1、(教师独具) 类型1基底向量表示其它向量一组不共线向量可以充当平面向量的基底，平面内的任一向量均可写成它的线性表达式，且表达式是唯一的【例1】如图，设ABC的重心为M，O为平面上任一点，a，b，c，试用a，b，c表示.解如图，连接AM并延长交BC于点DM是ABC的重心，D是BC的中点，且AMAD()()()(ba)(cb)abc.a(abc)1设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值解(1)证明：设ab(R)，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线
2、得不存在，故a与b不共线，即可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，得3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故，的值分别为3和1 类型2平面向量的线性运算1向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面2向量共线基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题3题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等【例2
3、】如图，在ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F，MH平行于AF且交BC于H.求证：.思路探究选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出，与即可证得证明设a，b，则ab，22ab2a2bab，bba2ba2bbab.综上，得.2如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1B2C3D4C法一：根据图形，由题意可得()()().因为rs，所以r，s，则2r3s123.法二：因为2，所以2()，整理，得()，以下同法一 类型3向量的坐标运算1向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一2向量的
4、坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现3通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题【例3】已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足(R)，求y与的值思路探究(1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与的方程求解解(1)设点B的坐标为(x1，y1)(4,3)，A(1，2)，(x11，y12)(4,3)，B(3,1)同理可得D(4，3)设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2，y21，M.(2)由已知得(3,1)(2，y)(1,
5、1y)，(4，3)(3,1)(7，4)又，(1,1y)(7，4)，则3设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数，使得，因为(4k，7)，(10k，k12)，所以(4k，7)(10k，k12)，即解得k2或k11所以当k2或11时，A，B，C三点共线法二：由题意得，共线，因为(4k，7)，(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，即k29k220，解得k2或k11所以当k2或11时，A，B，C三点共线 类型4平面向量的应用1向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则
6、，数乘运算和线段平行之间的联系，距离问题，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题2在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题【例4】已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：APAB证明如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2，同理由，得y2x4，代入x2y2，解得x，y，即P.242，|，即APAB4在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于
7、水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？解如图所示，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC依题意OCOA，BCOA20，OB40，BOC30.故船应向上游(左)与河岸夹角为60的方向行进(教师独具)1(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()AB2C5D50Aab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.故选A2(2020新高考全国卷)若D为ABC的边AB的中点，则()A2B2C2D2A法一：因为D是AB的中点，所以2 ，所以2 2()2 ，故选A法二：因为D是AB的中点，所以()，即2 ，所以2 ，故选A3(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则|_；_.1以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，()(2,1)，P(2,1)，(2,1)，(0，1)，|，(0，1)(2,1)1
