1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(七)第七章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设a,b是平面内两条不同的直线,l是平面外的一条直线,则“la,lb”是“l”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a,b不相交时,则“l”不一定成立,当“l”时,一定有“la,lb”,所以“la,lb”是“l”的必要不充分条件,选C.2.(2015南昌模拟)长方体
2、的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的面积为()A.B.56C.14D.64【解析】选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则得令球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14,所以R2=,所以S球=4R2=14.3.(2015九江模拟)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是()A.8-B.8-C.8-2D.【解析】选A.由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体,是由一个正方体中间挖去一个圆锥后得到的,所以它的体积是V=23-122=8-.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16
3、D.8+16【解析】选A.将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V=422+224=16+8.4.(2015合肥模拟)已知a,b为两条不同的直线,为两个不同的平面,且a,b,则下列命题中的假命题是()A.若ab,则B.若,则abC.若a,b相交,则,相交D.若,相交,则a,b相交【解析】选D.若,相交,则a,b可能相交,也可能异面,故D为假命题.5.如图所示是某建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约(尺寸如图所示,单位:m,取3)A.20kgB.22.2kgC.111kg
4、 D.110kg【解析】选B.由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体,长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为4(34)=48(m2).圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为35=15=45(m2),底面积(去掉一个正方形)为9-33=9-9=18(m2),所以该几何体的总面积为48+45+18=111(m2),所以共需油漆0.2111=22.2kg.6.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为()A.B.C.D.【解题提示】把展开图复原为正方体求解.【解析
5、】选C.如图所示,EGF为AB和CD所成的角,F为正方体一棱的中点.设正方体棱长为1,所以EF=GF=,EG=.所以cosEGF=.7. (2015蚌埠模拟)如图三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA底面ABC,且PA=2,则此三棱锥外接球的半径为()A.B.C.2D.【解析】选D.因为ABC是边长为2的正三角形,所以ABC外接圆的直径为2r=,所以球的直径2R满足(2R)2=PA2+=22+=,所以R=.8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,CD,B1C1的中点,则下列中与直线AE有关的正确命题是()A.AECGB.AE与CG是异面直线C.四边形
6、ABC1F是正方形D.AE平面BC1F【解析】选D.由正方体的几何特征,可得AEC1G,但AE与平面BCC1B1不垂直,故AECG不成立;由于EGAC,故A,E,G,C四点共面,所以AE与CG是异面直线错误;四边形ABC1F中,ABBC1,故四边形ABC1F是正方形是错误的;而AEC1F,由线面平行的判定定理,可得AE平面BC1F,故选D.9.如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:直线BE与直线CF异面;直线BE与直线AF异面;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解
7、析】选B.将几何体展开图还原为几何体(如图),因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EFADBC,即直线BE与CF共面,错;因为B平面PAD,E平面PAD,EAF,所以BE与AF是异面直线,正确;因为EFADBC,EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF平面PBC,正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,错.10.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,EPC,FPB,=3,=,若AF平面BDE,则的值为()A.1B.3C.2D.4【解题提示】通过证明面面平行,能求出的值.【解析】选C.因为AF平面BDE,所以过点A作AH平面BDE,交PC于H,连接FH,则得到平面AFH平面BDE,所
8、以FHBE,因为EPC,FPB,=3,=,所以=1,所以EC=EH,又PE=3EC,所以PH=2HE,又因为=2,所以=2.故选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015延安模拟)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球,其表面积为半个球面面积与截面面积的和,即4+=3.答案:312.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q,R,S分别是AB,BC,C1D1,C1C,A1B1,B1B的中点,则下列判断:PQ与RS共面;MN与RS共面;PQ与MN共面.则正确结论的序号是.【
9、解析】连接PR,SQ,可知SQPR,所以四边形PQSR为平行四边形,所以PQRS,故正确;由图知直线MN过平面A1B外一点N,而直线RS不过M点,故MN与RS为异面直线,故错;由图知延长PQ与MN,则PQ与MN相交,故正确.答案:13.直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,BAC=120,则此球的表面积等于.【解析】设球心为O,球半径为R,ABC的外心是M,则O在底面ABC上的射影是点M,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,ABC=(180-120)=30,AM=2.因此,R2=22+=5,此球的表面积等于4R2=20.答案:2014.(2015
10、洛阳模拟)如图,在四边形ABCD中,DFAB,垂足为F,DF=3,AF=2FB=2,延长FB到E,使BE=FB,连接BD,EC.若BDEC,则四边形ABCD的面积为.【解析】连接DE,由题意知,AF=2,FB=BE=1,所以SADE=AEDF=43=6,因为CEDB,所以SDBC=SDBE,所以S四边形ABCD=SADE=6.答案:615.如图,梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,ADBCAB=234,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出四个结论:DFBC;BDFC;平面DBF平面BFC;平面DCF平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是.【解析】对于:
11、因为BCAD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,故不成立;对于:设点D在平面BCF上的射影为点P,当BPCF时,就有BDFC,而ADBCAB=234可使条件满足,故正确;对于:当点P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF平面BCF,故正确.对于:因为点D的射影不可能在FC上,故不成立.答案:三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2015九江模拟)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线A
12、B与平面EFGH夹角的正弦值.【解析】(1)由三视图可知,四面体ABCD的底面BDC是以BDC为直角的等腰直角三角形,且侧棱AD底面BDC.因为AD平面EFGH,平面ADB平面EFGH=EF,AD平面ABD,所以ADEF.同理ADGH,BCFG,BCEH,所以EFGH,FGEH.所以四边形EFGH为平行四边形.又因为AD平面BDC,BC平面BDC,所以ADBC,则EFEH,所以四边形EFGH是矩形.(2)分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由三视图可知DB=DC=2,DA=1.又E为AB中点,所以F,G分别为DB,DC中点,所以A(0,0,1),B(2,0,0),F
13、(1,0,0),E,G(0,1,0),则=(2,0,-1),=,=(-1,1,0).设平面EFGH的一个法向量为n=(x,y,z),由得取y=1,得x=1,所以n=(1,1,0).所以sin=|cos|=|=.17.(12分)如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把ABD折起,使A移到A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.(1)求证:BCA1D.(2)求证:平面A1BC平面A1BD.(3)求三棱锥A1-BCD的体积.【解题提示】(1)由A1在平面BCD上的射影O在CD上得A1O平面BCDBCA1O;又BCCOBC平面A1CDBCA1D.(2)先由ABCD
14、为矩形A1DA1B,再由(1)知A1DBCA1D平面A1BC,即可得到平面A1BC平面A1BD.(3)把求三棱锥A1-BCD的体积转化为求三棱锥B-A1CD的体积即可.【解析】(1)连接A1O,因为A1在平面BCD上的射影O在CD上,所以A1O平面BCD,又BC平面BCD,所以BCA1O,又BCCO,A1OCO=O,所以BC平面A1CD,又A1D平面A1CD,所以BCA1D.(2)因为ABCD为矩形,所以A1DA1B.由(1)知A1DBC,A1BBC=B,所以A1D平面A1BC,又A1D平面A1BD,所以平面A1BC平面A1BD.(3)因为A1D平面A1BC,所以A1DA1C.因为A1D=6,
15、CD=10,所以A1C=8,所以=6=48.故所求三棱锥A1-BCD的体积为48.18.(12分)如图1,在直角ABC中,CACB,CAB=60,D,E分别为AB,CD的中点,AE的延长线交CB于F.现将ACD沿CD折起,连接AF,如图2.(1)求证:平面AEF平面CBD.(2)当ACBD时,求平面ACD与平面CDB夹角的余弦值.【解析】(1)在题干图1中,D为AB的中点,得AD=CD=DB,又CAD=60,所以ACD是正三角形.又E是CD的中点,所以AECD,EFCD.在题干图2中,又AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,故CD平面AEF,又CD平面CDB,故平面AEF平面CBD.(
16、2)方法一:过点A作AHEF,垂足H落在FE的延长线上,因为CD平面AEF,所以CDAH,又EFCD=E,所以AH平面CBD.连接CH并延长交BD的延长线于G,由ACBD,且AHBD,可得BD平面AHC,从而得到BDCG,所以CGB=90.又CEH=90,HCE=GCD,所以CEHCGD,则=.设AC=a,易得GDC=60,GD=,CE=,CG=,代入=得EH=,又EA=,故cosHEA=.又AECD,EFCD,所以AEF为所求角(或其补角),而AEF=-AEH,故夹角的余弦值为.方法二:过点A作AHEF,由题意知垂足H落在FE的延长线上,因为CD平面AEF,所以CDAH,又CDEF=E,所以
17、AH平面CBD.以E为原点,EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴,过E与AH平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由(1)可知AEF为所求角(或其补角),设为,并设AC=a,则可得C,D,B,A,故=,=,因为,所以=0,所以cos+=0,cos=-,故夹角的余弦值为.19.(12分)(2015昆明模拟)四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且PA=AB=AD=CD,ABCD,ADC=90.(1)在侧棱PC上是否存在一点Q,使BQ平面PAD?证明你的结论.(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.【解析】(1)当Q为侧棱PC中点时,有BQ平面PAD.证明如下:取PD的中点E,
18、连接AE,EQ.因为Q为PC中点,则EQ为PCD的中位线,所以EQCD且EQ=CD.因为ABCD且AB=CD,所以EQAB且EQ=AB,所以四边形ABQE为平行四边形,则BQAE.因为BQ平面PAD,AE平面PAD,所以BQ平面PAD.(2)方法一:设平面PAD平面PBC=l.因为BQ平面PAD,BQ平面PBC,所以BQl.因为BQ平面PCD,所以l平面PCD,所以lPD, lPC.故DPC就是平面PAD与平面PBC的夹角.因为CD平面PAD,所以CDPD.设PA=AB=AD=CD=a,则PD=a,PC=a,故cosDPC=.所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.方法二:如图建立直角坐标系
19、,设PA=AB=AD=1,CD=2,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,2,0),P(0,0,1),则=(0,1,-1),=(-1,1,0).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则由x=y=z,取n=(1,1,1).由CD平面PAD,ABCD,知AB平面PAD,所以平面PAD的法向量为=(0,1,0).设所求角的大小为,则cos=.所以所求夹角的余弦值为.20.(13分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积.(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.【解析】(
20、1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在ADF中,ADDF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a22+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)点P与点A重合时,GP平面FMC.取FC的中点H,连接GH,GA,MH.因为G是DF的中点,所以GHCD.又M是AB的中点,所以AMCD,所以GHAM且GH=AM,所以四边形GHMA是平行四边形,所以GAMH.因为MH平面FMC,GA平面FMC,所以GA平面FMC,即当点P与点A重合时,GP平面FMC.21.(14分)在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ADC=90,
21、AB=AD=PD=1,CD=2.(1)求证:BE平面PAD.(2)求证:BC平面PBD.(3)设Q为侧棱PC上一点,=,试确定的值,使得二面角Q-BD-P为45.【解析】(1)取PD的中点F,连接EF,AF,因为E为PC中点,所以EFCD,且EF=CD=1,在梯形ABCD中,ABCD,AB=1,所以EFAB,EF=AB,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF,因为BE平面PAD,AF平面PAD,所以BE平面PAD.(2)因为平面PCD底面ABCD,PDCD,所以PD平面ABCD,所以PDAD,如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).=(1,1,0),=(-1,1,0),所以=0,BCDB,由PD平面ABCD,可得PDBC,因为DBPD=D,所以BC平面PBD.(3)平面PBD的法向量为=(-1,1,0),=(0,2,-1),=,(0,1),所以Q(0,2,1-),设平面QBD的法向量为n=(a,b,c),=(1,1,0),=(0,2,1-),由n=0, n=0,得所以n=,所以cos45=,注意到(0,1),得=-1. 关闭Word文档返回原板块
