1、计算题专项练(五)24.(12分)(2022湖南长郡中学二模)如图所示,位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限虚线上方(包含虚线)存在竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E;第三象限某个区域(未画出)存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电荷量为+q的粒子以相同的初速度v0水平射入电场,均经过O点进入磁场,最后离开磁场进入第四象限,粒子在第三象限的运动均在磁场中,忽略粒子的重力及相互间的作用。(1)求匀强电场边界的方程(粒子入射点的坐标y和x间的关系)。(2)粒子进入电场的位置记为P(x,y),其中0yy0,0xx0,若y0x0=12,求磁场区域的最小面积。
2、25.(20分)(2022广东模拟)如图所示,光滑圆弧轨道AB固定在水平面上与水平面平滑连接,在圆弧轨道最低点A静止放置物块b、c(可看作质点),b、c的质量分别为m、2m,b、c间有少量火药(质量可忽略),某时刻火药燃烧将b、c迅速分开,分开后b以速度v0向左冲上圆弧,经一段时间再次回到b、c分开位置后继续向右运动,当c刚好停止运动时b与之发生第一次碰撞。已知b与c的所有碰撞均为弹性碰撞,b与水平面间没有摩擦,c与水平面间的动摩擦因数为,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g。已知物块b从圆弧底端冲上圆弧到再次回到圆弧底端所用时间与b冲上圆弧的速度大小无关,可用圆弧半径R表示为Rg(
3、R为题中未知量),求:(1)圆弧轨道半径的大小;(2)b与c发生第3次碰撞前,b的速度;(3)b、c第n次碰撞后到第n+1次碰撞前c运动的位移大小(n=1,2,3,)。答案：24.答案 (1)y=Eq2mv02x2(2)mv0qB2解析 (1)对从(x,y)点射入电场的粒子,在电场中做类平抛运动,有x=v0ty=12Eqmt2解得y=Eq2mv02x2。(2)设粒子从O点射入磁场时,速度v与x轴负方向的夹角为,位移与x轴负方向的夹角为,可得粒子在磁场中的速度大小v=v0cos设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据牛顿第二定律有qvB=mv2r解得r=mvqB根据几何关系可得,粒子在磁场中
4、的运动轨迹对应的弦长为d=2rcos 解得d=2mv0qB所以d为定值,即所有粒子从磁场中射出时与y轴的交点一定,所有粒子的轨迹经过的区域如图所示根据类平抛运动的规律有tan =2tan =2y0x0=1则=45,进入磁场最大的速度v1=2v0当粒子从O点以最大速度v1=2v0入射时,其轨迹与y轴所围的面积为S1=14r12-12r12当粒子从O点以最小速度v2=v0入射时,其轨迹与y轴所围的面积为S2=12r22,其中r2=d2磁场的最小面积为Smin=S2-S1=mv0qB2。25.答案 (1)9v026422g(2)19v0(3)19n-12v029g(n=1,2,3,)解析 (1)b、
5、c分开过程,根据动量守恒定律有mv0=2mvc0c沿水平面滑动的加速度大小a=mgm=g根据运动学规律,分开后c在水平面上滑动的时间t0和滑过的距离xc0满足t0=vc0a,vc02=2axc0b再次回到b、c分开位置时t1=Rgb匀速运动的时间t2=xc0v0则t0=t1+t2整理得R=9v026422g。(2)设b、c第1次碰撞后的速度分别为vb1和vc1,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0=mvb1+2mvc1,12mv02=12mvb12+122mvc12解得vb1=-13v0,vc1=23v0设第2次碰撞前c已停止运动,则第1次碰撞后c滑动的时间tc1=vc1a=2v03gb的运动时间tb1=t1+2xc0+xc1|vb1|其中xc1=vc122a由于tc1tb1所以第2次碰撞前c已停止运动第2次碰撞后,b的速度大小vb2=-13|vb1|=-132v0=-19v0即b与c第3次碰撞前,b的速度大小为19v0。(3)b与c第2次碰撞后,c的速度大小vc2=23vb1=2313v0b与c第2次碰撞后,c滑动的位移xc2=vc222a=2v029g19b与c第n次碰撞前,b的速度大小vb(n-1)=13n-1v0b与c第n次碰撞后,c的速度大小为vcn=23vb(n-1)
