1、第十三章计数原理与概率 检测卷 (时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题4分,共40分)1.若=6,则m等于()(A)9 (B)8 (C)7 (D)62.某人根据自己爱好,希望从W,X,Y,Z中选2个不同字母,从0,2,6, 8中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()(A)198种 (B)180种 (C)216种 (D)234种3.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数为()(A)74 (B)121(C)-74(D)-1214.某班新年联欢会原定
2、的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.现将这两个节目插入原节目单中,则不同插法共有()(A)12种 (B)20种 (C)30种 (D)42种5.从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3,5中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率是()(A)(B)(C)(D)6.(2018温州3月模拟)随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=,则D(3X-2)等于()X-101Pab(A)9(B)7(C)5(D)27.已知随机变量X的分布列为X123P0.20.40.4则E(6X+8)等于()(A)13.2 (B)21.2 (C)20.2 (D)22.2
3、8.已知椭圆+=1(0b0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等于()(A) (B) (C) (D)10.若函数f(x)=x2+kx+m在区间a,b上的值域为n,n+1,则b-a()(A)既有最大值,也有最小值(B)有最大值但无最小值(C)无最大值但有最小值(D)既无最大值,也无最小值二、填空题(单空题每题4分,多空题每题6分,共36分)11.有10件产品,其中3件次品,从中任选两件,若X表示取到次品的个数,则P(X=1)=,E(X)=.12.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成,则不同
4、的传递方法共有种,如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方法共有种.(用数字作答)13.已知(1+ax)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+a9x9(a0)且a4=3a3,则a=,a3=.14.若双曲线x2-=1(b0)的一条渐近线与圆x2+(y-2)2=1至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是;与圆相切时渐近线的方程为.15.随机变量X服从二项分布XB(16,p)且D(X)=3,则p=.16.已知函数f(x)=的最小值为a+1,则实数a的取值范围是.17.设点P是ABC所在平面内的动点,满足=+,3+4=2(,R),|=|=|.
5、若|AB|=3,则ABC的面积最大值是.三、解答题(共74分)18.(本小题满分14分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程;(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求AOB的面积.19.(本小题满分15分)已知椭圆C1:+=1,抛物线C2:y2=4x,过抛物线C2上一点P(异于原点O)作切线l交椭圆C1于A,B两点.(1)求切线l在x轴上的截距的取值范围;(2)求AOB面积的最大值.20.(本小题满分15分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a0)交于
6、M,N 两点,(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明 理由.21.(本小题满分15分)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=6,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程;(2)若k=,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值;(3)在(2)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1(-2,-1),试求直线PB的斜率k2的取值范围.22.(本小题满分15分)已知椭圆C:+=1(ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等
7、边三角形,直线3x+4y+6=0与圆x2+(y-b)2=a2相切.(1)求椭圆C的方程;(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点,且l1l2,求证:直线MN过定点,并求出定点坐标;(3)在(2)的条件下求AMN面积的最大值.答案解析：1.C由m(m-1)(m-2)=6,m4,得m=7.故选C.2.A根据题意:分情况不选2时有=72(种),选2时,2在数字的中间,有=72(种),当2在数字的第3位时,有=54(种),根据分类加法计数原理,共有72+72+54=198(种).故选A.3.D展开式中含x3项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-12
8、1,故选D.4.D由题意,本题用分别插入的方法,第一次有6个空,第二次6个节目有7个空,总数m=67=42,故选D.5.Am=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5)共12种情况.mn,即mn=0,a-b=0,a=b,有(3,3),(5,5)2种情况,所以所求事件的概率为=.故选A.6.C由概率和为1,得+a+b=1, 又由E(X)=,得(-1)+0a+1b=,由联立,解得b=,a=.所以D(X)=(-1-)2+(0-)2+(1-)2=,所以D(3X-2)=9D(X)=5,故选C.
9、7.BE(X)=10.2+20.4+30.4=2.2,所以E(6X+8)=6E(X)+8=62.2+8=21.2.故选B.8.D由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2,由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)3.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即=3,可求得b2=3,即b=.故选D.9.D因为双曲线C2:-y2=1,所以右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=x.抛物线C1:y=x2(p0),焦点为F (0,).设M(x0,y0),则y0=.因为kMF=kFF,所以=. 又因为y=x,所以y=x0=. 由得p=.故选D.
10、10.B取k=m=0,则f(x)=x2,不妨设0a1,所以10,则只需2a+10a1;(3)若a0,n0,由=得点P的坐标为(,m+n).将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设AOB=2,因为tan(-)=2,则tan =,从而sin 2=.又|OA|=m,|OB|=n,所以SAOB=|OA|OB|sin 2=2mn=2.19.解:(1)设P(t2,2t)(t0),显然切线l的斜率存在,设切线l的方程为y-2t=k(x-t2),即y=k(x-t2)+2t.由消去x得ky2-4y-4kt2+8t=0.由=16-16k(-kt2+2t)=0,得k=.从而切线l的方程为x=ty-t2.令y=
11、0,得切线l在x轴上的截距为-t2.由得(3t2+4)y2-6t3y+3t4-12=0.令=36t6-12(3t2+4)(t4-4)0,得0t24,则-4-t20.故切线l在x轴上的截距的取值范围为(-4,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知|AB|=|y1-y2|=4,原点到切线l的距离为d=,所以S=|AB|d=2.令3t2+4=u,因为0t24,所以4u16.则有S=2=.令y=u+,因为4u16,所以y=u+在区间(4,16)上为增函数,得8y17.所以S=,当y=(8,17)时,Smax=.故OAB面积的最大值为.20.解:(1)由题设可得M(2,a),N(-
12、2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,理由:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=+=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线P
13、N的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.21.解:(1)由题意得c=3,根据2a+2c=16,得a=5.结合a2=b2+c2,解得a2=25,b2=16.所以椭圆的标准方程为+=1.(2)法一由得(b2+a2)x2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=,由AB,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2BF2,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+)x1x2+9=0.即x1x2=-8,所以有=-8,结合b2+9=a2,解得a2=12,所以e=.法二设A(x1,y1),又AB
14、,F1F2互相平分且共圆,所以AB,F1F2是圆的直径,所以+=9,又由椭圆及直线方程综合可得由前两个方程解得=8,=1,将其代入第三个方程并结合b2=a2-c2=a2-9,解得a2=12,故e=.(3)由(2)的结论知,椭圆方程为+=1,由题可设A(x1,y1),B(-x1,-y1),k1=,k2=,所以k1k2=,又=-.即k2=-,由-2k1-1可知,k2.故直线PB的斜率k2的取值范围是(,).22.解:(1)由题意,得所以即C:+y2=1.(2)由题意得直线l1,l2的斜率存在且不为0.因为A(-2,0),设l1:x=my-2,l2:x=-y-2,由得(m2+4)y2-4my=0,所以M(,).同理,N(,-).m1时,kMN=,lMN:y=（x+）.此时过定点（-,0）.m=1时,lMN:x=-,过点（-,0）.所以lMN恒过定点（-,0）.(3)由(2)知SAMN=|yM-yN|=|+|=8|=,令t=|m+|2,当且仅当m=1时取等号,所以SAMN,当且仅当m=1时取等号.所以(SAMN)max=.
