1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十八)利用空间向量求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.建立空间直角坐标系如图.则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos=.所以异面直线BC1与AE夹角的余弦值为.2.(2015宁波模拟)已知正
2、四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1夹角的正弦值等于()A.B.C.D.【解析】选A.以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0),设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则y=-2,x=2,所以n=(2,-2,1),所以sin=.【一题多解】本题还可以采用如下方法解答.方法一:选A.设AB=1,则AA1=2.设ACBD=O,连接C1O,过C作CHC1O于H,连接DH,显然C1DB是等腰三角形,所以C1OBD,又C1CBD,因为C1OC1C=C1,所以BD平面C1CO,CH平面C
3、1CO,所以BDCH,而CHC1O,BDC1O=O,所以CH平面C1BD,所以CDH是CD与平面C1BD的夹角,在RtC1OC中,OC=,C1C=2,所以C1O=,由C1COC=C1OCH知CH=,在RtCDH中,sinCDH=.方法二:选A.设点C到平面C1BD的距离为h,CD与平面C1BD的夹角为,由=知h=SCBDC1C,所以h=,所以sin=.3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.如图建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),C(4,4,0),C1(4,4,2),显然AC平面B
4、B1D1D,所以=(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量.又=(0,4,2).所以cos=.即直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为.4.(2015厦门模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.120【解析】选C.由条件知=0,=0,因为=+.所以|2=|2+|2+|2+2+2+2=62+42+82+268cos=(2)2.所以cos=-,则=120,即=60.所以二面角的大小为60.5.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设
5、PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为()A.B.aC.D.a【解题提示】以P为原点建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选B.根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).所以=(-a,a,0),=(-a,0,a),=(a,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).得令x=1,所以n=(1,1,1),所以P到平面ABC的距离d=a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015西安模拟)如图,在直三棱柱中,ACB=90,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面A
6、A1C1C夹角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=(0,1,0),AM=-(1,0,)=,则直线AM与平面AA1C1C夹角的正弦值为sin=|cos|=,所以tan=.答案:7.(2014合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.【解析】如图,以A为原点建系,设棱长为1.则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=,设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),由得所以所以n1=(1,
7、2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=.即所成的锐二面角的余弦值为.答案:8.(2015石家庄模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.【解析】以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0a1),连接D1E,则=(1,a,0).连接A1D,易知A1D平面ABC1D1,则=(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量.所以点E到平面ABC1D1的距离是d=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015蚌埠模拟)
8、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABDC,ABAD,平面PAD平面ABCD,若AB=8,DC=2,AD=6,PA=4,PAD=45,且=.(1)求证:PO平面ABCD.(2)设平面PAD与平面PBC夹角的大小为(090),求cos的值.【解析】(1)因为=,AD=6,所以AO=2.在PAO中,由余弦定理PO2=PA2+AO2-2PAAOcosPAO,得PO2=42+(2)2-242=8,所以PO=2,所以PO2+AO2=PA2,所以POAD,又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD.(2)如图,过O作OEAB交BC于
9、E,则OA,OE,OP两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OE,OP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,8,0),C(-4,2,0),P(0,0,2),所以=(-6,-6,0),=(2,8,-2),设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),由n=0,n=0,得即取x=1,y=-,z=-3,所以n=(1,-,-3)为平面PBC的一个法向量.因为AB平面PAD,所以=(0,8,0)为平面PAD的一个法向量,所以cos=-,所以cos=|cos|=.10.(2015咸阳模拟)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AD
10、CD,ABCD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上且不与E,C重合.(1)当点M是EC中点时,求证:BM平面ADEF.(2)当三棱锥M-BDE的体积为时,求平面BDM与平面ABF夹角的余弦值.【解析】(1)以DA,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1),所以=(-2,0,1),平面ADEF的一个法向量=(0,4,0).因为=0,所以,即BM平面ADEF.或用如图所示的几何法:取DE的中点N,连接NM和NA,证明四边形ABMN为平行四边形.从而BMAN,而BM平面ADEF,所以B
11、M平面ADEF.(2)因为VM-BDE=SDEMAD=,所以SDEM=.又求得SDEC=4,所以=,所以M.设平面BDM的法向量n1=(x,y,z),又D(0,0,0),F(2,0,2),则n1=2x+2y=0,n1=y+z=0.令y=-1,则n1=(1,-1,4),平面ABF的法向量n2=(1,0,0),cos=,所以平面BDM与平面ABF夹角的余弦值为.(20分钟40分)1.(5分)如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,ABC=DCB=,则平面ABC与平面DBC夹角的大小为()A.B.C.D.【解析】选B.平面ABC与平面DBC夹角的大小等于AB与CD夹角的大小
12、.=+.而=+2|cos,即12=1+9+4+212cos,所以cos=-,所以AB与CD夹角为,即平面ABC与平面DBC夹角的大小为.2.(5分)(2015淮北模拟)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离是.【解析】如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d
13、=.答案:3.(5分)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为.【解析】如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos= =.所以=60,所以直线BC与平面PAC的夹角为90-60=30.答案:304.(12分)(2015西安模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PAD为等边三角形,又平面PAD平面ABC
14、D.(1)若在边BC上存在一点Q,使PQQD,求a的取值范围.(2)当边BC上存在唯一点Q,使PQQD时,求平面APD与平面PDQ夹角的余弦值.【解析】(1)取AD中点O,连接PO,则POAD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系,则P,D.设Q(t,2,0),则=,=.因为PQQD,所以=t+4=0.所以a=2.因为a0,所以t0,所以28,当且仅当t=2时等号成立.故a的取值范围为8,+).(2)由(1)知,当t=2,a=8时,边BC上存在唯一点Q,使PQQD.此时Q(2,2,0),D(4,0,0),P(0,0,4).
15、设n=(x,y,z)是平面PQD的法向量,=(2,2,-4),=(-2,2,0),由 得令x=y=3,则n=(3,3,)是平面PQD的一个法向量,而=(0,2,0)是平面APD的一个法向量,设平面APD与平面PDQ的夹角为,由cos=|cos|=.所以平面APD与平面PDQ夹角的余弦值为.5.(13分)(能力挑战题)(2014江西高考)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求证:ABPD.(2)若BPC=90,PB=,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.【解题提示】(1)利用面面垂直的性质定理证
16、明AB平面PAD即可.(2)借助两平面垂直的性质,作POAD,即四棱锥的高找到,过点O作OMBC于点M,连接PM.则四棱锥的体积能用AB的长度表示,即可建立体积与AB的函数,借助二次函数知识求最值;此时可建立空间直角坐标系,利用坐标法求解.【解析】(1)因为ABCD为矩形,所以ABAD,又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.(2)过点P作POAD于点O,则PO平面ABCD,过点O作OMBC于点M,连接PM.则PMBC,因为BPC=90,PB=,PC=2,所以BC=,PM=,设AB=t,则在RtPOM中,PO=,所以VP-ABCD=t=,所以当t2=,即t=时,VP-ABCD最大为.此时PO=AB=,且PO,OA,OM两两垂直,以OA,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,则P,D,C,B.所以=,=,=.设平面PCD的一个法向量m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则m=(1,0,-2),|m|=;同理设平面PBC的一个法向量n=(x2,y2,z2),即令y2=1,则n=(0,1,1),|n|=,设平面PBC与平面DPC夹角为,显然为锐角,且cos=.关闭Word文档返回原板块
