1、第八节函数与方程2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。2016，全国卷，21,12分(导数与函数的零点)2016，天津卷，8,5分(函数单调性与函数的零点)2014，全国卷，11,5分(函数的零点，参数的取值范围)1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考内容之一；2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想。微知识小题练自|主|排|查1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使
2、f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。2二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210微点提醒1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)
3、在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。2三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点。小|题|快|练一 、走进教材1(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f
4、(3)0，f(2)3log2220，f(4)log240，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)e130，因此f(x)的零点个数是1。故选B。【答案】B4函数f(x)kx1在1,2上有零点，则k的取值范围是_。【答案】5函数y(k8)x2x1至多有一个零点，则k的取值范围为_。【解析】k8时符合；k8时对应方程14(k8)0，解得k，所以k或k8。【答案】8微考点大课堂考点一 判断函数零点所在区间【典例1】函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且f(x)在(0，)上单调递增，图象
5、是一条连续曲线。又f(1)10，f(3)20，根据零点存在性定理，可知函数f(x)log3xx2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内。故选B。【答案】B反思归纳函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不能判断不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，不是必要条件，所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断。【变式训练】(2016长沙调研)已知函数f(x)lnxx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】f(x)
6、lnxx2在(0，)是增函数，又f(1)ln11ln120，f(2)ln200，x0(2,3)，故选C。【答案】C考点二 函数零点个数的判断多维探究角度一：解方程确定函数零点个数【典例2】已知函数f(x)若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_。【解析】依题意得由此解得b4，c2。由g(x)0得f(x)x0，该方程等价于或解得x2，解得x1或x2。因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为3。【答案】3角度二：利用函数单调性确定零点个数【典例3】函数f(x)exx2的零点有_个。【解析】f(x)ex0，f(x)在R上单调递增，又f(0)120，函数在区间(0,1)上有零点
7、且只有一个。【答案】1角度三：数形结合法确定函数零点个数【典例4】(2015天津高考)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3C4 D5【解析】由已知条件可得g(x)3f(2x)函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示。由图可知函数yf(x)与yg(x)的图象有2个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2。故选A。【答案】A反思归纳判断函数零点个数的3种方法1解方程法：若对应方程f(x)0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点。2零点
8、存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】要使函数f(x)在R上单调递减，只需解得a，因为方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，所以直线y2x与函数y|f(x)|的图象有两个交点。如图所示。易知y|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为1，又12，故由图可知，直线y2x与y|f(x)|的图象在x0时有一个交点；当直线y2x与yx2(4a3)x3a(x0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则整理可得4a27a30，
9、解得a1(由于a，故a1舍去)或a。而当3a2，即a时，直线y2x与y|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a。故选C。【答案】C角度二：利用函数零点比较大小【典例6】设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23。若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0【解析】f(x)在R上为增函数，且f(0)e020，f(1)e10，又f(a)0，0a1。g(x)lnxx23，g(x)在(0，)上为增函数。又g(1)ln1220，g(2)ln210，且g(b)0，1b2，即ab，故选A。【答案】A反思归纳函数
10、零点应用问题的类型及解题策略1已知函数零点求参数。根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：(1)判断函数的单调性；(2)利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；(3)解不等式，即得参数的取值范围。2已知函数零点的个数求参数。常利用数形结合法。3借助函数零点比较大小。要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小。微考场新提升1函数f(x)xcos2x在区间0,2上的零点的个数为()A2 B3C4 D5解析借助余弦函数的图象求解。f(x)xcos2x0x0或cos2x0，又cos2x0在0,2上有，共4个根，故原函数有5个零点。故选D。答案D2已知f(x)是
11、定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x。则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2，1,3 D2，1,3解析当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)。答案(，0)(1，)5已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_。解析设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1。答案(，1)微专题巧突破二次函数
12、的零点问题【典例】m为何值时，f(x)x22mx3m4。(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比1大。【解析】(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1。(2)解法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4。由题意，知5m1。故m的取值范围为(5，1)。解法二：函数f(x)图象的对称轴方程为xm，由题意，知即5m1。m的取值范围为(5，1)。【答案】(1)m4或m1(2)(5，1)【变式训练】若二次函数f(x)x22ax4在(1，)内有两个零点，求实数a的取值范围。【解析】解法一：据二次函数图象应满足：即解得2a。解法二：运用韦达定理。设x1，x2为方程x22ax40的两根，则有x1x22a，x1x24。要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，则需满足将代入上述不等式中，解得2a0，得a2或a1即可，解得2a。【答案】
