1、第2课时 基本不等式的应用 关键能力合作学习 类型一“1”代换求最值(逻辑推理、数学运算、数学建模)【题组训练】1.已知mn0,2m+n=1,则 的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.16【解析】选C.因为mn0,2m+n=1,则 =(2m+n)=4+4+=8,当且仅当 且2m+n=1即m=,n=时取等号,此时取得最小值8.12mn12mn12()mnn4mmnn 4m2 mnn4mmn14122.已知x+2y=xy(x0,y0),则2x+y的最小值为()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】选B.由x+2y=xy(x0,y0),可得 =1,则2x+y=(2x+y)5+4=9,当且仅当
2、=1,即x=3,y=3 时取等号,此时取得最小值9.12yx122x2y()5yxyx2x2y12yxyx且3.已知实数a0,b0,是8a与2b的等比中项,则 的最小值是_.【解析】因为实数a0,b0,是8a与2b的等比中项,所以8a2b=2,所以23a+b=2,解得3a+b=1.则 =(3a+b)=5+5+2 ,当且仅当b=a=-2时取等号.答案:5+2 212ab212ab12b6a()5ababb 6a2 a b6666【解题策略】常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值
3、(常数)变形为“1”.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.【补偿训练】1.若a0,b0,2a+b=6,则 的最小值为()12ab2458A.B.C.D.3333【解析】选B.因为a0,b0,2a+b=6,则 (2a+b)当且仅当 且2a+b=6,即a=,b=3时取得最小值 .121 12()ab6 ab1b4a14(4)446ab63，b4aab32432.已知x0,y0,2x-y,则2x+y的最小值为()A.B.2 C.3 D.4 22218xy【解析】选C.由x0,y0,2x-y,可得2x+y=,即有(2x+y)2=(2x
4、+y)=10+10+2 =18,即有2x+y3 ,当且仅当y=2 ,x=时等号成立,故2x+y的最小值为3 .18xy18xy+18()xy+y16xxy16222223.设正实数x,y满足x+2y=1,则 的最小值为()A.4 B.6 C.7 D.8【解析】选B.由正实数x,y满足x+2y=1,得 2+2 =6,当且仅当 ,即x=,y=时取等号,故 的最小值为6.2xxy2x2x4yx4yx2xyxyxy4y xxy4yxxy12142xxy类型二 基本不等式的实际应用(数学运算、逻辑推理、数学建模)【典例】某机械附件厂去年的年产量为10万件,每件产品的销售价格为100元,固定成本为80元.
5、从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一 年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件产品的固定成本g(n)元与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.若产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?80n1【解题策略】应用基本不等式解决实际问题的思路和方法(1)设:先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建:建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)求:在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)写:正确写出答案.【跟踪训练】某
6、厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年 产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m0)满足x=3-(k为常数),如果不搞 促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定 投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价 格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资 金,不包括促销费用).km 1(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大,并求出最大利润.【解析】(1)由题意可知当m=0时
7、,x=1,所以1=3-k,所以k=2,所以x=3-每件产品的销售价格为1.5 所以2020年的利润y=x -(8+16x+m)=4+8x-m=4+8 -m=-+29(m0).2m 1，816xx，816x(1.5)x 2(3)m 116m 1 m 1（）(2)当m0时,+(m+1)2 =8,所以y-8+29=21,当且仅当 =m+1,即m=3时,ymax=21.即该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.16m 11616m 1【拓展延伸】基本不等式失效时求最值 在求最值的一些问题中,由于其中的等号取不到,此时不能应用基本不等式 求最值,这时通常可以借助函数y
8、=x+(k0)的单调性求得函数的最值.对于函 数y=x+(k0),可以证明x(0,及-,0)上均为减函数,在 ,+)及(-,-上都是增函数.求此函数的最值时,若所给的范围含 ,可用 基本不等式,不包含 就用函数的单调性.kxkxkkkkkk【拓展训练】新余到吉安相距120千米,汽车从新余匀速行驶到吉安速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示成速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最
9、小;(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=,b=,此时汽车 的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.120016921200【解析】(1)由题意可知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为 ,全程成本为y=(bv2+a)=120(bv+),v(0,120;当a=50,b=时,y=120 240 =120(当且仅当v=100时取等号).所以汽车应以100 km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.(2)当a=,b=时,y=120 由对勾函数的单调性可知,当v=120时,y有最小值.所以汽车应以120 km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.120v120vav1200150(
10、v)200v150v200v169212001169(vv).2002类型三 基本不等式的综合应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)角度1 转化为不等式求范围 【典例】若a,b(0,+),ab=a+b+8,试求ab的范围.【思路导引】利用a+b2 ,构造关于ab的不等式.ab【解析】因为a,b(0,+),所以ab=a+b+82 +8,即ab-2 80,解得 4,所以ab16.当且仅当a=b=4时取等号.ababab【变式探究】本例的条件不变,试求a+b的范围.【解析】因为a,b(0,+),所以a+b+8=ab ,即(a+b)2-4(a+b)-320,解得a+b8,当且仅当a=b=4时等号成立.2
11、ab()2角度2 代入、构造求最值 【典例】1.已知实数a0,b0,a+b=2,则 的最小值为()【思路导引】利用a+b=2,把式子 中的b用a表示,再对式子变形.12aab33 25A.B.C.2 2D.22212aab【解析】选D.a0,b0,a+b=2,则 当且仅当 ,即a=,b=时取等号,此时取得最小值 .12a12a142aba2aa2a，1 14()a2a 22 a2a12a4a15(5)25422a2a22（），（），2a4aa2a2343522.已知正数a,b满足 =1,则 的最小值是()A.6 B.12 C.24 D.36【思路导引】根据题意可以将 =1转化成a+b=ab,再
12、将 通分转化即可得到9b+4a-13,最后利用1的代换求出9b+4a的最小值即可.11ab94a1b 111ab94a1b 1【解析】选B.因为a,b为正数,且 =1,所以a+b=ab,所以 =9b+4a-13,因为9b+4a=(9b+4a)1=(9b+4a)2 +13=25,当且仅当 ,即a=,b=时取等号,所以 =9b+4a-1312.11ab949b 14a19b4a13a1b 1a1b 1abab1（）（）（）（）（）119b4a()13abab9b 4aab9b4aab525394a1b 13.已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则 的最大值为_.【解析】由a2-2
13、ab+9b2-c=0,可得c=a2-2ab+9b2,当且仅当 时,即当a=3b时,等号成立,答案:abc2222abab1111a9ba9b2abca2ab9b4a 9b222baabb a所以，a9bba14【解题策略】1.转化为解不等式求范围 涉及与ab、a+b等相关的式子,可以利用基本不等式转化为一元二次不等式,通过解不等式求范围,体现了整体转化思想的应用.2.构造定值求最值 综合已知条件、要求的因式的特点,适当变形,构造出与要求因式相关的定值,再利用“1”的代换,整体构造等方法求最值.【题组训练】1.已知正数x、y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1 B.3 C.6
14、 D.12【解析】选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=所以2x+y=2x+当且仅当 即x=1时取等号.23x2x，223x3x33x33x 323.2x2x22x2 2x3x322x2.已知a2,b2,则 的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.16 22abb2a2【解析】选D.令x=b-2,y=a-2,则原式=当且仅当x=y=2,即a=b=4时取等号.2222y2x2y2x22xyxy（）（）（）（）224442xy4 xy4xy2xy422xyxy2 2 xyxy222xyxy22 xy216.xy（）（）（）（）3.设x0,y0,x+2y=4,则 的最小值为_.【解析】因为x+2
15、y=4,x0,y0,所以x+2y=42 (当且仅当x=2,y=1时取等号),所以 所以 1+8=9(当且仅当x=2,y=1时取等号).答案:9 x4y2xy（）（）x 2y11xy2，x4y2xy2x2y8161xyxyxy（）（）（）课堂检测素养达标 1.函数y=log2 (x1)的最小值为()A.-3 B.3 C.4 D.-4【解析】选B.因为x+5=(x-1)+6 +6=8.所以log2 3,所以ymin=3.当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.1(x5)x11x11x112x 1x 1（）1(x5)x11x12.(教材二次开发:例题改编)如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,
16、另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的()A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 22【解析】选B.设BC=a,CD=b,则ab=4,所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a+b=2a+当且仅当2a=,即a=时取等号,此时长度取 得最小值4 .442 2a4 2aa，4a223.周长为 +1的直角三角形面积的最大值为_.【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b,则 +1=a+b+,解得ab ,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形 面积S ,即S的最大值为 .答案:2222ab2 ab2ab1222141414
17、4.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.【解析】设使用x年,由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x年总的维修费用为 万元.设汽车的年平均费用为y万元,则有 y=当且仅当 ,即x=10时,y取最小值.即这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.0.20.2x x220.20.2x10 0.9xx10 x0.1x10 x10 x21123.xxx10 x 10 10 xx10【新情境新思维】高斯是德国著名的数
18、学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,函数y=x(xR)称为高斯函数,其中x表示不超过x的最大整数,例如:-2.1=-3,3.1=3.已知函数f(x)=,则函数y=f(x)的值域是()A.0,1 B.(0,1 C.(0,1)D.-1,0,1 x 12x212【解析】选A.f(x)=因为2x+2,所以00),即x=80时“=”成立.800 x800 x2x8x8800 x=x82.若xy是正数,则 的最小值是()A.3 B.C.4 D.【解析】选C.=x2+y2+=1+1+2=4.当且仅当x=y=或x=y=-时取等号.2211(x)(y)2y2x 72922211(x)(y)2y2x
19、 22111xy()4 xyyx 222211xy(x)(y)4x4yyx 22223.已知m0,n0,=1,若不等式m+n-x2+2x+a对已知的m,n及任意实数x恒 成立,则实数a的取值范围是()A.8,+)B.3,+)C.(-,3 D.(-,8 14mn【解析】选D.因为m+n=(m+n)=5+=9,当且仅当 ,即m=3,n=6时等号成立,所以-x2+2x+a9,即ax2-2x+9=(x-1)2+8,所以a8.14()mnn4mmnn4mn 4m52mnmn4.已知x0,y0,且 =1,则3x+4y的最小值是 .【解析】因为x0,y0,=1,所以3x+4y=(3x+4y)=13+13+3
20、 =25(当且仅当x=2y=5时 取等号),所以(3x+4y)min=25.答案:25 13yx13yx13()yx3x12yyxx 4y2y x5.若a,b均为正实数,且满足a+2b=1,则 的最小值为 .【解析】a+2b=1,则 =则 当且仅当 ,即a=b时取等号.答案:4 +7 ab1abab1ababa2bab2a3b23abba，236b2a()a2b43baab（）6b 2a7274 3ab，6b2aab336.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给 市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入f(x)(单位:元)与营运天数 x(xN*)满足f(x)=-
21、x2+60 x-800.(1)要使营运累计收入高于800元,求营运天数的取值范围;(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?12【解析】(1)要使营运累计收入高于800元,则 f(x)800-x2+60 x-800800(x-40)(x-80)040 x0,y0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4,所以矩形的面积S=xy =4,当且仅当x=y=2时取等号,所以当矩形的长和宽都为2 cm时,面积最大,为4 cm2.22xy444（）3.若正实数x,y满足x+y=1,则 的最小值为()41x1y4427149A.B.C.D.7532【解析】选D.因为x0,y0,x+y=1,
22、所以x+1+y=2,当且仅当x=,y=时取等号.41x1y41()x1y2x1y14yx119(14)52 42x1y22（），1323【补偿训练】已知lg a+lg b=lg 2,的最大值是()22aba2b22A.2 2 B.2 C.2 D.2【解析】选D.因为lg a+lg b=lg 2,所以lg(ab)=lg 2,所以正数a,b满足ab=2,所以b=,所以 =.当且仅当a=,即a=时取等号.2a22222abaa4a2b2a22a222a2a2a22a242aa2aa22222 a a2a24.函数y=的最小值为()A.2 B.C.1 D.不存在 22x5x452【解析】选B.y=因为
23、 2,而 ,所以不能用基本不等式求最小值,用函数的单 调性求最值,函数y=x+在(1,+)上是增函数,所以在2,+)上也是增函数.所以当 =2即x=0时,ymin=.2222x51x4x4x4，2x421x4121x522x45.函数y=loga(x+4)-1(a0且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则 的最小值为()A.8 B.6 C.12 D.10 13mn【解析】选C.设A点坐标为(x,y),依题意x+4=1,即x=-3,所以y=-1,即A点坐标为(-3,-1),又知道A点在直线mx+ny+1=0上,所以-3m-n+1=0,即3m+n=1,所以
24、 6+2 =12,当且仅当m=,n=时,等号成立.13139mn3mn6mnmnnm（）9m nnm1612二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.【解析】设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)=8+2 8+22 =56(dm2).当且仅当x=,即x=12时等号成立.答案:56 72(2)72x144(x)x144xx144x72x【补偿训练】建造一个容积为8 m3,深为2 m的长
25、方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.【解析】设水池的造价为y元,长方形底的一边长为x m,由于底面积为4 m2,所 以另一边长为 m.那么y=1204+280 =480+320 480+3202 =1 760(元).当x=2即底为边长为2 m的正方形时,水池的造价最低,为1 760元.答案:1 760 4x4(2x2)x4(x)x4x x7.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,则xy的最小值为 ,取得最小值时的 x=.【解析】因为x0,y0,2x+8y-xy=0,所以xy=2x+8y2 =8 ,所以 8,所以xy64.当且仅当x=4
26、y=16时取等号.故xy的最小值为64.答案:64 16 16xyxyxy【补偿训练】已知正实数x,y满足xy+x+2y=4,则xy的最大值为 .【解析】根据题意,x+2y2 (当且仅当x=2y时取等号),则xy+x+2y=4xy+2 -40,令t=,t0,则有t2+2 t-40,解可得-t-+,又由t0,则0t-+,2xyxy22626226即0 -+,变形可得:00的解集为x|x4或x1.(1)求实数a,b的值;(2)若0 x1,f(x)=,求函数f(x)的最小值.abx1x【解析】(1)依题意,方程x2-5ax+b=0的根为4和1,所以 即 (2)由(1)知f(x)=+,因为0 x1,所
27、以01-x0,0,所以 x+(1-x)=9,当且仅当 ,即x=时,等号成立,所以f(x)的最小值为9.4 15a4 1b ，a1b4.，1x41x1x41x1414()x1xx1x1x4x1x4x525x1xx1x1x4xx1x1310.闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区,该小镇有一块1 800平方米的矩形地块,开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树,形成柳中观鱼特色景观.假设池塘周围的基围宽均为2米,如图,设池塘所占的总面积为S平方米.(1)试用x表示a及S;(2)当x取何值时,才能使得S最大?并求出S的最大值.【解
28、析】(1)由题图知,3a+6=x,所以a=,则总面积S=1 832-即S=1 832-(x6).x631 8001 800(4)a2a(6),xx5 400 x6 5 400a(16)(16)x3x10 80016x()x3，10 80016x()x3(2)由S=1 832-,得S1 832-2 =1 832-2240=1 352(平方米).当且仅当 =,此时,x=45.即当x为45米时,S最大,且S最大值为 1 352平方米.10 800 16xx310 80016x()x310 800 x16x3【创新迁移】1.已知a0,b0,c0,若点P(a,b)在直线x+y+c=2上,则 的最小值是
29、.4ababc【解析】点P(a,b)在直线x+y+c=2上,所以a+b+c=2,所以2a+2b+2c=4,因为a0,b0,c0,所以=当且仅当 时,即a+b=c时取等号,故 的最小值是2+2 .答案:2+24ab2a2b2cababcabc2cab2cab22222 2abcabc2cababc 224ababc22.某厂家拟举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量 t万件满足t=5-(其中0 xk,k为正常数).现假定产量与销售量相等,已 知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价 格定为 元/件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费
30、用x万元的函数;(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.2x120(4)t【解析】(1)由题意得 y=t-10-2t-x,代入化简,得y=20-(0 xk).(2)y=21-21-2 =17,当且仅当 =x+1,即x=1时,上式取等号.当k1时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,当0k1时,令f(x)=20-x-,20(4)t4(x)x1 4(x1)x1 4x1x1（）4x14x1任取x1,x2(0,1)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x2-x1+=(x2-x1)0,所以f(x)在(0,1)是增函数,故在0 xk上也是增函数,所以在x=k时,函数有 最大值,促销费用投入x=k万元时,厂家的利润最大.综上,当k1时,促销费用 投入1万元时,厂家的利润最大;当0k1时促销费用投入x=k万元时厂家的利润 最大.212144xxx1x11212x1x14x1x1（）（）（）（）
