P1V三棱柱V长方体1 SEB1FS矩形ABB1A1112 55 a2 55 a2a2 910.答案 910,学生用书 P182)转化与化归思想在几何概型中的应用 某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_(用数字作答)【解析】设小王到校时间为 x，小张到校时间为 y，则小张比小王至少早到 5 分钟时满足 xy5.如图，原点 O 表示 7：30，在平面直角坐标系中画出小
14、王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为 400，小张比小王至少早到 5 分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为1215152252，故所求概率为 P2252400 932.【答案】932 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量 x，y，将已知转化为 x，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x，y)的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解 甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10 分钟后另
15、一人还没有到就离开如果甲是 8：30 到达，假设乙在 8：009：00 之间到达，且乙在 8：009：00 之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是()A16 B14C13D12 C 解析 由题意知，若以 8：00 为起点，则乙在 8：009：00 之间到达这一事件对应的集合是 x|0 x60，而满足条件的事件对应的集合是 Ax|20 x40，所以两人见面的概率是4020600 13.,学生用书 P349(独立成册)1设 p 在0，5上随机地取值，则关于 x 的方程 x2px10 有实数根的概率为()A15 B25 C35 D45 C 解析 方程 x2px10 有实根，则 p240，解得 p
16、2 或 p2(舍去)由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为525035.2在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为()A16B13C23D45 C 解析 设 ACx，则 CB12x，所以 x(12x)32，解得 x8.所以 P4412 23.3已知 ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为()A4B14C8D18 B 解析 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率 PS阴影S长方
17、形ABCD22214.4.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A，连接 AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A12B 32C13D14 C 解析 当 AA的长度等于半径长度时，AOA3，A点在 A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得 P23213，故选 C.5(2017商丘模拟)已知 P 是ABC 所在平面内一点，PBPC2PA0，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是()A14B13C12D23 C 解析 如图所示，设点 M 是 BC 边的中点，因为PBPC2PA0，所以点 P 是中线 AM 的中点，所以黄豆落在PBC
18、内的概率 PSPBCSABC12，故选 C.6任取实数 a、b1，1，则 a、b 满足|a2b|2 的概率为()A18B14C34D78 D 解析 建立如图所示的坐标系，因为|a2b|2，所以2a2b2 表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a2b|2 的概率为 S阴影S正方形78.7.如图，在一不规则区域内，有一边长为 1 米的正方形，向区域内随机地撒 1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为_平方米解析 设该不规则图形的面积为 x 平方米，向区域内随机地撒 1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的
19、黄豆数为 375，所以根据几何概型的概率计算公式可知 3751 0001x，解得 x83.答案 838已知函数 f(x)x2x2，x5，5，若从区间5，5内随机抽取一个实数 x0，则所取的 x0 满足 f(x0)0 的概率为_解析 令 x2x20，解得1x2，由几何概型的概率计算公式得 P2（1）5（5）3100.3.答案 0.39如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为_解析 设事件 M“动点在三棱锥 AA1BD 内”，则 P(M)V三棱锥AA1BDV长方体ABCDA1B1C1D1 V三棱锥A1ABDV长方体ABCDA
20、1B1C1D1 13AA1SABDV长方体ABCDA1B1C1D1 13AA112S矩形ABCDAA1S矩形ABCD 16.答案 1610(2017郑州模拟)若不等式 x2y22 所表示的平面区域为 M，不等式组xy0，xy0，y2x6表示的平面区域为 N，现随机向区域 N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率为_解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域 N 的面积为123(62)12，区域 M 在区域 N 内的面积为14(2)22，故所求概率 P21224.答案 2411.如图所示，圆 O 的方程为 x2y24.(1)已知点 A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点
21、，求AB的长度小于的概率；(2)若 N(x，y)为圆 O 内任意一点，求点 N 到原点的距离大于 2的概率解(1)圆 O 的周长为 4，所以AB的长度小于的概率为2412.(2)记事件 M 为 N 到原点的距离大于 2，则(M)(x，y)|x2y22，(x，y)|x2y24，所以 P(M)42412.12(2017广东七校联考)如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B分别为 60和 45，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形 ABC 内的概率为()A3 316B3 34C 43 3D 163 3 B 解析 由正弦定理 BCsin A ACsin B2R(R 为圆的半
22、径)BC20sin 60，AC20sin 45BC10 3，AC10 2.那么 SABC1210 310 2sin 75 1210 310 2 6 2425(3 3)于是，豆子落在三角形 ABC 内的概率为SABC圆的面积25（3 3）1023 34.13已知集合 A2，2，B1，1，设 M(x，y)|xA，yB，在集合 M 内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆 x2y21 内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线 xy0 的距离不大于 22 的概率解(1)集合 M 内的点形成的区域面积 S8.因为 x2y21 的面积 S1，故所求概率为 P1S1S 8.(2
23、)由题意|xy|2 22，即1xy1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积 S24，故所求概率为 P2S2S 12.14已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是12.(1)求 n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.记“ab2”为事件 A，求事件 A 的概率；在区间0，2内任取 2 个实数 x，y，求事件“x2y2(ab)2 恒成立”的概率解(1)依题意 nn212，得 n2.(2
24、)记标号为 0 的小球为 s，标号为 1 的小球为 t，标号为 2 的小球为 k，h，则取出 2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共 12 种，其中满足“ab2”的有 4 种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)所以所求概率为 P(A)41213.记“x2y2(ab)2 恒成立”为事件 B，则事件 B 等价于“x2y24 恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为(x，y)|0 x2，0y2，x，yR，而事件 B 构成的区域为 B(x，y)|x2y24，(x，y)所以所求的概率为 P(B)14.
