1、课后限时集训(三十五)平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：40分钟一、选择题1(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3 C2 D0Ba(2ab)2a2ab2(1)3，故选B.2已知平面向量a(2,3)，b(1,2)，向量ab与b垂直，则实数的值为()AB CDDa(2,3)，b(1,2)，ab(21,32)ab与b垂直， (ab)b0，(21,32)(1,2)0，即21640，解得.3(2020银川模拟)已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是()A.B.C(，2)D.C不妨令i(1,0)，j(
2、0,1)，则a(1，2)，b(1，)，因为它们的夹角为锐角， 所以ab120且a，b不共线，所以且2，故选C.4(2020武汉模拟)已知向量|a|，向量a与b夹角为，且ab1，则|ab|()A.B2 C.D4A由平面向量数量积的定义可知，ab|a|b|cos |b|1，|b|1，|ab|.故选A.5若O为ABC所在平面内任意一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形A()(2)0，()()()0.设D为边BC的中点，则2，即0.由此可得在ABC中，BC与BC边上的中线垂直，ABC为等腰三角形故选A.6(2020济南模拟)若两个非零向量a，
3、b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.A法一：由|ab|ab|知，ab0，所以ab.将|ab|2|b|两边平方，得|a|22ab|b|24|b|2，所以|a|23|b|2，所以|a|b|，所以cosab，a，所以向量ab与a的夹角为，故选A.法二：|ab|ab|，ab.在四边形ABCO中，设|b|1，|ab|2|b|2，|a|，ab，aBOA，在RtOBA中，BOA.二、填空题7(2020全国卷)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k_.由题意，得ab|a|b|cos 45.因为向量kab与a垂直，所以(kab)aka2abk0，解得k.8
4、已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|，则a在b方向上的投影等于_|a|1，|b|2，|ab|，(ab)2|a|2|b|22ab52ab3，ab1，a在b方向上的投影为.9.如图，已知等腰ABC中，ABAC3，BC4，点P是边BC上的动点，则()_.10取BC的中点D，易知2，且ADBC.()222.又ABAC3，BC4，AD.故()2210.三、解答题10(2020潍坊模拟)已知向量a(1，1)，b(sin ，cos )，0.(1)若向量ab，求的值；(2)若向量ab，求.解(1)a(1，1)，b(sin ，cos )，当ab时，1cos (1)sin ，即cos sin .(0
5、，)， .(2)a(1，1)，b(sin ，cos )，当ab时，1sin (1)cos ，可得sin cos (sin cos )212sin cos ，sin cos .sin (sin cos )sin cos .11已知向量m(cos x，sin x)，n(sin x，sin x)，函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，f ，求sin 的值解向量m(cos x，sin x)，n(sin x，sin x)，函数f(x)mnsin xcos xsin2xsin.(1)T.(2)f sinsin，cos.sin sinsincos cossin .1(2020泉州二模
6、)已知向量(1,2)，(4，2)，则ABC的面积为()A5B10 C25D50A|，|2，cosA0，A90.ABC的面积为|sinA5，故选A.2(2020广州模拟)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|80 N，则G的大小为_，F2的大小为_160 N80 N根据题意，F1F2G，如图所示：CAO90，AOC30 ，AC80，OC160，OA80，G的大小为160 N，F2的大小为80 N3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)求证：向量ab与a
7、b垂直；(2)若kab与akb的模相等，求的值(其中k为非零实数)解(1)证明：a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|a|1，同理|b|1.(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，因此，向量ab与ab垂直；(2)abcos cos sin sin cos()，|kab|akb|，|kab|2|akb|2，则k2a22kabb2a22kabk2b2，即k22kab112kabk2，整理得abcos()0，0，则0，0，所以，0，.1.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，2，则的最小值为_52法一：(几何法)设圆心为O，AB中点为D.由题意得AB22sin
8、 2，所以AC3.取AC中点M，连接PM，由题意得两式平方后相减得222.要使最小，就要使PM最小连接OM，OD(图略)，易知当圆弧AB的圆心与点P，M共线时，PM最小此时DM，所以OM，所以PM的最小值为2，代入求得的最小值为52.法二：(坐标法)如图，设圆弧AB所在圆的圆心为O，则以O为坐标原点，过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系连接OA，由已知得OA2，则A(1，)，B(1，)，圆O的方程为x2y24.连接OC，由2得BC1，故C(2，)，所以OC.设P(x，y)，则由题意可得1x1.易得(1x，y)，(2x，y)所以(1x)(2x)(y)2x2y2(x2y)15(x2y
9、)不妨设，则5(2cos 22sin )52(cos 2sin )52sin().因为sin()的最大值为1，所以的最小值为52.2已知O为ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.(1)若a，b，c，h，试用a，b，c表示h；(2)证明：；(3)若ABC的A60，B45，外接圆的半径为R，用R表示|h|. 解(1) 由平行四边形法则可得：，即habc.(2)O是ABC的外心，|，即|a|b|c|，而habc，cb，(bc)(cb)|c|2|b|20，.(3)在ABC中，O为ABC的外心，A60，B45，BOC120，AOC90，于是AOB150，|h|2|abc|2a2b2c22ab2bc2ca3R22|a|b|cos 1502|b|c|cos 1202|c|a|cos 90(2)R2，|h|.
