1、1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词课标解读课标要求素养要求1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.1.数学抽象能判断全称量词命题、存在量词命题.2.数学运算能借助全称量词命题、存在量词命题的真假求解相关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句 要点一 全称量词与全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.通常，将含有变量x 的语句用p(x),q(x),r(x), 表示，变量x 的取值范围用
2、M 表示.那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，p(x) 成立”可用符号简记为 xM,p(x) .要点二 存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“ ”表示含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，p(x) 成立”可用符号简记为 xM,p(x) .自主思考1.短语“都是”“都不是”“不都是”中哪几个是全称量词?答案：提示 “都是”“都不是”是全称量词.2.“所有的正方形都是相似四边形”是全称量词命题吗?答案：提示是全称量词命题.3.短语“至多有一个”是存在量词吗?答案：提示 不是.因为“至多有一个”包含了不存
3、在的情形.4.“有些整数的平方不是正整数”是存在量词命题吗?试用符号语言表示.答案：提示 是存在量词命题.符合语言:xZ,x2N* .名师点睛1.常见的全称量词：“所有”“任意一个”“一切”“每一个”等.2.常见的存在量词：“存在”“有的”“有一个”“有些”“对某些”等. 3.存在量词命题中不一定要含有存在量词.含有存在量词“存在”“有一个”的命题或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.4.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.如“菱形的对角线互相垂直平分”应理解为“所有的菱形的对角线互相垂直平分”.互动探究关键能力探究点一 全
4、称量词命题与存在量词命题的判断精讲精练 例 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）自然数的平方大于或等于零;（2）有的一次函数的图象经过原点;（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.答案：（1）全称量词命题.（2）存在量词命题.（3）全称量词命题.解题感悟全称量词命题与存在量词命题的判断迁移应用 1.下列命题中全称量词命题的个数为( )平行四边形的对角线互相平分;梯形有两条边平行;存在一个菱形它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.3答案： C解析：是全称量词命题，是存在量词命题.探究点二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断精讲精练例 判断下列命题的真假：（1）任意两个面积相等的
5、三角形一定相似;（2）x,y 为正实数使x2+y2=0;（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y) 都对应一点P ;（4）xN,x20 .答案：（1）因为面积相等的三角形不一定相似，所以它是假命题.（2）当x2+y2=0 时，x=y=0 ，所以不存在x,y 为正实数使x2+y2=0 故是假命题.（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题.（4）因为0N,02=0 ，所以命题“xN,x20 ”是假命题.解题感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧（1）全称量词命题真假的判断：要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x) 成立
6、;但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M 中的一个元素x0 ，p(x0) 不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x0 ，使p(x0) 成立即可；反之，这一存在量词命题就是假命题.迁移应用 1.判断下列命题的真假：（1）xZ,x31;（2）对任意的a,bR, 都有a2+b2-2a-2b+20;（3）若整数m 是偶数，则m 是合数.答案：（1）因为-1Z且(-1)3=-11所以“xZ,x31 ”是真命题.（2）因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)20,所以该命题是假命
7、题.（3）2是偶数，但2是质数，故该命题是假命题.探究点三 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围精讲精练例 已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1 且B ，若命题p ：“xA,xB ”是真命题则实数m 的取值集合是 .答案：解析：因为命题p ：“xA,xB ”是真命题所以AB 又B ，所以m+12m-1,m+1-2,2m-15, 无解，故实数m的取值集合是 .解题感悟解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围问题进行求解.迁移应用1.若命题“x1 ，使ax-30 ”是真命题,
8、则实数a 的取值范围是 .答案： a|a3解析： 当a0 时,显然存在x1 ，使ax-30 ;当a0 时,结合一次函数图象知,需满足x=1 时,ax-30 ，得a3 ，故0a3 .综上所述,实数a 的取值范围是a|a3 .2.（2021山东泰安高一期末）已知命题p ：x00,x0+a-1=0 ，若p 为假命题,则实数a 的取值范围是 .答案： a|a1解析：由题意得x0=1-a ，因为命题p 为假命题,所以只需1-a0 ，解得a1 .评价检测素养提升1.下列命题是“xR,x23 ”的另一种表述方式的是( )A.有一个xR ，使得x23B.有无数个xR ，使得x23C.任选一个xR ，都有x23
9、D.不存在xR ，使得x23答案： C2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是( )A.所有的整数都是有理数B.三角形至少有两个锐角C.有些三角形是等腰三角形D.正方形都是菱形答案： B ; C3.下列命题中为全称量词命题的是( )A.有些实数没有倒数B.矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行答案： B4.命题p ：“xR,x2+2x+5=0 ”是 （填“全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是 命题（填“真”或“假”）.答案：存在量词命题; 假5.若命题“xR,x2-4x+a=0 ”为真命题,求实数a 的取值范围.答案： 命题“xR,x2-4x+a=0” 为真命题, 方程x2-4x+a=0 存在实数根,则=(-4)2-4a0 ，解得a4 .故实数a的取值范围是a|a4 .
