1、高考大题规范解答系列(一)函数与导数考点一利用导数解决与函数有关的极、最值问题例1 (2020北京，19,15分)已知函数f(x)12x2.(1)求曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值【标准答案】规范答题步步得分(1)因为f(x)12x2，所以f(x)2x，1分令2x2，解得x1，2分又f(1)11，所以所求切线方程为y112(x1)，整理得2xy130.4分(2)由(1)可知f(x)2x，所以曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线斜率k2t，又f(t)12t2，所以切线方程为y(12t
2、2)2t(xt)，6分整理得2txy(t212)0，当x0时，yt212，所以切线与y轴的交点为(0，t212)，7分当y0时，x，所以切线与x轴的交点为.8分当t0时，S(t)(t212)，9分则S(t)，10分当0t2时，S(t)2时，S(t)0，此时S(t)在(2，)上单调递增，所以S(t)minS(2)32.11分当t0时，S(t)；12分则S(t)，13分当t2时，S(t)0，此时S(t)在(，2)上单调递减；当2t0，此时S(t)在(2,0)上单调递增，所以S(t)minS(2)32.14分综上所述，当t2时，S(t)取最小值，为32.15分【评分细则】求对导函数得1分解对f(x)
3、2得1分写对切线方程得2分写对切线方程得2分求对与y轴交点得1分求对与x轴交点得1分分类讨论t0时写对S(t)得1分求对S(t)得1分求对S(t)的最小值得1分分类讨论，t0，所以x2xa0有两个不同的正根，所以解得0a.故实数a的取值范围为.(2)由(1)知x1x2a，x1x21，不妨设x1x2，所以f(x)极小值f(x1)，f(x)极大值f(x2)，所以f(x)极小值f(x)极大值f(x1)f(x2)ln(x1x2)2(12a)(x1x2)ln a24a.令(a)ln a4a2，则(a)4，当0a0，所以(a)在上单调递增，所以(a)2ln 2 1.又当a0时，(a)，所以f(x)的极大值
4、与极小值之和的取值范围是(，2ln 21)(文)(1)a2时，f(x)ln xx，f(x)1，f(2)ln 23，f(2)0，所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为yln 23.(2)f(x)1(1x3)，当a1时，f(x)0，f(x)在1,3上单调递减，所以f(1)2，a1；当a3时，f(x)0，f(x)在1,3上单调递增，所以f(3)2，a3，舍去；当1a0；当x时，f(x)0.所以f(x)在区间，单调递增，在区间单调递减.4分(2)证明：因为f(0)f()0，由(1)知，f(x)在区间0，的最大值为f，5分最小值为f.6分而f(x)是周期为的周期函数，故|f(x)|.7分(3)证明：由
5、于(sin2xsin22xsin22nx)8分|sin3xsin32xsin32nx|sin x|sin2xsin32xsin32n1xsin2nx|sin22nx|9分|sin x|f(x)f(2x)f(2n1x)|sin22nx|10分|f(x)f(2x)f(2n1x)|，11分所以sin2xsin22xsin22nx.12分【评分细则】正确求得导函数并化简正确得2分讨论f(x)的单调性，正确得2分求对f(x)的最大值得1分求对f(x)的最小值得1分证出|f(x)|得1分变形正确得1分合理转化得1分转化出f(x)、f(2x)、f(2n1x)得1分放缩正确得1分证出结论得1分【名师点评】1核
6、心素养：利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考命题的热点问题本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养2解题技巧：(1)讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对导数解不等式(2)求出f(x)的最值是证明第2问的关键(3)将不等式左边变形与f(x)及第2问结合起来是完成第3问的关键变式训练2(理)(2020河南省郑州市高三第二次质量预测)设函数f(x)ax2(x1)ln x(aR)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0x.(文)(2018课标全国，21)已知函数f(x)aexln x1，aR.(1)设x2是f
7、(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.分析(文)(1)看到x2是f(x)的极值点，想到f(2)0且两边异号，看到求单调区间想到求函数定义域，并对函数求导(2)看到证明当a时，f(x)0想到用替换a进行放缩，构造函数yln x1，从而求此函数的最小值解析(理)(1)f(x)2axln x1，由题意可得f(1)2a20，a1.(2)要证f(x)x(0，即证xln x，令g(x)xln x，h(x)，由g(x)10，解得x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，故g(x)ming(1)1，由h(x)可知h(x)在(0,2上单调递增，故h(x)
8、maxh(2)1g(x)min，故h(x)x.(文)(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.考点三利用导数解决与函数零点有关的问题例3 (2021山东省青岛市高三模拟检测)已知函数f(x)aexxa，e2.718 28是自然对数的底
9、数(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围【分析】看到单调性想到求函数f(x)的导数看到f(x)恰有2个零点，想到f(x)0有两解或yf(x)图象与x轴有两个交点【标准答案】规范答题步步得分(1)f(x)aex1，1分当a0时，f(x)aex10，所以x(，)，f(x)0时，令f(x)aex10，得xln a；所以x(，ln a)时，f(x)0，f(x)在(ln a，)上单调递增.4分(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(，)上单调递减；又知f(0)0，所以f(x)仅有1个零点；5分当0a1时，f(0)0，所以f(ln a)0，取f(2ln a)2ln
10、 aa，令函数g(a)2ln aa，得g(a)g(1)0，所以f(2ln a)2ln aa0得f(x)在(ln a，2ln a)上也有1个零点，8分当a1时，f(x)f(0)0，所以f(x)仅有1个零点，9分当a1时，f(0)0，所以f(ln a)1得h(a)10，所以h(a)h(1)0，所以aln a，a0，得f(x)在(a，ln a)上也有1个零点，综上可知：若f(x)恰有2个零点，则a(0,1)(1，).12分【评分细则】求对导函数得1分求对a0单调区间得1分求对a0单调区间得2分求对a0时f(x)只有一个零点得1分求对0a1时f(x)有两个零点，并进行综述得3分【名师点评】1核心素养：
11、本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算2解题技巧：(1)通过求导，分类讨论，进而求单调区间(2)通过(1)的分析知道函数f(x)的单调性、最值，讨论f(x)零点的个数，从而得出结论变式训练3(2020全国，21)设函数f(x)x3bxc，曲线yf(x)在点处的切线与y轴垂直(1)求b.(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.解析本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值、零点(1)f(x)3x2b.依题意得f0，即b0，故b.(2)证明：由(1)知f(x)x3xc，f(x)3x2.令f(x)0，解得x或x.f(x)与f(x)的情况为：xf(x)00f(x)cc因为f(1)fc，所以当c时，f(x)只有小于1的零点由题设可知c.当c时，f(x)只有两个零点和1.当c时，f(x)只有两个零点1和.当c时，f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1，x2，x3.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
