1、课时评价作业基础达标练1.（2020吉林一中高二期中）设P(x,y)是椭圆x2+4y2=4上的一个动点，定点M(1,0)，则|PM|2的最大值是( )A.23 B.1C.3D.9答案：D2.椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2，点P为椭圆上的动点.若F1PF2为钝角，则点P横坐标的取值范围为( )A.(-63,63) B.(-263,263)C.(-23,23) D.(-13,13)答案：B3.（2021山东日照高二期中）已知点P是椭圆x29+y24=1上的动点，当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时，点P的坐标是( )A.(85,95) B.(-85,95)C.(-95,85) D.(
2、-35,465)答案：C4.设点F1,F2分别为椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得PF1PF2=m成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是( )A.12 B.3C.5D.8答案：B5.已知点F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，则|MF1+MF2|的最小值是( )A.4B.6C.8D.10答案：C6.“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面nkm，远地点距地面mkm，地球半径为R，则这个椭圆的焦距为km .答案：m-n7.（2020山东淄博四中高二月考）在平面直角坐标系中，动点
3、P在椭圆C：x216+y29=1上运动，则点P到直线x-y-5=0的距离的最大值为 .答案：528.一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.（1）建立适当的平面直角坐标系，求隧道上半部分所在椭圆的标准方程；（2）一辆卡车运载一个长方体集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2m，箱宽为3m，若要求通过隧道时，车体不得超过中线，则这辆卡车是否能通过此隧道？请说明理由.答案：（1）以椭圆部分与矩形部分的分界线为x轴，以隧道的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则椭圆长轴长2a=10，即a=5,b=2，所以椭圆的标准方程为x225+y24=1 .
4、（2）能通过.理由：由题意，将x=3代入椭圆方程中，得y=1.6，此时隧道的高为3+1.6=4.6(m) .因为车与箱的高度共计4.2m，所以当卡车靠近中线行驶时，能够通过此隧道.9.（2021山东济南实验中学高二期中）平面内任意一点P到两定点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之和为4.（1）若点P是第二象限内的一点，且满足PF1PF2=0，求点P的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点M1、M2，判断PM1PM2是否有最大值和最小值，请说明理由.答案：（1）因为423，所以由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，2a=4,c=3a=2,b=1，所以点P的轨迹方程为x2
5、4+y2=1 .设点P的坐标为(x0,y0)(x00,y00)，所以x024+y02=1，PF1=(-3-x0,-y0)，PF2=(3-x0,-y0)，因为PF1PF2=0，所以(-3-x0)(3-x0)+y02=0，与x024+y02=1联立，解得x02=83,y02=13 .因为x00，y00，所以x0=-263,y0=33，则点P的坐标为(-263,33) .（2）有最大值和最小值.理由如下：设M1(m,n)，则M2(-m,-n)，则PM1=(m-x0,n-y0)，PM2=(-m-x0,-n-y0)，则PM1PM2=(m-x0,n-y0)(-m-x0,-n-y0)=x02-m2+y02-
6、n2，又x024+y02=1，即y02=1-x024，所以PM1PM2=34x02+1-m2-n2，因为0x022，所以(PM1PM2)max=4-(m2+n2)，(PM1PM2)min=1-(m2+n2) .素养提升练10.椭圆有一条光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过椭圆的另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为x24+y23=1，则光线从椭圆的一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解析：由题意可得a2=4，b2=3，c2=a2-b2=1，所以a=2,c=1 .若光线从椭圆一个焦点沿x轴方
7、向出发到长轴端点（较近的）再反射，则所经过的路程为2(a-c)=2 .若光线从椭圆一个焦点沿x轴方向出发到长轴端点（较远的）再反射，则所经过的路程为2(a+c)=6 .若光线从椭圆一个焦点沿非x轴方向出发，则所经过的路程为4a=8 .故选B.11.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1、2，如图，则船只已进入该浅水区的判别条件是 .答案：h1ta
8、n1+h2tan22a解析：依题意知，|MF1|+|MF2|2ah1tan1+h2tan22a .故答案为h1tan1+h2tan22a .12.2019年春节档非常热门的电影流浪地球引发了小明的思考：假定地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径R700万米）的中心F为右焦点的椭圆C .已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2 500万米.（1）如图，求给定的平面直角坐标系下的椭圆C的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道
9、中心O的距离为ab万米时（其中a,b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L，称该直线的斜率k为“变轨系数”.若地球与木星不会发生碰撞，求“变轨系数”k的取值范围. （精确到小数点后一位）答案：（1）由题意知，a-c=700+100,a+c=700+2500a=2000,c=1200,则b2=a2-c2=16002，所以椭圆C的方程为x220002+y216002=1 .（2）设地球由近木星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为ab万米时所在的位置为P(x0,y0)，x00，y0
10、0则x02+y02=3200000,x0220002+y0216002=1x0=40003,y0=160053,P(40003,160053)，设直线L：y-160053=k(x-40003)kx-y+160053-40003k=0，若地球与木星不会发生碰撞，则点F到直线L的距离d大于木星半径R，即|1200k+160053-40003k|k2+1700425k2+1285k-8390k(-1.8,1.1) .即k的取值范围为(-1.8,1.1).13.如图，小明想将短轴长为2，长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE，且梯形ABDE内接于半椭圆，DEAB，AB为短轴，OC为半长轴.（
11、1）求梯形ABDE上底边长|DE|与高|OH|的关系式；（2）若半椭圆上到点H的距离最小的点恰好为C点，求底边DE的长度的取值范围.答案：（1）以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（图略）.易知半椭圆的方程为y24+x2=1(y0)，设椭圆上的点D(s,t)(s0,t0)，所以|DE|=2s,|OH|=t，且t24+s2=1(t0,s0)，所以|OH|=4-|DE|2(0|DE|2) .（2）设P(x,y)为半椭圆上一点，由（1）可知点H(0,t)，所以|PH|=x2+(y-t)2=34y2-2ty+t2+1，y0,2，又函数f(y)=34y2-2ty+t2+
12、1的图像的对称轴方程为y=4t3，所以4t32，解得t32，所以04-t272，由（1）知|DE|=4-t2(0,72 .所以底边|DE|的长度的取值范围为(0,72 .创新拓展练14.如图，两个椭圆x225+y29=1,x29+y225=1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上任意一点，给出下列三个命题：P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值；曲线C关于直线y=x,y=-x均对称；曲线C所围成的区域面积必小于36.上述所有正确命题的序号为 .答案：解析：命题分析本题考查了椭圆的相关知识，判断命题的正误，意在考查学生的计算能力和推断能力.答题要领利用点P既在椭圆x225+y29=1上，也在椭圆x29+y225=1上，结合椭圆的定义与几何性质求解.详细解析 不考虑交点的情况，当P在椭圆x225+y29=1上时，|PF1|+|PF2|=10，|PE1|+|PE2|不为定值，错误；两个椭圆均关于直线y=x,y=-x对称，故曲线C关于直线y=x,y=-x均对称，正确；曲线C在边长为6的正方形内部，故面积小于36，正确.方法感悟解答本题的关键是抓住椭圆的定义和椭圆的对称性，涉及椭圆上一点到两焦点的距离时，要考虑椭圆的定义的应用，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
