1、直线、平面平行的判定及其性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题1直线与平面平行的判定定理和性质定理表示方法文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)ab2平面与平面平行的判定定理和性质定理表示方法文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两
2、个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(4)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()
3、答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1下列命题中正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则bDA错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交2平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，bD若l，al，a，a，则a，a，故排除A；若l，a，al，则a，故排除B；若l，a，al，b，bl，则a
4、，b，故排除C；故选D.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.4设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)中，可能相交也可能平行，中. 考点一直线与平面平行的判定与性质 证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线常利用三角
5、形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线(3)面面平行的性质：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即，aa；两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即，a，a，aa.直线与平面平行的判定典例11(1)如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ACBC，M，N分别是A1B1，AB的中点，点P在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是()A垂直B平行C相交但不垂直D要依点P的位置而定(2)如图，四边形ABCD为矩形，ED平面ABCD，AFED.求证：BF平面CDE.(1)B(1)由题
6、设知B1MAN且B1MAN，四边形ANB1M是平行四边形，B1NAM，B1N平面AMC1.又C1MCN，CN平面AMC1.又CNB1NN，平面B1NC平面AMC1.又NP平面B1NC，NP平面AMC1.(2)证明： (法一，利用面面平行的性质)四边形ABCD为矩形，ABCD，AB平面CDE，CD平面CDE，AB平面CDE；又AFED，AF平面CDE，ED平面CDE，AF平面CDE；AFABA，AB平面ABF，AF平面ABF，平面ABF平面CDE，又BF平面ABF，BF平面CDE.(法二，利用线面平行的判定)如图，在ED上取点N，使DNAF，连接NC，NF，AFDN，且AFDN，四边形ADNF为
7、平行四边形，ADFN，且ADFN，又四边形ABCD为矩形，ADBC且ADBC，FNBC，且FNBC，四边形BCNF为平行四边形，BFNC，BF平面CDE，NC平面CDE，BF平面CDE.点评：证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件，缺一不可线面平行性质定理的应用典例12如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1平面BB1DFG.证明：FG平面AA1B1B.证明在直四棱柱ABCD
8、A1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1平面BB1D.又CC1平面CEC1，平面CEC1平面BB1DFG，所以CC1FG.因为BB1CC1，所以BB1FG.而BB1平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B.点评：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识(2)利用线面平行性质必须先找出交线1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()ABCDAB选项中，ABMQ，且AB平面MNQ，MQ
9、平面MNQ，则AB平面MNQ；C选项中，ABMQ，且AB平面MNQ，MQ平面MNQ，则AB平面MNQ；D选项中，ABNQ，且AB平面MNQ，NQ平面MNQ，则AB平面MNQ.故选A.2.(2019全国卷改编)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点证明：MN平面C1DE.证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C
10、1DE，所以MN平面C1DE. 考点二平面与平面平行的判定与性质 证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化典例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是
11、A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，则A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.母题变迁1在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接BC1，HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B.又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.2在本例条件下
12、，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.点评：本例的证明应用了三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化如图所示，在
13、四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点(1)求证：平面MNQ平面PCD；(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(1)证明：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，NQCD，MQPC，NQMQQ，CDPCC，且NQ，MQ平面MNQ，CD，PC平面PCD，平面MNQ平面PCD.(2)解：线段PD上存在一点E，使得MN平面ACE，且.证明如下：取PD中点E，连接NE，CE，N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，BC綊AD，NE綊MC，四边形MCEN是平行四边形，MNCE，MN平面ACE，CE平面ACE，MN平面ACE，且.
