1、江西省新余市渝水区第一中学2019-2020学年高二数学上学期第二次段考试题 文（含解析）一、选择题1.若，且，则以下不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把不等式的两边同时除以负数可得 ，化简可得，从而得出A正确，再用举反例说明其他选项错误【详解】，故A正确；当时，不满足B、D选项；当时，不满足C选项，故选A【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题2.在中，若，则是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析】由正弦定理化角为边得，由余弦定理化角为边得，得解.【详解】解：因为，由
2、正弦定理可得 ，由余弦定理可得，即，即 ，即是等腰三角形，故选C.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了运算能力，属基础题.3.已知，那么的最小值是( )A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据题意，由基本不等式的性质即可得答案【详解】根据题意，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是2；故选【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式4.不等式的解集是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把分式不等式，转化为等价不等式组或，即可求解.【详解】由题意，分式不等式，等价于或，即或，解得或，所以不等式的解集为.故选C.【点睛】
3、本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，转化为等价不等式组，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.在ABC中，a=1，B=45，SABC=2，则ABC的外接圆的直径为（）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可【详解】在ABC中，a1，B45，SABC2，acsinB2，即c4，由余弦定理得：2accosB1+32825，即b5，则由正弦定理得：2R5故选C【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的
4、面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键6.等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为( )A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，由此解得的值，进而求得数列的前项和.【详解】设等差数列an的公差为d，依题意得，即(12d)2(1d)(15d)，解得d2或d0(舍去)，又a11，S661(2)24.故选：A【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.7.若是等差数列，首项，则使前n项和成立最大自然数n是A. 46B. 47C. 48D. 49【答案】A
5、【解析】【分析】首先判断出a230，a240，进而a1+a46=a23+a240，所以可得答案【详解】an是等差数列，并且a10，a23+a240，a23a240可知an中，a230，a240，a1+a46=a23+a240所以，故使前n项和Sn0成立的最大自然数n是46，故答案为：A【点睛】等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果8.在
6、ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，sinC，则（）A. 2B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】中，由余弦定理可求，然后结合同角平方关系可求，在中，由正弦定理，可求即得解.【详解】由题意可设，中由余弦定理可得，中，由正弦定理可得，则，故选【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式.9.如图，一栋建筑物的高为，在该建筑物的正东方向有一个通信塔，在它们之间的地面点（三点共线）处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶C的仰角为，则通信塔的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合直角三角形的性
7、质和正弦定理求解塔的高度即可.【详解】作AECD，垂足为E，则：在AMC中，AM=20，AMC=105，ACM=30，AC=60+20，CD=30-10+AC=60m.本题选择B选项.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10.已知数列an满足：a113，a6a82，且an12anan1(n2)，则数列的前13项和为A. B. C. D. 【答
8、案】B【解析】【分析】根据题干变形可得到数列an为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可.【详解】an12anan1(n2)，可得an1ananan1，可得数列an为等差数列，设公差为d，由a113，a6a82，即为2a112d2，解得d2，则ana1(n1)d2n15.，即有数列的前13项和为.故选B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等11.不等式（m+1）x2-mx+m-10的解集为
9、，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】关于的不等式的解集为，可转化成不等式恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论.【详解】解：关于的不等式的解集为，不等式恒成立，当，即时，不等式化为，解得，不是对任意恒成立；当时，即时，使，即且，化简得：，解得或，应取；综上，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题.12.数列an=2n+1,其前n项和为Tn,若不等式nlog2(Tn+4)-(n+1)+73n对一切nN*恒成立,则实数的取值范围为( )A.
10、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由等比数列前n项和公式求出，不等式用分离参数法变形，然后由基本不等式求得最小值可得的范围【详解】由题意，不等式nlog2(Tn+4)-(n+1)+73n为：，即，当且仅当即时等号成立，所以最小值为3，故选：A.【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，考查不等式恒成立问题及基本不等式求最值分离参数法是解决不等式恒成立问题常用方法二、填空题13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得B的值，然后结合数量积的定义求解的值即可.【详解】 根据正弦定理得： , 故答案为【点睛】本
11、题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-3. 则实数的值是_【答案】3【解析】【分析】根据条件列不等式求出实数的值.【详解】解：由得，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查不等式的整数解问题，注意限制条件的使用，是基础题.15.在锐角中,角的对边分别为,且,则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】用正弦定理化边为角，由两角差的正弦公式可得，然后把化为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质求得取值范围【详解】由正弦定理，即，都是锐角，即，故答案为：【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考
12、查正弦函数的性质三角函数范围问题常用方法是利用三角函数恒等变形，化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数（或余弦函数）的性质求得结论16.设,则的最小值是_.【答案】5【解析】【分析】由得，注意，分类和分别求最小值，然后比较【详解】由题意得，又，当时，当且仅当，即时等号成立当时，记，当时，递增，当时，递减，时，取得唯一的极小值也是最小值，综上，的最小值是5.故答案为：5【点睛】本题考查求最值，考查用基本不等式求最值，考查用导数求函数的最值对于含绝对值的代数式，常用方法是分类讨论，按的正负分类，其中时用基本不等式求最小值，时用导数求最小值只是最后要比较取其中最小的一个为答案三、解答题17
13、.已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.【答案】（1）；（2）当q=4时,S3=6；当q=5时， S3=21【解析】【详解】试题分析：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得，即可得到所求通项公式；运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得答案解析：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a1=1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得1+d+q=2，1+2d+q2=5
14、，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则bn的通项公式为bn=2n1，nN*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或5，当q=4时，b2=4，a2=24=2，d=2（1）=1，S3=123=6；当q=5时，b2=5，a2=2（5）=7，d=7（1）=8，S3=1+7+15=2118.设满足约束条件.（1）求目标函数的取值范围；（2）若目标函数zax2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围.【答案】（1）（2）a1【解析】【分析】（1）的几何意义是点与点连线的斜率，观察可行域可得斜率的取值范围；（2）若目标函数仅在点处取得最大值，判断目标函数的斜率，可
15、得到结论.【详解】解：（1）不等式表示可行域，如图阴影部分：的几何意义是点与点连线的斜率，联立方程组可得，观察图像得：，又，所以目标函数的取值范围是；（2）若目标函数仅在点处取得最大值，由得，如图：可得，解得.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键.注意使用数形结合.19.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4t15，N，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：，其中.(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t
16、的值(2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益【答案】（1）t=4.（2）当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.【解析】【分析】（1）分段考虑的解；（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应的范围内的最大值.【详解】解: （1）9t15时，18001500，不满足题意，舍去.4t9时，1800-15(9-t)21500，即解得t9+2(舍)或t9-24t 9，tN.t=4.(2）由题意可得4t 9，t =7时，=260(元)9t15，t =9时，=2
17、20(元)答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.(2)问当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.【点睛】处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.20.在ABC中,角A,B,C所对的边分別为a,b,c,且asinAcosC+csinAcosA=c.(1)若c=1,sinC=,求ABC的面积S;(2)若D是AC的中点,且cosB=,BD=,求ABC的三边长.【答案】(1);(2).【
18、解析】【分析】（1）正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式及诱导公式，得，结合已知c=1,sinC=,及正弦定理可得，从而可求得三角形面积；（2）由（1），再由得，代入后由正弦定理得关系，中用余弦定理可得的一个关系式，然后利用，分别应用余弦定理又可得的一个关系，联立后可解得【详解】（1）由正弦定理，得：，又，即，所以（2），由（1），设，则中，中，两式相加得，在中，由联立，解得，【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，考查两角和的正弦公式，三角形面积公式等等其中用正弦定理进行边角关系转化在其中起了关键性的作用，但要注意正弦定理转换边角关系时，必须是关于边的齐次或关于的齐次式，否则不能随便代换21.已
19、知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和；（3）已知数列满足，若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，由时，时，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；（3）求得，可令为数列的前项和，运用数列的分组求和和裂项相消求和可得，分别求得，的最大值，由不等式恒成立和存在性问题解法可得的范围.【详解】解：（1）点都在函数图象上，可得，时，解得；时，化为，可得，对也成立，则；（2），前项和，相减可得，化为；
20、（3）由，可令为数列的前n项和，可得，由时，即有，可得，又时，的最大值为，对任意，存在使得成立，则，解得.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及数列的分组求和，考查存在性问题的解法，以及化简运算能力和推理能力，是道中档题.22.已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个实根，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分三种情况求解；（2）由方程可变形为，令作出图象如图所示，根据图象求解.【详解】解：（1）时，当时，不可能非负；当时，由可解得，于是；当时，恒成立，所以不等式的解集为；（2）由方程可变形为，令作出图象由题意可得.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题.
