1、第四节二次函数与幂函数一、教材概念结论性质重现1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数；(2)x的系数为1；(3)解析式只有一项2常见的五种幂函数的图象3幂函数的性质(1)幂函数在(0，)上都有定义(2)当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增(3)当0)f (x)ax2bxc(a0；当时，恒有f (x)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0时，幂函数yx
2、n是定义域上的减函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是()(5)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(6)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()2已知幂函数yf (x)的图象经过点，则f (2)()A B4 C DC解析：设f (x)x，因为图象过点，所以f (4)4，解得，所以f (2)2.3如图是yxa，yxb，yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()Acba Babc Cbca Dac.5已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_1解析：因为函数y2x26x3的图象的对称轴为x1，所以函数y2
3、x26x3在1，1上单调递减，所以ymin2631.6函数f (x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上单调递增，则实数m的值为_2解析：因为f (x)(m2m1)xm是幂函数，所以m2m11，解得m1或m2.又因为f (x)在(0，)上单调递增，所以m2.考点1幂函数的图象与性质基础性1函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：yx的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B2已知幂函数f (x)(n22n2)x (nZ)的图象关于y轴对称，且在(
4、0，)上单调递减，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2B解析：因为幂函数f (x)(n22n2)x在(0，)上单调递减，所以所以n1.又n1时，f (x)x2的图象关于y轴对称，故n1.故选B3(2021衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)(m1)xn的图象上设af ，bf (ln )，cf (2)，则a，b，c的大小关系是()Aacb Babc Cbca Dba12，所以f (ln )f (2)f ，则bca.幂函数的图象的应用注意点(1)对于幂函数图象，要抓住直线x1，y1，yx将第一象限分成的六个区域根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定(
5、2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较考点2二次函数的解析式综合性已知二次函数f (x)满足f (2)1，f (1)1，且f (x)的最大值是8，求二次函数f (x)的解析式解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f (x)ax2bxc(a0)由题意得解得故f (x)4x24x7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x)a(xm)2n(a0)因为f (2)f (1)，所以抛物线的对称轴为x.所以m.又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以yf (x)a8.因为f (2)1，所以a81，解得a4，所以f (x)484x24x7.(方法三：利用二次函数的
6、零点式)由已知f (x)10的两根为x12，x21，故可设f (x)1a(x2)(x1)，即f (x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即当a0时，8，解得a4；当a0时，f (x)1，不符合题意，舍去故f (x)4x24x7.求二次函数解析式的策略已知二次函数f (x)x2bxc满足f (0)3，对xR，都有f (1x)f (1x)成立，则f (x)_.x22x3解析：由f (0)3，得c3.又f (1x)f (1x)，所以函数f (x)的图象关于直线x1对称，所以1，所以b2，所以f (x)x22x3.考点3二次函数的图象与性质综合性考向1二次函数的图象(1)已知函数f (x)a
7、x2xc，且f (x)0的解集为(2,1)，则函数yf (x)的图象为()D解析：因为函数f (x)ax2xc，且f (x)0的解集为(2,1)，所以2,1是方程ax2xc0的两根所以a1，c2.所以f (x)x2x2.所以函数yf (x)x2x2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(1,0)和(2,0)故选D(2)(多选题)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.下面四个结论中正确的是()A b24acB2ab1Cabc0D5a0，即b24ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即1，得2ab0，B错误；结合图象知，当x1时，y0，即
8、abc0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，D正确故选AD1解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系2分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也能从图象中得到如上信息. 考向2二次函数的单调性若函数f (x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的取值范围为()A3,0)B(，3C2,0D3,0D解析：当a0时，f (x)3x1，在1，)上单调递减，满足题意当a0
9、时，f (x)的图象对称轴为x.由f (x)在1，)上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0若函数f (x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_.3解析：由题意知f (x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_(，1)解析：f (x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0.令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因为g(x)x23x1m在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)m1.由m10，得m0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()A
10、解析：若0a1，则ylogax在(0，)上单调递增，y(a1)x2x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足2若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围为()A(0,4 B C DC解析：yx23x4的定义域为0，m，显然，在x0时，y4.又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3.故选C3(2020唐山模拟)设函数f (x)x2xa(a0)已知f (m)0Df (m1)0，所以f (x)的大致图象如图所示由f (m)0，得1m0.所以f (m1)f (0)0.4设函数f (x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_解析：由题意得a对1x4恒成立又2，.
