1、第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题 1.设直线m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是()A.若m,n,mn,则B.若m,n,mn,则C.若m,n,mn,则D.若m,n,mn,则答案D对于A,m,n,mn,则与可能平行,也可能相交,所以A不是必然事件;对于B,n,mn,则m,又m,则,所以B是不可能事件;对于C,m,n,mn,则与可能平行也可能相交,所以C不是必然事件;对于D,m,mn,则n,又n,所以,所以D是必然事件.故选D.2.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,则下列判断中正确的是()A.平面PB1D平面A
2、CD1B.A1P平面ACD1C.异面直线A1P与AD1所成角的范围是0,3D.三棱锥D1-APC的体积不变答案ABD对于A,根据正方体的性质,有DB1平面ACD1,又DB1平面PB1D,则平面PB1D平面ACD1,故A正确;对于B,连接A1B,A1C1,易证明平面BA1C1平面ACD1,又A1P平面BA1C1,所以A1P平面ACD1,故B正确;对于C,当P与线段BC1的两端点重合时,A1P与AD1所成角取最小值3,当P与线段BC1的中点重合时,A1P与AD1所成角取最大值2,故A1P与AD1所成角的范围是3,2,故C错误;对于D,V三棱锥D1-APC=V三棱锥C-AD1P,因为点C到平面AD1
3、P的距离不变,且AD1P的面积不变,所以三棱锥C-AD1P的体积不变,故D正确.故选ABD.二、填空题3.不在同一条直线上的三点A,B,C到平面的距离相等,且A,给出以下三个结论:ABC中至少有一条边平行于;ABC中至多有两边平行于;ABC中只可能有一条边与相交,其中正确的结论是.(只填序号) 答案解析如图所示,三点A,B,C可能在的同侧(如图1),也可能在的两侧(如图2),其中真命题是.图1图24.(2019山东济南模拟)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF翻折,使得平面CDFE平面ABEF,则异面直线BD与CF所成角的余弦值为.答案3010解析如
4、图,连接DE交FC于O,取BE的中点G,连接OG,CG,则OGBD且OG=12BD,所以COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角.设正方形ABCD的边长为2,则CE=BE=1,CF=DE=CD2+CE2=5,所以CO=12CF=52.易得BE平面CDFE,所以BEDE,所以BD=DE2+BE2=6,所以OG=12BD=62.易知CE平面ABEF,所以CEBE,又GE=12BE=12,所以CG=CE2+GE2=52.在COG中,由余弦定理得,cosCOG=OC2+OG2-CG22OCOG=522+622-52225262=3010,所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为3010.三、解答题5.
5、(2019湖南益阳月考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,ADBC,ADAB,AB=BC=2AD=4,ABP是等边三角形,且平面PAB平面ABCD,E是PB的中点,点M在棱PC上.(1)求证:AEBM;(2)若三棱锥C-MDB的体积为1639,且PM=PC,求实数的值.解析(1)证明:因为在梯形ABCD中,ADBC,ADAB,所以BCAB,又平面PAB平面ABCD,且平面PAB平面ABCD=AB,所以BC平面PAB,又AE平面PAB,所以BCAE.因为ABP是等边三角形,E是PB的中点,所以BPAE,又BCBP=B,所以AE平面PBC,又BM平面PBC,所以AEBM.(2)过点P
6、作PFAB于点F,连接CF,易知PF平面ABCD,则PFCF,因为ABP是等边三角形,AB=4,所以PF=23.过点M作MNCF于点N,则MNPF,CMCP=MNPF,V三棱锥P-BCD=13124423=1633,V三棱锥C-MDB=1639=V三棱锥M-BCD,所以V三棱锥M-BCDV三棱锥P-BCD=13,又V三棱锥M-BCDV三棱锥P-BCD=MNPF=13,所以CMCP=MNPF=13,所以PMPC=23,所以=23.6.(2019太原五中模拟)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABEF为正方形,AF=2FD=4,AFD=90,且DFE=CEF=60.(1)证明
7、:平面ABEF平面EFDC;(2)求五面体ABCDFE的体积.解析(1)证明:因为四边形ABEF为正方形,所以AFEF.因为AFD=90,所以AFDF.又因为DFEF=F,又EF平面EFDC,DF平面EFDC,所以AF平面EFDC,又AF平面ABEF,所以平面ABEF平面EFDC.(2)连接AE,AC,过点D作DMEF,垂足为M,则DM平面ABEF.因为ABEF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,所以AB平面EFDC.因为平面ABCD平面EFDC=CD,AB平面ABCD,所以ABCD,所以CDEF.由已知,DFE=CEF=60.所以四边形EFDC为等腰梯形.VA-EFDC=13AFS等腰梯形
8、EFDC=43,VC-ABE=VD-ABE=13DMSABE=833,所以五面体ABCDFE的体积V=VA-EFDC+VC-ABE=2033.7.(2019湖北联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,ABAC,PA平面ABCD,且AB=AC=1,PA=2,点E是PD的中点.(1)求证:PB平面AEC;(2)求点D到平面AEC的距离.解析(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,则O为BD的中点,连接OE.又点E是PD的中点,所以OEPB,又OE平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.(2)因为ABAC,四边形ABCD为平行四边形,所以CDAC.因为PA平面ABCD
9、,CD平面ABCD,所以CDPA.因为PAAC=A,所以CD平面PAC.又因为PC平面PAC,所以CDPC,VD-AEC=VE-ADC=12VP-ADC,VP-ADC=13SACD|PA|=26.设点D到平面AEC的距离为h,则VD-AEC=13SAECh,在PAD中,PAAD,PA=2,AD=2,E为PD的中点,所以AE=1,在PCD中,PCCD,PC=3,CD=1,E为PD的中点,所以CE=1,则ACE为正三角形,所以SAEC=34,所以h=63,即点D到平面AEC的距离为63.8.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,
10、O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)求证:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,求证:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)如图,取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以E
11、MB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.命题拓展预测1.已知三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,且OA=OB=2,OC=1,P是ABC上任意一点,设OP与平面ABC所成角为x,OP=y,则y关于x的函数关系图象为()答案B作点O在平面ABC的射影点O,连接OO,根据等体积法可得OO=22122=22.易知OOP=2,所以OP=OOsinx,即y=12sinx.又当点P在A或B的位置时,x取得最小值6,故排除选项C,D.根据正弦函数的图象在6,2上的变化趋势,易知选项B符
12、合.故选B.2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱CC1的中点,F为棱AA1上的点,且满足A1FFA=12,点F,B,E,G,H为过B,E,F三点的面BMN与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的交点,则下列说法错误的是()A.HFBEB.三棱锥B1-BMN的体积VB1-BMN=4C.直线MN与面A1B1BA的夹角是4D.D1GGC1=13答案C对于A项,因为面AD1面BC1,且面AD1与面MBN的交线为FH,面BC1与面MBN的交线为BE,所以HFBE,A正确.对于B项,因为A1FFA=12,所以MA1AB=12,而AB=2,所以MA1=1.同理,C1N=BC=2,
13、则B1N=4.故VB1-BMN=VN-BMB1=13SBMB1B1N=1312234=4,B正确.对于C项,因为B1N平面A1B1BA,所以NMB1即直线MN与面A1B1BA的夹角,tanNMB1=431,所以NMB14,C错误.对于D项,C1GMB1=NC1NB1=12,MB1=3,所以C1G=32,所以D1G=12,D1GGC1=13,D正确.故选C.3.已知二面角-l-为60,点A,点B,异面直线AB与l所成的角为60,AB=4.若A到的距离为3,则B到的距离为()A.3B.6C.3D.23答案D4.(山东新高考抽样测试)已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为等边三角形,SA=AB=2,S
14、AB=SAC=120,则该三棱锥的体积为()A.23B.223C.2D.3答案B5.(山东新高考抽样测试)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,BB1=2,M为线段B1D1的中点.(1)求异面直线BM与AD1所成角的正弦值;(2)证明:BM平面AB1C.解析(1)如图,连接BD,设AC,BD的交点为O,连接D1O,则四边形BB1D1D为矩形,D1MOB,所以四边形BMD1O为平行四边形,OD1BM.于是D1O与AD1所成的角等于异面直线BM与AD1所成的角.在正方形ABCD中,DOAC,又由D1D面ABCD得D1DAC,则AC平面D1DBB1.又D1O平面D1DBB1,所以ACD1O.在RtD1OA中,AD1=D1D2+AD2=2+4=6,AO=12AC=1222+22=2,sinAD1O=AOAD1=33.所以,异面直线BM与AD1所成角的正弦值为33.(2)证明:由(1)得AC平面D1DBB1,又BM平面D1DBB1,所以ACBM.如图,连接MO,OB1,由(1)得OB=AO=2=BB1,所以矩形BB1MO为正方形,则BMOB1,而ACOB1=O,所以BM平面AB1C. 12 / 12
