1、加练课6 直线与抛物线的位置关系学习目标1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会解决直线与抛物线的综合问题.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.( )2.若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )3.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2=-2ay(a0) 的通径长为2a . ( )二、夯实基础，自我检测4.若过抛物线y2=8x 的焦点作倾斜角为45 的直线，则该直线被抛物线截得的弦长为( )A.8B.16C.32D.64答案：B5.设
2、抛物线C:y2=4x 的焦点为F ，过点(-2,0) 且斜率为23 的直线与C 交于M ，N 两点，则FMFN= ( )A.5B.6C.7D.8答案：D6.设直线y=2x+b 与抛物线y2=4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35 ，求b 的值.答案：由y=2x+b,y2=4x, 消去y 得4x2+4(b-1)x+b2=0 .由0 ，得b12 .设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x1+x2=1-b ，x1x2=b24 ，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=1-2b ，:|AB|=1+22|x1-x2|=51-2b=35 ，1-2b=9 ，即b=-4 .互动探究关键能
3、力探究点一 直线与抛物线的位置关系 精讲精练例 已知抛物线的方程为y2=4x ，直线l 的斜率为k ，且过定点P(-2,1),k 为何值时，直线l 与抛物线y2=4x 只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？解析：思路分析 直线与抛物线的方程联立，根据“ ”与0的关系判断.答案：由题意，直线l的方程为y-1=k(x+2) ，由y-1=k(x+2),y2=4x, (*)可得ky2-4y+4(2k+1)=0 .当k=0 时，由方程得y=1 ，把y=1 代入y2=4x ，得x=14 ，此时直线l 与抛物线只有一个公共点(14,1) .当k0 时，方程的判别式为=-16(2k2+k-1) .（i ）
4、由=0 ，即2k2+k-1=0 ，解得k=-1 或k=12 ，所以方程只有一个解，从而方程组(*) 只有一组解，此时直线l 与抛物线只有一个公共点.(ii) 由0 ，即2k2+k-10 ，解得-1k12 ，所以当-1k12 ，且k0 时，方程有两个解，从而方程组(*) 有两组解，此时直线l 与抛物线有两个公共点.(iii) 由0 ，即2k2+k-10 ，解得k-1 或k12 ，所以当k-1 或k12 时，方程没有实数解，从而方程组(*) 没有解，直线l 与抛物线无公共点.综上，当k=0 或k=-1 或k=12 时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当-1k12 ，且k0 时，直线l 与抛物线有两
5、个公共点；当k-1 或k12 时，直线l 与抛物线没有公共点.解题感悟直线与抛物线位置关系的判断方法：将直线方程与抛物线方程联立消元得关于x的一元二次方程.若二次项系数含参数，则要讨论二次项系数是不是0，当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断直线与抛物线的位置关系. 迁移应用已知点A(0,2) 和抛物线C:y2=6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程.答案：当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A(0,2) 可知，直线l 就是y 轴，其方程为x=0 .由x=0, y2=6x, 得y2=0 .此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O(0,0) .当直线l
6、的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+2 .与抛物线C 的方程联立得y=kx+2,y2=6x, 消去x 得，ky2-6y+12=0 .当k=0 时，得-6y+12=0 ，可知此时直线l 与抛物线相交于点(23,2) ，即直线l 的方程为y=2 .当k0 时，关于y 的二次方程的判别式=36-48k .由=0 得k=34 ，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y=34x+2 ，即3x-4y+8=0 .综上，直线l 的方程为x=0 或y=2 或3x-4y+8=0 .探究点二 与抛物线有关的中点弦问题精讲精练例已知A、B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E:y2=2
7、px 的焦点为(1,0) ，线段AB 恰被M(2,1) 平分.（1）求抛物线E 的方程；（2）求直线AB 的方程.解析：（1）思路分析 利用焦点坐标求p ，进而得抛物线E 的方程.（2）涉及中点弦的问题，可以利用点差法求解.答案：（1）由于抛物线的焦点为（1，0），所以p2=1 ，解得p=2 ，所以抛物线E 的方程为y2=4x .（2）设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则y12=4x1 ，y22=4x2 ，x1+x2=4 ，y1+y2=2 ，由-得(y1+y2)(y2-y1)=4(x2-x1) ，所以y2-y1x2-x1=2 ，所以直线AB 的方程为y-1=2(x-2) ，即2x-y-
8、3=0 .解题感悟中点弦问题的两种解题策略：（1）点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k=y1-y2x1-x2 求斜率，再由点斜式求解；（2）传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x （或y ）得关于y （或x ）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率.迁移应用已知抛物线的方程是y2=4x ，直线l 交抛物线于A ，B 两点，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) .（1）若弦AB 的中点为(3,3)，求直线l 的方程；（2）若y1y2=-12 ，求证：直线l 过定点.答案：（1）由题意得y12=4x1 ，y22=4x2 ，两
9、式相减得y12-y22=4x1-4x2 ，所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=23 ，所以直线l 的方程为y-3=23(x-3) ，即y=23x+1 .（2）证明：当l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+b ，联立直线与抛物线的方程，得ky2-4y+4b=0 ，y1y2=4bk=-12 则b=-3k ，l 的方程为y=kx-3k=k(x-3) ， 直线l 过定点(3,0)；当l 的斜率不存在时，y1y2=-12 ，则x1=x2=3 ，所以l 的方程为x=3 ，即l 过定点(3,0).综上，l 过定点(3,0).探究点三 抛物线的弦长问题 精讲精练例已知抛物线C:y2=2px(p0) ，
10、F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为 的直线l 与C 交于A(x1,y1) ，B(x2,y2) 两点，则下列结论不正确的是( )A.x1x2+y1y2=-34p2B.|AB|=2psin2C.1|AF|+1|BF|=2pD.记原点为O ，则SAOB=p2sin答案：D解析：设l 的方程为ty=x-p2 ，与抛物线方程联立得y2-2pty-p2=0 ，所以y1y2=-p2 ，所以x1x2=p24 ，所以x1x2+y1y2=-34p2 ，所以A中结论正确；如图，抛物线的准线与x 轴交于点N ，过A 作AM 垂直x 轴于点M ，过A 作AH 垂直准线于点H ，由抛物线的定义可得|AF|=|AH|=
11、|MN|=|NF|+|FM|=p+|AF|cos ，所以|AF|=p1-cos ，同理可得|BF|=p1+cos .所以|AB|=|AF|+|BF|=p1-cos+p1+cos=2psin2 ，所以B中结论正确；1|AF|+1|BF|=1p1-cos+1p1+cos=1-cosp+1+cosp=2p ，所以C中结论正确；因为SAOB=12|OF|(|AF|sin+|BF|sin)=p4(|AF|+|BF|)sin=p4|AB|sin=p22sin ，所以D中结论错误，故选D.解题感悟直线与抛物线y2=2px(p0) 相交的弦长问题：直线和抛物线相交于A(x1,y1) ，B(x2,y2) 两点，
12、直线的斜率为k ，倾斜角为 .若直线不过焦点，则用一般的弦长公式|AB|=1+k2|x1-x2| 求解.若直线过抛物线的焦点，则用公式|AB|=x1+x2+p 或|AB|=2psin2 求弦长.迁移应用 1.过点(1,0)且斜率为-2的直线与抛物线y2=8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A.213 B.215C.217 D.219答案：B解析：设A(x1,y1) ，B(x2,y2) .由题意知直线AB的方程为y=-2(x-1) ，即y=-2x+2 .由y2=8x, y=-2x+2, 得x2-4x+1=0 ，所以x1+x2=4 ，x1x2=1 .所以|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+4)(16-4)=512=215 .2.已知直线l 经过抛物线y2=6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点.若直线l 的倾斜角为60 ，则|AB| 的值为 .答案：8解析：因为直线l 的倾斜角为60 ，p=3 ，所以|AB|=2psin260=6(32)2=8 .
